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1. 如图，$∠ AOD = 70°$，$∠ COD = 20°$，OB是$∠ AOC$的平分线，求$∠ AOB$的度数. 
答案
因为$∠ AOD=70°,∠ COD=20°$,所以$∠ AOC=∠ AOD-∠ COD=70°-20°=50°$.因为OB是$∠ AOC$的平分线.所以$∠ AOB=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}×50°=25°$.
解析
【分析】
要计算∠AOB的度数，首先观察已知条件：OB是∠AOC的平分线，所以只要先求出∠AOC的度数，就能利用角平分线的性质得到∠AOB的大小。结合图形可知，∠AOC是∠AOD去掉∠COD剩下的角，已知∠AOD和∠COD的度数，先通过角的减法求出∠AOC，再取它的一半就是∠AOB的度数。
【解析】
∵ $∠ AOD=70°$，$∠ COD=20°$，
∴ $∠ AOC=∠ AOD-∠ COD=70°-20°=50°$。
又
∵ OB是$∠ AOC$的平分线，
∴ $∠ AOB=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}×50°=25°$。
【答案】
$25°$
【知识点】
角的和差计算；角平分线的定义
【点评】
本题是基础角度计算类题型，解题核心是结合图形理清各个角的和差关系，熟练运用角平分线的性质即可顺利求解，属于角度计算的常规基础题。
【难度系数】
0.8
要计算∠AOB的度数，首先观察已知条件：OB是∠AOC的平分线，所以只要先求出∠AOC的度数，就能利用角平分线的性质得到∠AOB的大小。结合图形可知，∠AOC是∠AOD去掉∠COD剩下的角，已知∠AOD和∠COD的度数，先通过角的减法求出∠AOC，再取它的一半就是∠AOB的度数。
【解析】
∵ $∠ AOD=70°$，$∠ COD=20°$，
∴ $∠ AOC=∠ AOD-∠ COD=70°-20°=50°$。
又
∵ OB是$∠ AOC$的平分线，
∴ $∠ AOB=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}×50°=25°$。
【答案】
$25°$
【知识点】
角的和差计算；角平分线的定义
【点评】
本题是基础角度计算类题型，解题核心是结合图形理清各个角的和差关系，熟练运用角平分线的性质即可顺利求解，属于角度计算的常规基础题。
【难度系数】
0.8
2. 如图，直线AB经过点O，OA平分∠COD，OB平分∠MON，∠AON=150°，∠BOC=120°.
(1)求∠MON的度数；
(2)求∠DOM的度数.
(1)求∠MON的度数；
(2)求∠DOM的度数.
答案
(1)因为$∠ AON=150°$,所以$∠ BON=180°-∠ AON=180°-150°=30°$.因为OB平分$∠ MON$,所以$∠ MON=2∠ BON=2×30°=60°$;(2)因为$∠ BOC=120°$,所以$∠ AOC=180°-∠ BOC=180°-120°=60°$.因为OA平分$∠ COD$,所以$∠ AOD=∠ AOC=60°$,所以$∠ BOD=180°-∠ AOD=180°-60°=120°$.由(1)得,$∠ BOM=∠ BON=30°$,所以$∠ DOM=∠ BOD+∠ BOM=120°+30°=150°$.
解析
【分析】
(1) 要求∠MON的度数，已知OB平分∠MON，因此先求∠BON的度数即可。已知∠AON=150°，AB是直线，∠AOB为平角等于180°，用平角度数减去∠AON即可得到∠BON，再利用角平分线的性质，∠MON是∠BON的2倍，即可算出结果。
(2) 要求∠DOM的度数，观察图形可将∠DOM拆为∠BOD与∠BOM的和。先通过已知的∠BOC=120°，利用平角性质算出∠AOC，再由OA平分∠COD得到∠AOD的度数，进而算出∠BOD的度数；再结合第一问得到的∠BOM的度数，二者相加即可得到∠DOM的度数。
【解析】
(1)
∵ 直线AB经过点O，∠AOB是平角，即∠AOB=180°，
已知∠AON=150°，
∴ ∠BON=180°-∠AON=180°-150°=30°，
又
∵ OB平分∠MON，根据角平分线的定义，
∴ ∠MON=2∠BON=2×30°=60°。
(2)
∵ ∠BOC=120°，∠AOB=180°，
∴ ∠AOC=180°-∠BOC=180°-120°=60°，
又
∵ OA平分∠COD，根据角平分线的定义，
∴ ∠AOD=∠AOC=60°，
∴ ∠BOD=180°-∠AOD=180°-60°=120°，
由(1)可知OB平分∠MON，故∠BOM=∠BON=30°，
∴ ∠DOM=∠BOD+∠BOM=120°+30°=150°。
【答案】
(1) $\boxed{∠MON=60°}$
(2) $\boxed{∠DOM=150°}$
【知识点】
平角的性质，角平分线的定义，角度和差计算
【点评】
本题属于角度计算的基础题型，解题关键是准确把握平角、角平分线对应的角的数量关系，理清图中各角的和差逻辑，细心计算即可求解。
【难度系数】
0.8
(1) 要求∠MON的度数，已知OB平分∠MON，因此先求∠BON的度数即可。已知∠AON=150°，AB是直线，∠AOB为平角等于180°，用平角度数减去∠AON即可得到∠BON，再利用角平分线的性质，∠MON是∠BON的2倍，即可算出结果。
(2) 要求∠DOM的度数，观察图形可将∠DOM拆为∠BOD与∠BOM的和。先通过已知的∠BOC=120°，利用平角性质算出∠AOC，再由OA平分∠COD得到∠AOD的度数，进而算出∠BOD的度数；再结合第一问得到的∠BOM的度数，二者相加即可得到∠DOM的度数。
【解析】
(1)
∵ 直线AB经过点O，∠AOB是平角，即∠AOB=180°，
已知∠AON=150°，
∴ ∠BON=180°-∠AON=180°-150°=30°，
又
∵ OB平分∠MON，根据角平分线的定义，
∴ ∠MON=2∠BON=2×30°=60°。
(2)
∵ ∠BOC=120°，∠AOB=180°，
∴ ∠AOC=180°-∠BOC=180°-120°=60°，
又
∵ OA平分∠COD，根据角平分线的定义，
∴ ∠AOD=∠AOC=60°，
∴ ∠BOD=180°-∠AOD=180°-60°=120°，
由(1)可知OB平分∠MON，故∠BOM=∠BON=30°，
∴ ∠DOM=∠BOD+∠BOM=120°+30°=150°。
【答案】
(1) $\boxed{∠MON=60°}$
(2) $\boxed{∠DOM=150°}$
【知识点】
平角的性质，角平分线的定义，角度和差计算
【点评】
本题属于角度计算的基础题型，解题关键是准确把握平角、角平分线对应的角的数量关系，理清图中各角的和差逻辑，细心计算即可求解。
【难度系数】
0.8
3.如图,将一副直角三角尺的直角顶点C叠放在一起.
(1)当∠DCE=40°时,∠ACB的度数为
(2)当∠ACB=110°时,∠DCE的度数为
(3)猜想∠ACB与∠DCE的数量关系,并说明你的理由.
(1)当∠DCE=40°时,∠ACB的度数为
140°
;(2)当∠ACB=110°时,∠DCE的度数为
70°
;(3)猜想∠ACB与∠DCE的数量关系,并说明你的理由.
答案
(1)$140°$ (2)$70°$ (3)$∠ ACB+∠ DCE=180°$.理由如下:因为$∠ ACE+∠ DCE+∠ BCD=∠ ACB$,所以$∠ ACB+∠ DCE=∠ ACE+∠ DCE+∠ BCD+∠ DCE=∠ ACD+∠ BCE$.因为$∠ ACD=∠ BCE=90°$,所以$∠ ACB+∠ DCE=90°+90°=180°$.
解析
【分析】
首先明确本题的隐含条件：两个直角三角尺的直角均为90°，即∠ACD=∠BCE=90°。
对于(1)：要求∠ACB，可先根据∠BCE和已知的∠DCE求出∠BCD的度数，再结合∠ACD是直角，利用∠ACB=∠ACD+∠BCD计算即可。
对于(2)：已知∠ACB的度数，先通过∠ACB-∠ACD求出∠BCD的度数，再用∠BCE减去∠BCD即可得到∠DCE的度数。
对于(3)：要探究∠ACB和∠DCE的数量关系，可将∠ACB拆分为∠ACE+∠DCE+∠BCD，再把∠ACB和∠DCE相加，合并后可得∠ACD+∠BCE，结合两个直角的度数即可推出二者的和为定值。
【解析】
(1) 由题意得∠ACD=∠BCE=90°，
已知∠DCE=40°，则$∠ BCD=∠ BCE-∠ DCE=90°-40°=50°$，
∴$∠ ACB=∠ ACD+∠ BCD=90°+50°=140°$。
(2) 已知∠ACB=110°，∠ACD=90°，
则$∠ BCD=∠ ACB-∠ ACD=110°-90°=20°$，
∴$∠ DCE=∠ BCE-∠ BCD=90°-20°=70°$。
(3) 猜想：$∠ ACB+∠ DCE=180°$，理由如下：
∵$∠ ACB=∠ ACE+∠ DCE+∠ BCD$，
∴$∠ ACB+∠ DCE=∠ ACE+∠ DCE+∠ BCD+∠ DCE=∠ ACD+∠ BCE$，
又
∵$∠ ACD=∠ BCE=90°$，
∴$∠ ACB+∠ DCE=90°+90°=180°$。
【答案】
(1)$140^{\circ }$ (2)$70^{\circ }$ (3)$∠ ACB+∠ DCE=180°$，理由：因为$∠ ACE+∠ DCE+∠ BCD=∠ ACB$,所以$∠ ACB+∠ DCE=∠ ACE+∠ DCE+∠ BCD+∠ DCE=∠ ACD+∠ BCE$，因为$∠ ACD=∠ BCE=90°$,所以$∠ ACB+∠ DCE=90°+90°=180°$。
【知识点】
角的和差计算；直角的定义；角度关系探究
【点评】
本题以三角板叠放为背景考查角度计算，核心是抓住叠放过程中两个直角始终不变的特点，通过角的拆分与转化推导角度关系，是角度计算的常见题型，熟练掌握角的和差关系是解题的关键。
【难度系数】
0.8
首先明确本题的隐含条件：两个直角三角尺的直角均为90°，即∠ACD=∠BCE=90°。
对于(1)：要求∠ACB，可先根据∠BCE和已知的∠DCE求出∠BCD的度数，再结合∠ACD是直角，利用∠ACB=∠ACD+∠BCD计算即可。
对于(2)：已知∠ACB的度数，先通过∠ACB-∠ACD求出∠BCD的度数，再用∠BCE减去∠BCD即可得到∠DCE的度数。
对于(3)：要探究∠ACB和∠DCE的数量关系，可将∠ACB拆分为∠ACE+∠DCE+∠BCD，再把∠ACB和∠DCE相加，合并后可得∠ACD+∠BCE，结合两个直角的度数即可推出二者的和为定值。
【解析】
(1) 由题意得∠ACD=∠BCE=90°，
已知∠DCE=40°，则$∠ BCD=∠ BCE-∠ DCE=90°-40°=50°$，
∴$∠ ACB=∠ ACD+∠ BCD=90°+50°=140°$。
(2) 已知∠ACB=110°，∠ACD=90°，
则$∠ BCD=∠ ACB-∠ ACD=110°-90°=20°$，
∴$∠ DCE=∠ BCE-∠ BCD=90°-20°=70°$。
(3) 猜想：$∠ ACB+∠ DCE=180°$，理由如下：
∵$∠ ACB=∠ ACE+∠ DCE+∠ BCD$，
∴$∠ ACB+∠ DCE=∠ ACE+∠ DCE+∠ BCD+∠ DCE=∠ ACD+∠ BCE$，
又
∵$∠ ACD=∠ BCE=90°$，
∴$∠ ACB+∠ DCE=90°+90°=180°$。
【答案】
(1)$140^{\circ }$ (2)$70^{\circ }$ (3)$∠ ACB+∠ DCE=180°$，理由：因为$∠ ACE+∠ DCE+∠ BCD=∠ ACB$,所以$∠ ACB+∠ DCE=∠ ACE+∠ DCE+∠ BCD+∠ DCE=∠ ACD+∠ BCE$，因为$∠ ACD=∠ BCE=90°$,所以$∠ ACB+∠ DCE=90°+90°=180°$。
【知识点】
角的和差计算；直角的定义；角度关系探究
【点评】
本题以三角板叠放为背景考查角度计算，核心是抓住叠放过程中两个直角始终不变的特点，通过角的拆分与转化推导角度关系，是角度计算的常见题型，熟练掌握角的和差关系是解题的关键。
【难度系数】
0.8
4.如图，点O是直线AB上任意一点，从点O向AB上方引一条射线OC，使∠BOC=66°，OD平分∠BOC.
(1)求∠AOD的度数；
(2)若OE是从点O引出的另一条射线，使∠COE=$\frac{1}{3}$∠AOC，求∠DOE的度数.
(1)求∠AOD的度数；
(2)若OE是从点O引出的另一条射线，使∠COE=$\frac{1}{3}$∠AOC，求∠DOE的度数.
答案
(1)因为点O是直线AB上任意一点,$∠ BOC=66°$,所以$∠ AOC=180°-∠ BOC=180°-66°=114°$.因为OD平分$∠ BOC$,所以$∠ COD=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}×66°=33°$,所以$∠ AOD=∠ AOC+∠ COD=114°+33°=147°$;(2)由(1)知$∠ AOC=114°$,所以$∠ COE=\frac{1}{3}∠ AOC=\frac{1}{3}×114°=38°$.分两种情况讨论:如答图①
,当OE在OC左侧时,$∠ DOE=∠ COE+∠ COD=38°+33°=71°$.如答图②
,当OE在OC右侧时,$∠ DOE=∠ COE-∠ COD=38°-33°=5°$.综上所述,$∠ DOE$的度数为$71°$或$5°$.解析
【分析】
(1) 首先利用直线上的点形成平角为180°的性质，结合已知∠BOC的度数求出∠AOC的度数；再根据角平分线的定义算出∠COD的度数，最后通过角度相加得到∠AOD的度数。
(2) 先根据∠COE与∠AOC的数量关系求出∠COE的度数；由于题目未明确射线OE的位置，需分两种情况讨论：OE在OC左侧、OE在OC右侧，分别结合角度的和差关系计算∠DOE的度数即可。
【解析】
(1)
∵ 点O是直线AB上任意一点，
∴ ∠AOB=180°，
已知∠BOC=66°，
∴ ∠AOC=180°-∠BOC=180°-66°=114°，
∵ OD平分∠BOC，
∴ ∠COD=$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$×66°=33°，
∴ ∠AOD=∠AOC+∠COD=114°+33°=147°。
(2) 由(1)得∠AOC=114°，
∴ ∠COE=$\frac{1}{3}$∠AOC=$\frac{1}{3}$×114°=38°，分两种情况讨论：
① 如答图①，当OE在OC左侧时，∠DOE=∠COE+∠COD=38°+33°=71°；
② 如答图②，当OE在OC右侧时，∠DOE=∠COE-∠COD=38°-33°=5°。
综上所述，∠DOE的度数为71°或5°。
【答案】
(1) ∠AOD的度数为147°；
(2) ∠DOE的度数为71°或5°，对应情况参考：
如答图①，如答图②
【知识点】
平角的性质，角平分线的定义，角度分类计算
【点评】
本题是角度计算的常规题型，第一问可直接利用平角、角平分线的性质求解，第二问需要注意射线位置的不确定性，采用分类讨论的思想解题，避免出现漏解的情况。
【难度系数】
0.7
(1) 首先利用直线上的点形成平角为180°的性质，结合已知∠BOC的度数求出∠AOC的度数；再根据角平分线的定义算出∠COD的度数，最后通过角度相加得到∠AOD的度数。
(2) 先根据∠COE与∠AOC的数量关系求出∠COE的度数；由于题目未明确射线OE的位置，需分两种情况讨论：OE在OC左侧、OE在OC右侧，分别结合角度的和差关系计算∠DOE的度数即可。
【解析】
(1)
∵ 点O是直线AB上任意一点，
∴ ∠AOB=180°，
已知∠BOC=66°，
∴ ∠AOC=180°-∠BOC=180°-66°=114°，
∵ OD平分∠BOC，
∴ ∠COD=$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$×66°=33°，
∴ ∠AOD=∠AOC+∠COD=114°+33°=147°。
(2) 由(1)得∠AOC=114°，
∴ ∠COE=$\frac{1}{3}$∠AOC=$\frac{1}{3}$×114°=38°，分两种情况讨论：
① 如答图①
，当OE在OC左侧时，∠DOE=∠COE+∠COD=38°+33°=71°；② 如答图②
，当OE在OC右侧时，∠DOE=∠COE-∠COD=38°-33°=5°。综上所述，∠DOE的度数为71°或5°。
【答案】
(1) ∠AOD的度数为147°；
(2) ∠DOE的度数为71°或5°，对应情况参考：
如答图①
，如答图②【知识点】
平角的性质，角平分线的定义，角度分类计算
【点评】
本题是角度计算的常规题型，第一问可直接利用平角、角平分线的性质求解，第二问需要注意射线位置的不确定性，采用分类讨论的思想解题，避免出现漏解的情况。
【难度系数】
0.7
