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8. ★★★ 如图,在$△ ABC$中,点D,E,F分别在边AB,AC,BC上,且$DE // BC$,$EF // AB$.若$AD=2BD$,则$\frac{CF}{BF}$的值为 (
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{2}{3}$
A
)A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{2}{3}$
答案
8. A 解析:$\because DE// BC,EF// AB,AD=2BD,\therefore \frac{AD}{BD}=\frac{AE}{EC}=2,\frac{AE}{EC}=\frac{BF}{CF}=2,\therefore \frac{CF}{BF}=\frac{1}{2}$.故选 A.
解析
【分析】
解题时先观察图形中的平行条件，结合平行线分线段成比例的推论思考：首先由$DE// BC$，可得到AB边上的线段比等于AC边上的对应线段比，即$\frac{AD}{BD}=\frac{AE}{EC}$，结合已知$AD=2BD$先求出AE与EC的比值；再由$EF// AB$，可得AC边上的线段比等于BC边上的对应线段比，即$\frac{AE}{EC}=\frac{BF}{CF}$，将前面求出的比值代入，最后通过比例变形即可求出$\frac{CF}{BF}$的值。
【解析】
解：$\because DE// BC$，根据平行线分线段成比例的推论：平行于三角形一边的直线截其他两边，所得对应线段成比例，
$\therefore \frac{AD}{BD}=\frac{AE}{EC}$，
又$\because AD=2BD$，
$\therefore \frac{AD}{BD}=\frac{2BD}{BD}=2$，即$\frac{AE}{EC}=2$。
$\because EF// AB$，同理可得：
$\frac{AE}{EC}=\frac{BF}{CF}=2$，
对$\frac{BF}{CF}=2$变形可得$\frac{CF}{BF}=\frac{1}{2}$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
平行线分线段成比例推论、比例的基本性质
【点评】
本题是平行线分线段成比例的典型应用考题，解题核心是准确识别平行线截三角形两边得到的对应线段，避免比例中线段对应关系混淆，熟练掌握该推论可快速解决这类线段比求解问题。
【难度系数】
0.7
解题时先观察图形中的平行条件，结合平行线分线段成比例的推论思考：首先由$DE// BC$，可得到AB边上的线段比等于AC边上的对应线段比，即$\frac{AD}{BD}=\frac{AE}{EC}$，结合已知$AD=2BD$先求出AE与EC的比值；再由$EF// AB$，可得AC边上的线段比等于BC边上的对应线段比，即$\frac{AE}{EC}=\frac{BF}{CF}$，将前面求出的比值代入，最后通过比例变形即可求出$\frac{CF}{BF}$的值。
【解析】
解：$\because DE// BC$，根据平行线分线段成比例的推论：平行于三角形一边的直线截其他两边，所得对应线段成比例，
$\therefore \frac{AD}{BD}=\frac{AE}{EC}$，
又$\because AD=2BD$，
$\therefore \frac{AD}{BD}=\frac{2BD}{BD}=2$，即$\frac{AE}{EC}=2$。
$\because EF// AB$，同理可得：
$\frac{AE}{EC}=\frac{BF}{CF}=2$，
对$\frac{BF}{CF}=2$变形可得$\frac{CF}{BF}=\frac{1}{2}$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
平行线分线段成比例推论、比例的基本性质
【点评】
本题是平行线分线段成比例的典型应用考题，解题核心是准确识别平行线截三角形两边得到的对应线段，避免比例中线段对应关系混淆，熟练掌握该推论可快速解决这类线段比求解问题。
【难度系数】
0.7
9. ★★★ 如图，D为BC的中点，E，F均为AC的三等分点，AD，BF交于点G，则下列四个关系式：
① $\frac{AG}{AD}=\frac{1}{2}$；② $\frac{CE}{CF}=\frac{1}{3}$；③ $\frac{CF}{CE}=2$；④ $\frac{BG}{BF}=\frac{1}{2}$。其中正确的是（
A.①和②
B.①和③
C.①和④
D.①②③④
① $\frac{AG}{AD}=\frac{1}{2}$；② $\frac{CE}{CF}=\frac{1}{3}$；③ $\frac{CF}{CE}=2$；④ $\frac{BG}{BF}=\frac{1}{2}$。其中正确的是（
B
）A.①和②
B.①和③
C.①和④
D.①②③④
答案
9. B 解析:$\because D$ 为 $BC$ 的中点, $E,F$ 均为 $AC$ 的三等分点,所以$BD=CD,AF=EF=CE,\therefore BF// DE,\therefore \frac{AG}{AD}=\frac{AF}{AE}=\frac{1}{2}$,①正确;$\frac{CE}{CF}=\frac{1}{2},\frac{CF}{CE}=2$,②错误,③正确;根据已知条件无法得出点 $G$ 是 $BF$ 的中点,$\therefore$ 不能得出 $\frac{BG}{BF}=\frac{1}{2}$,④错误,故选 B.
解析
【分析】
拿到题目先梳理已知条件：D是BC中点，可得BD=DC；E、F是AC的三等分点，可得AF=FE=EC。首先寻找平行关系作为突破口：在△BCF中，D是BC中点，E是CF中点（FE=EC），根据三角形中位线定理可推出DE//BF，再结合平行线分线段成比例定理，对四个关系式逐一验证即可。
【解析】
解：
∵D为BC的中点，E，F均为AC的三等分点，
∴BD=CD，AF=EF=CE。
在△BCF中，D是BC中点，E是CF中点，
∴DE是△BCF的中位线，
∴DE//BF。
①在△ADE中，GF//DE，根据平行线分线段成比例可得：$\frac{AG}{AD}=\frac{AF}{AE}=\frac{AF}{AF+EF}=\frac{1}{2}$，故①正确；
②③：
∵CE为1份，CF=CE+EF=2份，
∴$\frac{CE}{CF}=\frac{1}{2}$，$\frac{CF}{CE}=2$，故②错误，③正确；
④：由DE是△BCF的中位线可得$DE=\frac{1}{2}BF$，在△ADE中，G是AD中点，GF//DE，故GF是△ADE的中位线，可得$GF=\frac{1}{2}DE=\frac{1}{4}BF$，则$BG=BF-GF=\frac{3}{4}BF$，$\frac{BG}{BF}=\frac{3}{4}≠\frac{1}{2}$，故④错误。
综上，正确的是①③，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
平行线分线段成比例，三角形中位线定理，比例线段计算
【点评】
本题解题的关键是先根据中点、三等分点的条件推出线段平行关系，再结合平行线分线段成比例的性质逐一验证比例式，注意不要主观臆断G是BF的中点，所有结论都需要通过推导得出。
【难度系数】
0.6
拿到题目先梳理已知条件：D是BC中点，可得BD=DC；E、F是AC的三等分点，可得AF=FE=EC。首先寻找平行关系作为突破口：在△BCF中，D是BC中点，E是CF中点（FE=EC），根据三角形中位线定理可推出DE//BF，再结合平行线分线段成比例定理，对四个关系式逐一验证即可。
【解析】
解：
∵D为BC的中点，E，F均为AC的三等分点，
∴BD=CD，AF=EF=CE。
在△BCF中，D是BC中点，E是CF中点，
∴DE是△BCF的中位线，
∴DE//BF。
①在△ADE中，GF//DE，根据平行线分线段成比例可得：$\frac{AG}{AD}=\frac{AF}{AE}=\frac{AF}{AF+EF}=\frac{1}{2}$，故①正确；
②③：
∵CE为1份，CF=CE+EF=2份，
∴$\frac{CE}{CF}=\frac{1}{2}$，$\frac{CF}{CE}=2$，故②错误，③正确；
④：由DE是△BCF的中位线可得$DE=\frac{1}{2}BF$，在△ADE中，G是AD中点，GF//DE，故GF是△ADE的中位线，可得$GF=\frac{1}{2}DE=\frac{1}{4}BF$，则$BG=BF-GF=\frac{3}{4}BF$，$\frac{BG}{BF}=\frac{3}{4}≠\frac{1}{2}$，故④错误。
综上，正确的是①③，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
平行线分线段成比例，三角形中位线定理，比例线段计算
【点评】
本题解题的关键是先根据中点、三等分点的条件推出线段平行关系，再结合平行线分线段成比例的性质逐一验证比例式，注意不要主观臆断G是BF的中点，所有结论都需要通过推导得出。
【难度系数】
0.6
10. ★★★ 如图,在$△ ABC$中,BE平分$∠ ABC$,$DE// BC$,若$DE=2AD$,$AE=2$,则$AC=$
6
.答案
10. 6 解析:$\because DE// BC,\therefore ∠ DEB=∠ EBC.\because BE$ 平分 $∠ ABC$,$\therefore ∠ ABE=∠ EBC,\therefore ∠ DEB=∠ DBE,\therefore DB=DE.\because DE=2AD$,$\therefore BD=2AD.\because DE// BC,\therefore \frac{AD}{BD}=\frac{AE}{EC},\therefore \frac{1}{2}=\frac{2}{EC},\therefore EC=4$,$\therefore AC=AE+EC=2+4=6$.
解析
【分析】
解题时可按两步推导：第一步，先结合平行线的内错角相等性质与角平分线定义，推导得出△DBE为等腰三角形，得到BD=DE，结合DE=2AD的条件得到AD与BD的比值；第二步，利用平行线分线段成比例的推论，得到AD与BD的比等于AE与EC的比，代入已知AE的长度求出EC，最后将AE和EC相加即可得到AC的长度。
【解析】
解：$\because DE// BC$，
$\therefore ∠ DEB=∠ EBC$（两直线平行，内错角相等），
$\because BE$平分$∠ ABC$，
$\therefore ∠ ABE=∠ EBC$（角平分线的定义），
$\therefore ∠ DEB=∠ DBE$，
$\therefore DB=DE$（等角对等边），
$\because DE=2AD$，
$\therefore BD=2AD$，即$\frac{AD}{BD}=\frac{1}{2}$，
又$\because DE// BC$，
$\therefore \frac{AD}{BD}=\frac{AE}{EC}$（平行于三角形一边的直线截其他两边，所得对应线段成比例），
将$AE=2$代入得$\frac{1}{2}=\frac{2}{EC}$，解得$EC=4$，
$\therefore AC=AE+EC=2+4=6$。
【答案】
6
【知识点】
平行线的性质，等腰三角形判定，平行线分线段成比例
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题核心是先通过角平分线和平行线的性质推导得到线段比例关系，再结合平行线分线段成比例的性质求解，是对几何基础性质综合运用能力的常规考查。
【难度系数】
0.7
解题时可按两步推导：第一步，先结合平行线的内错角相等性质与角平分线定义，推导得出△DBE为等腰三角形，得到BD=DE，结合DE=2AD的条件得到AD与BD的比值；第二步，利用平行线分线段成比例的推论，得到AD与BD的比等于AE与EC的比，代入已知AE的长度求出EC，最后将AE和EC相加即可得到AC的长度。
【解析】
解：$\because DE// BC$，
$\therefore ∠ DEB=∠ EBC$（两直线平行，内错角相等），
$\because BE$平分$∠ ABC$，
$\therefore ∠ ABE=∠ EBC$（角平分线的定义），
$\therefore ∠ DEB=∠ DBE$，
$\therefore DB=DE$（等角对等边），
$\because DE=2AD$，
$\therefore BD=2AD$，即$\frac{AD}{BD}=\frac{1}{2}$，
又$\because DE// BC$，
$\therefore \frac{AD}{BD}=\frac{AE}{EC}$（平行于三角形一边的直线截其他两边，所得对应线段成比例），
将$AE=2$代入得$\frac{1}{2}=\frac{2}{EC}$，解得$EC=4$，
$\therefore AC=AE+EC=2+4=6$。
【答案】
6
【知识点】
平行线的性质，等腰三角形判定，平行线分线段成比例
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题核心是先通过角平分线和平行线的性质推导得到线段比例关系，再结合平行线分线段成比例的性质求解，是对几何基础性质综合运用能力的常规考查。
【难度系数】
0.7
11. ★★★|一题多解 如图,点D,E分别在△ABC的边AB,AC上,DE//BC,点G在边BC上,AG交DE于点H,O是线段AG的中点,若AD:DB=3:1,则AO:OH=
2:1
.答案
11. 2:1 解析:$\because O$ 是线段 $AG$ 的中点,$\therefore OA=OG=\frac{1}{2}AG$.
$\because DE// BC,AD:DB=3:1,\therefore \frac{AD}{AB}=\frac{AH}{AG}=\frac{3}{1+3}=\frac{3}{4},\frac{AD}{BD}=\frac{AH}{HG}=\frac{3}{1},\therefore OH=OG-HG=\frac{1}{2}AG-\frac{1}{4}AG=\frac{1}{4}AG,\therefore AO:OH=(\frac{1}{2}AG):(\frac{1}{4}AG)=2:1$.
一题多解 “设参数法”:$\because O$ 是线段 $AG$ 的中点,$\therefore OA=OG=\frac{1}{2}AG.\because DE// BC,AD:DB=3:1,\therefore AH:HG=3:1$.
设 $AH=3k,HG=k$, 则 $AG=4k,AO=2k,OH=k,\therefore AO:OH=2:1$.
$\because DE// BC,AD:DB=3:1,\therefore \frac{AD}{AB}=\frac{AH}{AG}=\frac{3}{1+3}=\frac{3}{4},\frac{AD}{BD}=\frac{AH}{HG}=\frac{3}{1},\therefore OH=OG-HG=\frac{1}{2}AG-\frac{1}{4}AG=\frac{1}{4}AG,\therefore AO:OH=(\frac{1}{2}AG):(\frac{1}{4}AG)=2:1$.
一题多解 “设参数法”:$\because O$ 是线段 $AG$ 的中点,$\therefore OA=OG=\frac{1}{2}AG.\because DE// BC,AD:DB=3:1,\therefore AH:HG=3:1$.
设 $AH=3k,HG=k$, 则 $AG=4k,AO=2k,OH=k,\therefore AO:OH=2:1$.
解析
【分析】
解题时首先结合已知条件DE//BC，联想到平行线分线段成比例的推论，可得到AH与HG的比值；再根据O是AG中点的性质，得到AO与AG的数量关系。既可以通过设参数的方法将各段线段用参数表示，进而求出AO与OH的比值，也可以直接用AG作为基准量，分别表示AO和OH占AG的比例，再计算比值。
【解析】
方法一：
∵O是线段AG的中点，
∴$AO=OG=\frac{1}{2}AG$。
∵DE//BC，$AD:DB=3:1$，根据平行线分线段成比例推论，可得$\frac{AH}{HG}=\frac{AD}{DB}=\frac{3}{1}$，即$AH=3HG$，因此$AG=AH+HG=4HG$，即$HG=\frac{1}{4}AG$。
则$OH=OG-HG=\frac{1}{2}AG-\frac{1}{4}AG=\frac{1}{4}AG$，
∴$AO:OH=\frac{1}{2}AG:\frac{1}{4}AG=2:1$。
方法二（设参数法）：
∵O是线段AG的中点，
∴$AO=OG=\frac{1}{2}AG$。
∵DE//BC，$AD:DB=3:1$，
∴$\frac{AH}{HG}=\frac{AD}{DB}=\frac{3}{1}$。
设$HG=k$，则$AH=3k$，因此$AG=AH+HG=4k$，可得$AO=\frac{1}{2}×4k=2k$。
则$OH=OG-HG=2k-k=k$，
∴$AO:OH=2k:k=2:1$。
【答案】
$2:1$
【知识点】
1. 平行线分线段成比例推论
2. 线段中点的性质
【点评】
本题是比例线段的典型题型，解题关键是灵活运用平行线分线段成比例的推论得到对应线段的比例关系，结合中点性质求解，采用设参数的方法可简化计算，降低出错概率。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合已知条件DE//BC，联想到平行线分线段成比例的推论，可得到AH与HG的比值；再根据O是AG中点的性质，得到AO与AG的数量关系。既可以通过设参数的方法将各段线段用参数表示，进而求出AO与OH的比值，也可以直接用AG作为基准量，分别表示AO和OH占AG的比例，再计算比值。
【解析】
方法一：
∵O是线段AG的中点，
∴$AO=OG=\frac{1}{2}AG$。
∵DE//BC，$AD:DB=3:1$，根据平行线分线段成比例推论，可得$\frac{AH}{HG}=\frac{AD}{DB}=\frac{3}{1}$，即$AH=3HG$，因此$AG=AH+HG=4HG$，即$HG=\frac{1}{4}AG$。
则$OH=OG-HG=\frac{1}{2}AG-\frac{1}{4}AG=\frac{1}{4}AG$，
∴$AO:OH=\frac{1}{2}AG:\frac{1}{4}AG=2:1$。
方法二（设参数法）：
∵O是线段AG的中点，
∴$AO=OG=\frac{1}{2}AG$。
∵DE//BC，$AD:DB=3:1$，
∴$\frac{AH}{HG}=\frac{AD}{DB}=\frac{3}{1}$。
设$HG=k$，则$AH=3k$，因此$AG=AH+HG=4k$，可得$AO=\frac{1}{2}×4k=2k$。
则$OH=OG-HG=2k-k=k$，
∴$AO:OH=2k:k=2:1$。
【答案】
$2:1$
【知识点】
1. 平行线分线段成比例推论
2. 线段中点的性质
【点评】
本题是比例线段的典型题型，解题关键是灵活运用平行线分线段成比例的推论得到对应线段的比例关系，结合中点性质求解，采用设参数的方法可简化计算，降低出错概率。
【难度系数】
0.7
12. 如图，DE是$△ ABC$的中位线，F是DE的中点，CF的延长线交AB于点G，若AB=6，则AG=
2
.答案
12. 2 解析:如图,过点 $E$ 作 $EM// CG$ 交 $AB$ 于点 $M$,$\because DE$ 是 $△ ABC$ 的中位线,$\therefore AD=\frac{1}{2}AB,AE=EC.\because EM// CG,\therefore AM=MG$. 又 $\because F$ 是 $DE$ 的中点,$\therefore DG=GM,\therefore AM=MG=DG=\frac{1}{3}AD,\therefore \frac{AG}{AB}=\frac{1}{3}$.
$\because AB=6,\therefore AG=2$.
解析
【分析】
解决本题可从已知条件逐步推导：首先由DE是△ABC的中位线，可得D、E分别为AB、AC的中点，即AD=BD=3、AE=EC。要求AG的长度，核心是推导G点分AB的线段比例，已知F是DE中点，CF延长交AB于G，可通过作辅助线构造平行线分线段成比例的模型：过点E作EM//CG交AB于M，先利用E是AC中点得到AM=MG，再利用F是DE中点得到DG=GM，即可得到AG与AD的比例关系，进而求出AG的长度。
【解析】
过点$E$作$EM// CG$交$AB$于点$M$，如所示：
1. 因为$DE$是$△ ABC$的中位线，根据三角形中位线性质，得$D$是$AB$中点、$E$是$AC$中点，因此$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3$，$AE=EC$；
2. 因为$EM// CG$，根据平行线分线段成比例的推论，在$△ AGC$中，$AE=EC$，故$AM=MG$；
3. 因为$F$是$DE$的中点，且$EM// GF$，同理在$△ DEM$中可得$DG=GM$；
4. 因此$AM=MG=DG$，即$AD$被分为3等份，每份长为$3÷3=1$，则$AG=AM+MG=2$。
【答案】
2
【知识点】
三角形中位线定理、平行线分线段成比例、线段中点性质
【点评】
本题属于几何综合基础题，考查三角形中位线性质与平行线分线段成比例的应用，解题的关键是合理构造平行线辅助线，结合中点性质得到线段的等分关系，能够有效锻炼学生的几何逻辑推理和辅助线构造能力。
【难度系数】
0.6
解决本题可从已知条件逐步推导：首先由DE是△ABC的中位线，可得D、E分别为AB、AC的中点，即AD=BD=3、AE=EC。要求AG的长度，核心是推导G点分AB的线段比例，已知F是DE中点，CF延长交AB于G，可通过作辅助线构造平行线分线段成比例的模型：过点E作EM//CG交AB于M，先利用E是AC中点得到AM=MG，再利用F是DE中点得到DG=GM，即可得到AG与AD的比例关系，进而求出AG的长度。
【解析】
过点$E$作$EM// CG$交$AB$于点$M$，如
所示：1. 因为$DE$是$△ ABC$的中位线，根据三角形中位线性质，得$D$是$AB$中点、$E$是$AC$中点，因此$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3$，$AE=EC$；
2. 因为$EM// CG$，根据平行线分线段成比例的推论，在$△ AGC$中，$AE=EC$，故$AM=MG$；
3. 因为$F$是$DE$的中点，且$EM// GF$，同理在$△ DEM$中可得$DG=GM$；
4. 因此$AM=MG=DG$，即$AD$被分为3等份，每份长为$3÷3=1$，则$AG=AM+MG=2$。
【答案】
2
【知识点】
三角形中位线定理、平行线分线段成比例、线段中点性质
【点评】
本题属于几何综合基础题，考查三角形中位线性质与平行线分线段成比例的应用，解题的关键是合理构造平行线辅助线，结合中点性质得到线段的等分关系，能够有效锻炼学生的几何逻辑推理和辅助线构造能力。
【难度系数】
0.6
13. 如图，F为平行四边形ABCD的边AD的延长线上的一点，BF分别交CD，AC于点G，E，若$EF=32$，$GE=8$，求BE的长. 
答案
13. $\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形,$\therefore AD// BC,DC// AB$,
$\therefore \frac{EF}{EB}=\frac{AE}{EC},\frac{BE}{EG}=\frac{AE}{EC},\therefore \frac{EF}{EB}=\frac{BE}{EG}$. 设 $BE=x,\because EF=32,GE=8$,
$\therefore \frac{32}{x}=\frac{x}{8}$,解得 $x=16$ 或 $x=-16$(舍去),经检验,$x=16$ 是原方程的解,故 $BE=16$.
$\therefore \frac{EF}{EB}=\frac{AE}{EC},\frac{BE}{EG}=\frac{AE}{EC},\therefore \frac{EF}{EB}=\frac{BE}{EG}$. 设 $BE=x,\because EF=32,GE=8$,
$\therefore \frac{32}{x}=\frac{x}{8}$,解得 $x=16$ 或 $x=-16$(舍去),经检验,$x=16$ 是原方程的解,故 $BE=16$.
解析
【分析】
解题时先从平行四边形的性质出发，利用平行四边形对边平行的特点，结合平行线分线段成比例定理，可得到两个都含有公共比$\frac{AE}{EC}$的比例式，将两个比例式通过公共比联立，就能得到已知线段EF、GE和未知线段BE的数量关系，之后设BE为未知数列方程求解即可，注意线段长度为正数，要舍去不符合题意的负根，还需检验方程的解是否成立。
【解析】
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形,
$\therefore AD// BC,DC// AB$,
根据平行线分线段成比例定理可得：$\frac{EF}{EB}=\frac{AE}{EC}$，$\frac{BE}{EG}=\frac{AE}{EC}$,
$\therefore \frac{EF}{EB}=\frac{BE}{EG}$。
设 $BE=x$,已知$EF=32$,$GE=8$,代入得：
$\frac{32}{x}=\frac{x}{8}$,
整理得$x^2=256$，解得 $x=16$ 或 $x=-16$,
$\because$ 线段长度为正，舍去$x=-16$，经检验，$x=16$ 是原方程的解。
【答案】
$16$
【知识点】
平行四边形的性质；平行线分线段成比例；比例方程求解
【点评】
本题是平行线分线段成比例与平行四边形性质的综合应用题，解题核心是找到公共中间比$\frac{AE}{EC}$联立比例式，建立已知线段和未知线段的等量关系，求解时要注意结合线段的实际意义舍去不符合要求的根。
【难度系数】
0.7
解题时先从平行四边形的性质出发，利用平行四边形对边平行的特点，结合平行线分线段成比例定理，可得到两个都含有公共比$\frac{AE}{EC}$的比例式，将两个比例式通过公共比联立，就能得到已知线段EF、GE和未知线段BE的数量关系，之后设BE为未知数列方程求解即可，注意线段长度为正数，要舍去不符合题意的负根，还需检验方程的解是否成立。
【解析】
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形,
$\therefore AD// BC,DC// AB$,
根据平行线分线段成比例定理可得：$\frac{EF}{EB}=\frac{AE}{EC}$，$\frac{BE}{EG}=\frac{AE}{EC}$,
$\therefore \frac{EF}{EB}=\frac{BE}{EG}$。
设 $BE=x$,已知$EF=32$,$GE=8$,代入得：
$\frac{32}{x}=\frac{x}{8}$,
整理得$x^2=256$，解得 $x=16$ 或 $x=-16$,
$\because$ 线段长度为正，舍去$x=-16$，经检验，$x=16$ 是原方程的解。
【答案】
$16$
【知识点】
平行四边形的性质；平行线分线段成比例；比例方程求解
【点评】
本题是平行线分线段成比例与平行四边形性质的综合应用题，解题核心是找到公共中间比$\frac{AE}{EC}$联立比例式，建立已知线段和未知线段的等量关系，求解时要注意结合线段的实际意义舍去不符合要求的根。
【难度系数】
0.7
14. 阅读与计算:请阅读以下材料,并完成相应的问题.角平分线分线段成比例定理:三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线分对边之比.如图①,在$△ ABC$中,AD平分$∠ BAC$,则$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$.下面是这个定理的部分证明过程.
证明:如图②,过点C作$CE// DA$,交BA的延长线于点E.
$\therefore ∠ BAD=∠ E,∠ CAD=∠ ACE······$
(1)请按照上面的证明思路,写出该证明过程的剩余部分;
(2)如图①,在$△ ABC$中,AD是角平分线,$AB=5\ \mathrm{cm},AC=4\ \mathrm{cm},BC=7\ \mathrm{cm}$.求BD的长;
(3)如图③,在$△ ABC$中,E是BC中点,AD是$∠ BAC$的平分线,$EF// AD$交AB于点F,若$AB=11,AC=9$,直接写出线段FB的长.
证明:如图②,过点C作$CE// DA$,交BA的延长线于点E.
$\therefore ∠ BAD=∠ E,∠ CAD=∠ ACE······$
(1)请按照上面的证明思路,写出该证明过程的剩余部分;
(2)如图①,在$△ ABC$中,AD是角平分线,$AB=5\ \mathrm{cm},AC=4\ \mathrm{cm},BC=7\ \mathrm{cm}$.求BD的长;
(3)如图③,在$△ ABC$中,E是BC中点,AD是$∠ BAC$的平分线,$EF// AD$交AB于点F,若$AB=11,AC=9$,直接写出线段FB的长.
答案
14. (1)$\because CE// DA,\therefore \frac{BD}{CD}=\frac{BA}{AE}.\because AD$ 平分 $∠ BAC,\therefore ∠ BAD=∠ CAD,\therefore ∠ ACE=∠ E,\therefore AE=AC,\therefore \frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$.
(2)$\because AD$ 是 $∠ BAC$ 的平分线, $\therefore \frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}.\because AB=5\ \mathrm{cm},AC=4\ \mathrm{cm},BC=7\ \mathrm{cm},\therefore \frac{5}{4}=\frac{BD}{7-BD}$, 解得 $BD=\frac{35}{9}\ \mathrm{cm}$. 经检验,符合题意.
(3)线段 $FB$ 的长为 10. 解析:$\because AD$ 是 $∠ BAC$ 的平分线, $\therefore \frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}=\frac{11}{9},\therefore CD=\frac{9}{11}BD,\therefore BC=CD+BD=\frac{9}{11}BD+BD=\frac{20}{11}BD.\because E$ 是 $BC$ 中点, $\therefore CE=BE=\frac{10}{11}BD.\because EF// AD$,
$\therefore \frac{BF}{AB}=\frac{BE}{BD}=\frac{\frac{10}{11}BD}{BD}=\frac{10}{11},\therefore BF=\frac{10}{11}AB=10$.
(2)$\because AD$ 是 $∠ BAC$ 的平分线, $\therefore \frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}.\because AB=5\ \mathrm{cm},AC=4\ \mathrm{cm},BC=7\ \mathrm{cm},\therefore \frac{5}{4}=\frac{BD}{7-BD}$, 解得 $BD=\frac{35}{9}\ \mathrm{cm}$. 经检验,符合题意.
(3)线段 $FB$ 的长为 10. 解析:$\because AD$ 是 $∠ BAC$ 的平分线, $\therefore \frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}=\frac{11}{9},\therefore CD=\frac{9}{11}BD,\therefore BC=CD+BD=\frac{9}{11}BD+BD=\frac{20}{11}BD.\because E$ 是 $BC$ 中点, $\therefore CE=BE=\frac{10}{11}BD.\because EF// AD$,
$\therefore \frac{BF}{AB}=\frac{BE}{BD}=\frac{\frac{10}{11}BD}{BD}=\frac{10}{11},\therefore BF=\frac{10}{11}AB=10$.
解析
【分析】
(1) 要完成定理证明，先利用平行线分线段成比例得到BD和CD的比与BA、AE的关系，再结合角平分线定义和平行线的角的性质，推出∠ACE=∠E，得到AE=AC，等量代换即可得证；
(2) 直接应用已证的角平分线分线段成比例定理，将CD用BC-BD表示，列比例方程求解即可；
(3) 先利用角平分线分线段成比例得到BD与CD的比值，结合E是BC中点推出BE和BD的关系，再根据EF//AD，由平行线分线段成比例求出BF和AB的比值，代入AB长度即可得解。
【解析】
(1) $\because CE// DA$，
$\therefore \frac{BD}{CD}=\frac{BA}{AE}$。
$\because AD$平分$∠ BAC$，$\therefore ∠ BAD=∠ CAD$，
又$\because ∠ BAD=∠ E,∠ CAD=∠ ACE$，
$\therefore ∠ ACE=∠ E$，$\therefore AE=AC$，
$\therefore \frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$。
(2) $\because AD$是$∠ BAC$的平分线，
$\therefore \frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$。
$\because AB=5\ \mathrm{cm},AC=4\ \mathrm{cm},BC=7\ \mathrm{cm}$，$\therefore CD=7-BD$，
代入得$\frac{5}{4}=\frac{BD}{7-BD}$，
解得$BD=\frac{35}{9}\ \mathrm{cm}$，经检验，符合题意。
(3) $\because AD$是$∠ BAC$的平分线，
$\therefore \frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}=\frac{11}{9}$，即$CD=\frac{9}{11}BD$，
$\therefore BC=BD+CD=\frac{20}{11}BD$。
$\because E$是$BC$中点，$\therefore BE=\frac{1}{2}BC=\frac{10}{11}BD$。
$\because EF// AD$，$\therefore \frac{BF}{AB}=\frac{BE}{BD}=\frac{10}{11}$，
$\therefore BF=\frac{10}{11}×11=10$。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) $BD=\frac{35}{9}\ \mathrm{cm}$；
(3) $FB=10$
【知识点】
角平分线分线段成比例，平行线分线段成比例，等腰三角形的判定
【点评】
本题为材料阅读类题型，遵循“推导-应用-拓展”的逻辑设题，既考查对基础几何性质的掌握，又要求能灵活运用新定理解决比例线段问题，能有效锻炼知识迁移和综合运用的能力。
【难度系数】
0.6
(1) 要完成定理证明，先利用平行线分线段成比例得到BD和CD的比与BA、AE的关系，再结合角平分线定义和平行线的角的性质，推出∠ACE=∠E，得到AE=AC，等量代换即可得证；
(2) 直接应用已证的角平分线分线段成比例定理，将CD用BC-BD表示，列比例方程求解即可；
(3) 先利用角平分线分线段成比例得到BD与CD的比值，结合E是BC中点推出BE和BD的关系，再根据EF//AD，由平行线分线段成比例求出BF和AB的比值，代入AB长度即可得解。
【解析】
(1) $\because CE// DA$，
$\therefore \frac{BD}{CD}=\frac{BA}{AE}$。
$\because AD$平分$∠ BAC$，$\therefore ∠ BAD=∠ CAD$，
又$\because ∠ BAD=∠ E,∠ CAD=∠ ACE$，
$\therefore ∠ ACE=∠ E$，$\therefore AE=AC$，
$\therefore \frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$。
(2) $\because AD$是$∠ BAC$的平分线，
$\therefore \frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$。
$\because AB=5\ \mathrm{cm},AC=4\ \mathrm{cm},BC=7\ \mathrm{cm}$，$\therefore CD=7-BD$，
代入得$\frac{5}{4}=\frac{BD}{7-BD}$，
解得$BD=\frac{35}{9}\ \mathrm{cm}$，经检验，符合题意。
(3) $\because AD$是$∠ BAC$的平分线，
$\therefore \frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}=\frac{11}{9}$，即$CD=\frac{9}{11}BD$，
$\therefore BC=BD+CD=\frac{20}{11}BD$。
$\because E$是$BC$中点，$\therefore BE=\frac{1}{2}BC=\frac{10}{11}BD$。
$\because EF// AD$，$\therefore \frac{BF}{AB}=\frac{BE}{BD}=\frac{10}{11}$，
$\therefore BF=\frac{10}{11}×11=10$。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) $BD=\frac{35}{9}\ \mathrm{cm}$；
(3) $FB=10$
【知识点】
角平分线分线段成比例，平行线分线段成比例，等腰三角形的判定
【点评】
本题为材料阅读类题型，遵循“推导-应用-拓展”的逻辑设题，既考查对基础几何性质的掌握，又要求能灵活运用新定理解决比例线段问题，能有效锻炼知识迁移和综合运用的能力。
【难度系数】
0.6
