12. 新趋势·过程性学习 [2025 德阳期末] 下面是某同学对多项式$(x^2 -4x +2)(x^2 -4x +6)+4$进行因式分解的过程.
解:设$x^2 -4x = y$,则原式$=(y +2)(y +6)+4 = y^2 +8y +16 = (y +4)^2 = (x^2 -4x +4)^2$.
(1)该同学因式分解的结果是否彻底? 若不彻底,请直接写出因式分解的最后结果.
(2)请你模仿以上方法尝试对多项式$(x^2 -2x)(x^2 -2x +2)+1$进行因式分解.

解:(1)不彻底. 因式分解的最后结果是$(x - 2)^4$.
(2)设$x^2 -2x = y$,
则$(x^2 -2x)(x^2 -2x +2) + 1 = y(y + 2) + 1 = y^2 + 2y + 1 = (y + 1)^2 = (x^2 - 2x + 1)^2 = (x - 1)^4$.

13. 数形结合思想 我们知道可以用拼图来解释一些多项式的因式分解. 假设有足够多的长方形和正方形卡片,如图1.如果选取1号、3号卡片各一张,可以拼成如图2所示的形状,根据图2可将$a^2 + ab$因式分解为$a(a + b)$.

（1）如果分别选取1号、2号、3号卡片1张、1张、2张,可以拼成如图3所示的形状,根据图3可将$a^2 + 2ab + b^2$分解因式为.
（2）如果分别选取1号、2号、3号卡片1张、2张、3张,你能通过拼图形象地说明多项式$a^2 + 3ab + 2b^2$的因式分解吗?请画出所拼图形,并写出因式分解的结果.

(1)$(a + b)^2$
(2)能. 如图所示(拼图画法不唯一),$a^2 + 3ab + 2b^2 = (a + b)(a + 2b)$.

14. 教材P52 习题T7 变式|运算能力 [2025遵义期末]
形如$a^2 \pm 2ab + b^2$的式子叫做两数和(差)的平方式. 若一个多项式不是两数和(差)的平方式,常进行如下变形:先添加一个适当的项,使式子中出现两数和(差)的平方式,再减去这个项,使整个式子的值不变. 利用该方法不仅可以将多项式进行因式分解,还能解决一些求多项式最大值或最小值的问题.
例1:分解因式:$x^2 + 2x - 3$.
解:$x^2 + 2x - 3 = (x^2 + 2x + 1) - 3 - 1 = (x + 1)^2 - 4 = (x + 1 + 2)(x + 1 - 2) = (x + 3)(x - 1)$.
例2:求多项式$2x^2 + 4x - 3$的最小值.
解:$2x^2 + 4x - 3 = 2(x^2 + 2x) - 3 = 2(x^2 + 2x + 1) - 3 - 2 = 2(x + 1)^2 - 5$.
$\because 2(x + 1)^2 ≥ 0, \therefore 2(x + 1)^2 -5 ≥ -5$,
$\therefore$当$x = -1$时,$2x^2 + 4x -3$有最小值,是$-5$.
(1)按照上述方法,分解因式:$x^2 -4x +3$.
(2)若多项式$3x^2 +6x +k$的最小值为4,求$k$的值.
(3)若$-2a^2 +7a +2b =12$,求$a -2b$的最大值.

解:(1)$x^2 -4x +3 = x^2 -4x +4 -1 = (x - 2)^2 - 1 = (x - 2 + 1)(x - 2 - 1) = (x - 1)(x - 3)$.
(2)$3x^2 +6x +k = 3(x^2 + 2x + 1) - 3 + k = 3(x + 1)^2 + k - 3$.
$\because (x + 1)^2 ≥0$,$\therefore 3(x + 1)^2 ≥0$,$\therefore 3(x + 1)^2 + k - 3 ≥ k - 3$.
$\because$ 原多项式的最小值为 4,$\therefore k - 3 = 4$,$\therefore k =7$.
(3)$-2a^2 +7a +2b =12$ 可变形为 $-2(a^2 -4a +4) -a + 2b -4 =0$,
$\therefore -2(a - 2)^2 -a + 2b -4 =0$,$\therefore -2(a - 2)^2 -4 = a - 2b$.
$\because (a - 2)^2 ≥0$,$\therefore -2(a - 2)^2 ≤0$,
$\therefore -2(a - 2)^2 -4 ≤ -4$,$\therefore a - 2b ≤ -4$,
$\therefore a - 2b$ 的最大值为 -4.