7. 在平面直角坐标系中,画正比例函数$y=\frac{2}{3}x$,$y=-3x$的图象,并分别判断点$A(\frac{3}{2},1)$,$B(-1,3)$,$C(-2,-\frac{5}{3})$,$D(\frac{4}{3},-4)$与两个函数图象之间的位置关系.

解：
一、画函数图象
1. 对于正比例函数$y=\frac{2}{3}x$，取两点$(0,0)$、$(3,2)$，过这两点画直线，即为$y=\frac{2}{3}x$的图象；
2. 对于正比例函数$y=-3x$，取两点$(0,0)$、$(1,-3)$，过这两点画直线，即为$y=-3x$的图象。
二、判断点与函数图象的位置关系
将点的横坐标代入对应函数解析式，若计算得到的函数值等于点的纵坐标，则点在该函数图象上，否则不在。
1. 对点$A(\frac{3}{2},1)$：
把$x=\frac{3}{2}$代入$y=\frac{2}{3}x$，得$y=\frac{2}{3}×\frac{3}{2}=1$，与点A纵坐标相等；
把$x=\frac{3}{2}$代入$y=-3x$，得$y=-3×\frac{3}{2}=-\frac{9}{2}≠1$。
因此点$A$在函数$y=\frac{2}{3}x$的图象上，不在函数$y=-3x$的图象上。
2. 对点$B(-1,3)$：
把$x=-1$代入$y=-3x$，得$y=-3×(-1)=3$，与点B纵坐标相等；
把$x=-1$代入$y=\frac{2}{3}x$，得$y=\frac{2}{3}×(-1)=-\frac{2}{3}≠3$。
因此点$B$在函数$y=-3x$的图象上，不在函数$y=\frac{2}{3}x$的图象上。
3. 对点$C(-2,-\frac{5}{3})$：
把$x=-2$代入$y=\frac{2}{3}x$，得$y=\frac{2}{3}×(-2)=-\frac{4}{3}≠-\frac{5}{3}$；
把$x=-2$代入$y=-3x$，得$y=-3×(-2)=6≠-\frac{5}{3}$。
因此点$C$既不在$y=\frac{2}{3}x$的图象上，也不在$y=-3x$的图象上。
4. 对点$D(\frac{4}{3},-4)$：
把$x=\frac{4}{3}$代入$y=-3x$，得$y=-3×\frac{4}{3}=-4$，与点D纵坐标相等；
把$x=\frac{4}{3}$代入$y=\frac{2}{3}x$，得$y=\frac{2}{3}×\frac{4}{3}=\frac{8}{9}≠-4$。
因此点$D$在函数$y=-3x$的图象上，不在函数$y=\frac{2}{3}x$的图象上。

8.（1）在同一平面直角坐标系中画出$y=x$，$y=-x$的图象；
（2）尽可能多地说明（1）中两个函数图象的位置关系；
（3）尝试证明（2）中的位置关系。

解：
(1) 采用两点法绘制图象：
对于函数$y=x$，取点$(0,0)$和$(1,1)$，过两点作直线，即为$y=x$的图象；
对于函数$y=-x$，取点$(0,0)$和$(1,-1)$，过两点作直线，即为$y=-x$的图象。
(2) 两个函数图象的位置关系：
① 两条直线都经过坐标原点，交于原点；
② 两条直线互相垂直，夹角为$90°$；
③ 两条直线关于$x$轴对称；
④ 两条直线关于$y$轴对称。
(3) 证明：
① 当$x=0$时，$y=x$对应的$y=0$，$y=-x$对应的$y=0$，因此两条直线都过原点，交于原点。
② 在直线$y=x$上任取异于原点的点$A(a,a)$（$a≠0$），在直线$y=-x$上取点$B(a,-a)$，连接$AB$。
由勾股定理得：
$OA^2=a^2+a^2=2a^2$，
$OB^2=a^2+(-a)^2=2a^2$，
$AB^2=(a-a)^2+[a-(-a)]^2=4a^2$，
可得$OA^2+OB^2=AB^2$，根据勾股定理逆定理，$∠ AOB=90°$，即$OA⊥ OB$，因此两条直线互相垂直。
③ 若点$P(x,x)$在$y=x$的图象上，它关于$x$轴的对称点为$P'(x,-x)$，该点坐标满足$y=-x$，即$P'$在$y=-x$的图象上；同理$y=-x$上任意一点关于$x$轴的对称点都在$y=x$的图象上，因此两条直线关于$x$轴对称。
④ 若点$P(x,x)$在$y=x$的图象上，它关于$y$轴的对称点为$P''(-x,x)$，该点坐标满足$y=-(-x)=x$，即$P''$在$y=-x$的图象上；同理$y=-x$上任意一点关于$y$轴的对称点都在$y=x$的图象上，因此两条直线关于$y$轴对称。