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8. 用图象法求方程$ax^2 + bx + c = 0$（$a ≠ 0$）的近似根时，得出下面的表格：
请据此表格确定方程一个根的范围，并说明理由。
请据此表格确定方程一个根的范围，并说明理由。
答案
解：方程的一个根的取值范围是$3.2 ＜ x ＜ 3.5$。
理由如下：
设二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），该函数的图象是连续的抛物线。
当$x=3.2$时，$y=-0.3＜0$；
当$x=3.5$时，$y=0.2＞0$。
由此可知，在$3.2＜x＜3.5$这个区间内，函数$y=ax^2+bx+c$的图象必定与x轴有一个交点，因此方程$ax^2+bx+c=0$必有一个实数根在3.2和3.5之间。
理由如下：
设二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），该函数的图象是连续的抛物线。
当$x=3.2$时，$y=-0.3＜0$；
当$x=3.5$时，$y=0.2＞0$。
由此可知，在$3.2＜x＜3.5$这个区间内，函数$y=ax^2+bx+c$的图象必定与x轴有一个交点，因此方程$ax^2+bx+c=0$必有一个实数根在3.2和3.5之间。
解析
【分析】
解题首先要明确一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根，就是对应的二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴交点的横坐标。二次函数的图象是连续的抛物线，当x取两个不同值时，如果对应的函数值一正一负，说明这两个x之间的函数图象必然穿过x轴，也就是这个区间内存在x使得函数值为0，即对应方程的一个根。接下来观察表格数据，找到函数值发生正负变化对应的x区间即可。
【解析】
设二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），该函数的图象是连续的抛物线。
由表格数据可得：
当$x=3.2$时，$y=-0.3＜0$；
当$x=3.5$时，$y=0.2＞0$。
根据二次函数图象的连续性可知，在$3.2＜x＜3.5$这个区间内，函数$y=ax^2+bx+c$的图象必定与x轴有一个交点，即存在x满足$ax^2+bx+c=0$，因此方程$ax^2+bx+c=0$必有一个实数根在3.2和3.5之间。
【答案】
方程的一个根的取值范围是$3.2 ＜ x ＜ 3.5$。理由如下：设二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），该函数的图象是连续的抛物线。当$x=3.2$时，$y=-0.3＜0$；当$x=3.5$时，$y=0.2＞0$。由此可知，在$3.2＜x＜3.5$这个区间内，函数$y=ax^2+bx+c$的图象必定与x轴有一个交点，因此方程$ax^2+bx+c=0$必有一个实数根在3.2和3.5之间。
【知识点】
1.二次函数与一元二次方程的联系
2.二次函数图象性质
【点评】
本题考查利用二次函数估算一元二次方程近似根的方法，解题核心是掌握二次函数与对应一元二次方程的内在关联，能通过函数值的符号变化判断根所在的区间，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.8
解题首先要明确一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根，就是对应的二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴交点的横坐标。二次函数的图象是连续的抛物线，当x取两个不同值时，如果对应的函数值一正一负，说明这两个x之间的函数图象必然穿过x轴，也就是这个区间内存在x使得函数值为0，即对应方程的一个根。接下来观察表格数据，找到函数值发生正负变化对应的x区间即可。
【解析】
设二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），该函数的图象是连续的抛物线。
由表格数据可得：
当$x=3.2$时，$y=-0.3＜0$；
当$x=3.5$时，$y=0.2＞0$。
根据二次函数图象的连续性可知，在$3.2＜x＜3.5$这个区间内，函数$y=ax^2+bx+c$的图象必定与x轴有一个交点，即存在x满足$ax^2+bx+c=0$，因此方程$ax^2+bx+c=0$必有一个实数根在3.2和3.5之间。
【答案】
方程的一个根的取值范围是$3.2 ＜ x ＜ 3.5$。理由如下：设二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），该函数的图象是连续的抛物线。当$x=3.2$时，$y=-0.3＜0$；当$x=3.5$时，$y=0.2＞0$。由此可知，在$3.2＜x＜3.5$这个区间内，函数$y=ax^2+bx+c$的图象必定与x轴有一个交点，因此方程$ax^2+bx+c=0$必有一个实数根在3.2和3.5之间。
【知识点】
1.二次函数与一元二次方程的联系
2.二次函数图象性质
【点评】
本题考查利用二次函数估算一元二次方程近似根的方法，解题核心是掌握二次函数与对应一元二次方程的内在关联，能通过函数值的符号变化判断根所在的区间，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.8
9. 我们定义一种新函数：形如$y=|ax^2+bx+c|$（其中：$a≠0$，$b^2-4ac＞0$）的函数叫作“鹊桥”函数.如图，数学兴趣小组画出一个“鹊桥”函数$y=|ax^2+bx+c|$的图象，求关于$x$的方程$|ax^2+bx+c|=3$的所有实数根之和.
答案
解：
由图象可知，二次函数$y=ax^2+bx+c$与$x$轴的交点为$(-1,0)$和$(3,0)$，
根据韦达定理，方程$ax^2+bx+c=0$的两根之和为$-1+3=2$，即$-\frac{b}{a}=2$。
方程$|ax^2+bx+c|=3$等价于两个一元二次方程：
$ax^2+bx+c=3$和$ax^2+bx+c=-3$。
对于方程$ax^2+bx+c=3$，即$ax^2+bx+(c-3)=0$，由韦达定理得两根之和为$-\frac{b}{a}=2$；
对于方程$ax^2+bx+c=-3$，即$ax^2+bx+(c+3)=0$，由韦达定理得两根之和为$-\frac{b}{a}=2$。
因此方程$|ax^2+bx+c|=3$的所有实数根之和为$2+2=4$。
由图象可知，二次函数$y=ax^2+bx+c$与$x$轴的交点为$(-1,0)$和$(3,0)$，
根据韦达定理，方程$ax^2+bx+c=0$的两根之和为$-1+3=2$，即$-\frac{b}{a}=2$。
方程$|ax^2+bx+c|=3$等价于两个一元二次方程：
$ax^2+bx+c=3$和$ax^2+bx+c=-3$。
对于方程$ax^2+bx+c=3$，即$ax^2+bx+(c-3)=0$，由韦达定理得两根之和为$-\frac{b}{a}=2$；
对于方程$ax^2+bx+c=-3$，即$ax^2+bx+(c+3)=0$，由韦达定理得两根之和为$-\frac{b}{a}=2$。
因此方程$|ax^2+bx+c|=3$的所有实数根之和为$2+2=4$。
解析
【分析】
解题时首先结合新定义的“鹊桥”函数图像，确定原二次函数$y=ax^2+bx+c$与x轴的两个交点坐标，利用一元二次方程根与系数的关系求出$-\frac{b}{a}$的值；再将绝对值方程$|ax^2+bx+c|=3$拆分为两个一元二次方程，分别计算每个方程的两根之和，最后将所有根的和相加即可得到结果，不需要逐个求解方程的根，能简化计算过程。
【解析】
由图象可知，二次函数$y=ax^2+bx+c$与x轴的交点为$(-1,0)$和$(3,0)$，即$x=-1$和$x=3$是方程$ax^2+bx+c=0$的两个实数根。
根据一元二次方程根与系数的关系，方程$ax^2+bx+c=0$的两根之和为$-1+3=2$，即$-\frac{b}{a}=2$。
方程$|ax^2+bx+c|=3$可等价转化为两个一元二次方程：
①$ax^2+bx+c=3$，整理得$ax^2+bx+(c-3)=0$，设它的两根为$x_1,x_2$，由根与系数的关系得$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=2$；
②$ax^2+bx+c=-3$，整理得$ax^2+bx+(c+3)=0$，设它的两根为$x_3,x_4$，由根与系数的关系得$x_3+x_4=-\frac{b}{a}=2$。
因此方程$|ax^2+bx+c|=3$的所有实数根之和为$x_1+x_2+x_3+x_4=2+2=4$。
【答案】
$4$
【知识点】
1. 绝对值方程化简
2. 二次函数与一元二次方程的关系
3. 根与系数的关系
【点评】
本题结合新定义函数考查二次函数与一元二次方程的综合应用，解题的核心是将绝对值方程转化为两个普通一元二次方程，巧妙运用根与系数的关系避免了复杂的求根计算，体现了转化思想在代数解题中的应用。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合新定义的“鹊桥”函数图像，确定原二次函数$y=ax^2+bx+c$与x轴的两个交点坐标，利用一元二次方程根与系数的关系求出$-\frac{b}{a}$的值；再将绝对值方程$|ax^2+bx+c|=3$拆分为两个一元二次方程，分别计算每个方程的两根之和，最后将所有根的和相加即可得到结果，不需要逐个求解方程的根，能简化计算过程。
【解析】
由图象可知，二次函数$y=ax^2+bx+c$与x轴的交点为$(-1,0)$和$(3,0)$，即$x=-1$和$x=3$是方程$ax^2+bx+c=0$的两个实数根。
根据一元二次方程根与系数的关系，方程$ax^2+bx+c=0$的两根之和为$-1+3=2$，即$-\frac{b}{a}=2$。
方程$|ax^2+bx+c|=3$可等价转化为两个一元二次方程：
①$ax^2+bx+c=3$，整理得$ax^2+bx+(c-3)=0$，设它的两根为$x_1,x_2$，由根与系数的关系得$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=2$；
②$ax^2+bx+c=-3$，整理得$ax^2+bx+(c+3)=0$，设它的两根为$x_3,x_4$，由根与系数的关系得$x_3+x_4=-\frac{b}{a}=2$。
因此方程$|ax^2+bx+c|=3$的所有实数根之和为$x_1+x_2+x_3+x_4=2+2=4$。
【答案】
$4$
【知识点】
1. 绝对值方程化简
2. 二次函数与一元二次方程的关系
3. 根与系数的关系
【点评】
本题结合新定义函数考查二次函数与一元二次方程的综合应用，解题的核心是将绝对值方程转化为两个普通一元二次方程，巧妙运用根与系数的关系避免了复杂的求根计算，体现了转化思想在代数解题中的应用。
【难度系数】
0.7
