7. 一个角的余角是它的补角的$\frac{2}{5}$，这个角的补角是（）

A.$30°$
B.$60°$
C.$120°$
D.$150°$

7.D

【分析】
遇到这类角度关系的问题，首先回忆余角和补角的定义：若两个角的和为90°，则两角互余；若两个角的和为180°，则两角互补。我们可以先设这个角的度数为未知数，分别用含未知数的式子表示出它的余角和补角，再结合题目给出的“余角是补角的$\frac{2}{5}$”这一等量关系列方程，求解出这个角的度数后，再计算它的补角即可。
【解析】
设这个角的度数为$x$。
根据余角和补角的定义，这个角的余角为$90° - x$，补角为$180° - x$。
根据题意列方程：
$90° - x = \frac{2}{5}(180° - x)$
等式两边同时乘5消去分母：
$5(90° - x) = 2(180° - x)$
展开得：
$450° - 5x = 360° - 2x$
移项合并同类项：
$3x = 90°$
解得：
$x = 30°$
所以这个角的补角为$180° - 30° = 150°$。
故选：D
【答案】
D
【知识点】
余角与补角定义；一元一次方程的应用
【点评】
本题考查余角、补角的概念以及方程思想在角度计算中的运用，解题的关键是正确理解余角、补角的含义，准确找到等量关系列方程求解，是角度计算类的基础题型。
【难度系数】
0.7

8.如图,在线段MN上有P、Q两点,PQ长度为2cm,MN长为整数,则以M,P,Q,N为端点的所有线段长度和可能为 ()

A.22cm
B.21cm
C.20cm
D.19cm

8.C

【分析】
首先数出以M、P、Q、N为端点的所有线段，共6条；再通过线段的和差关系，将这些线段的总长度转化为用已知的PQ和MN表示的式子；结合PQ=2cm、MN是整数的条件，推导总长度的特征，最后验证选项即可得到答案。
【解析】
解：以M、P、Q、N为端点的线段有：MP、MQ、MN、PQ、PN、QN，共6条，它们的长度和为：
$S = MP + MQ + MN + PQ + PN + QN$
根据线段和差关系：$MQ = MP + PQ$，$PN = PQ + QN$，$MP + PQ + QN = MN$，代入上式化简：
$\begin{aligned}S &= MP + (MP + PQ) + MN + PQ + (PQ + QN) + QN \\&= 2(MP + QN) + 3PQ + MN \\&=2(MN - PQ) + 3PQ + MN \\&= 3MN + PQ\end{aligned}$
已知$PQ=2\mathrm{cm}$，因此$S = 3MN + 2$，其中MN为正整数，即$S-2$必须是3的倍数，逐一验证选项：
A. $22-2=20$，20不是3的倍数，不符合；
B. $21-2=19$，19不是3的倍数，不符合；
C. $20-2=18$，18是3的倍数，此时$MN=6\mathrm{cm}$，符合要求；
D. $19-2=17$，17不是3的倍数，不符合。
【答案】
C
【知识点】
线段的计数；线段和差计算
【点评】
本题解题关键是将多条线段的长度和转化为用已知条件和整长线段表示的式子，结合整数性质快速筛选选项，避免逐个赋值浪费时间。
【难度系数】
0.6

9.如图，O是直线AB上一点，OC为任一条射线，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC.
(1)若∠BOC=58°，求∠EOC的度数.
(2)猜想：∠COD与∠EOC具有怎样的数量关系？请说明理由.

9.(1)$61°$ (2)$∠COD+∠EOC=90°$

【分析】
(1) 解题思路：首先根据O在直线AB上，可知∠AOB是平角为180°，结合已知∠BOC的度数，先求出∠AOC的度数；再根据OE是∠AOC的角平分线，角平分线将角分成两个相等的部分，即可求出∠EOC的度数。
(2) 解题思路：分别根据OD、OE是角平分线，将∠COD转化为∠BOC的一半，∠EOC转化为∠AOC的一半；再结合∠AOC和∠BOC之和为平角180°，将两个角相加化简即可得到二者的数量关系。
【解析】
(1) 解：
∵ O是直线AB上一点，
∴ $∠ AOC + ∠ BOC = ∠ AOB = 180°$，
∵ $∠ BOC=58°$，
∴ $∠ AOC = 180° - 58° = 122°$，
∵ OE平分$∠ AOC$，
∴ $∠ EOC = \frac{1}{2}∠ AOC = \frac{1}{2}×122° = 61°$。
(2) 猜想：$∠ COD + ∠ EOC = 90°$，理由如下：
∵ OD平分$∠ BOC$，OE平分$∠ AOC$，
∴ $∠ COD = \frac{1}{2}∠ BOC$，$∠ EOC = \frac{1}{2}∠ AOC$，
∴ $∠ COD + ∠ EOC = \frac{1}{2}(∠ BOC + ∠ AOC)$，
又
∵ $∠ BOC + ∠ AOC = 180°$，
∴ $∠ COD + ∠ EOC = \frac{1}{2}×180° = 90°$。
【答案】
(1) $61°$；(2) $∠ COD+∠ EOC=90°$
【知识点】
1. 平角的定义 2. 角平分线的定义 3. 余角的概念
【点评】
本题侧重考查角平分线的性质与平角的定义，解题的核心是利用角平分线的性质将未知角与已知的平角建立关联，是角度计算类的基础题型，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8

10.已知 O 为直线 AB 上一点,将一直角三角板 OMN 的直角顶点放在点 O 处.
射线 OC 平分∠MOB.
(1)如图 1,若∠AOM=40°,求∠CON 的度数.
(2)将图 1 中的直角三角板 OMN 绕顶点 O 顺时针旋转至图 2 的位置,当∠AOC=3∠BON 时,求∠AOM 的度数.

10.(1)$20°$ (2)$144°$

【分析】
(1) 解题思路：首先根据平角的定义求出∠MOB的度数，再利用角平分线的性质求出∠MOC的度数，最后结合直角三角板的∠MON=90°，用∠MON减去∠MOC即可得到∠CON的度数。
(2) 解题思路：设∠AOM的度数为x，先用含x的式子分别表示出∠BOM、∠COB、∠AOC，再结合直角三角板的性质表示出∠BON，最后根据∠AOC=3∠BON的等量关系列方程求解即可。
【解析】
(1) 解：
∵O是直线AB上一点，
∴∠AOB=180°，
∵∠AOM=40°，
∴∠MOB=∠AOB-∠AOM=180°-40°=140°，
∵OC平分∠MOB，
∴∠MOC=½∠MOB=½×140°=70°，
∵直角三角板OMN的∠MON=90°，
∴∠CON=∠MON-∠MOC=90°-70°=20°。
(2) 解：
设∠AOM=x，
∵O是直线AB上一点，
∴∠AOB=180°，
∴∠BOM=180°-∠AOM=180°-x，
∵OC平分∠BOM，
∴∠COB=½∠BOM=½(180°-x)，
∴∠AOC=∠AOB-∠COB=180°-½(180°-x)=90°+½x，
∵直角三角板OMN的∠MON=90°，
∴∠BON=∠MON-∠BOM=90°-(180°-x)=x-90°，
根据题意∠AOC=3∠BON，列方程得：
$90°+\frac{1}{2}x=3(x-90°)$
去括号得：$90°+\frac{1}{2}x=3x-270°$
移项合并同类项得：$\frac{5}{2}x=360°$
解得：$x=144°$，即∠AOM=144°。
【答案】
(1)$20°$；(2)$144°$
【知识点】
平角的定义；角平分线的性质；角度和差计算
【点评】
本题结合三角板旋转考查角度计算，第一问难度较低，直接利用角的和差关系即可求解；第二问需要准确识别旋转后角的位置关系，运用方程思想求解，能很好地考查学生的几何识图能力和方程思想的应用能力。
【难度系数】
0.65