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8.[应用意识]如图
,有一个池塘,要测池塘两端A,B的距离,可先在平地上取一个点C,从点C不经过池塘可以直接达到点A和B,连接AC并延长到点D,使$CD=CA$,连接BC并延长到点E,使$CE=CB$,连接DE,量出$DE=80$ m,则$AB=$
,有一个池塘,要测池塘两端A,B的距离,可先在平地上取一个点C,从点C不经过池塘可以直接达到点A和B,连接AC并延长到点D,使$CD=CA$,连接BC并延长到点E,使$CE=CB$,连接DE,量出$DE=80$ m,则$AB=$80
m.答案
8.80
解析
【分析】
要测量无法直接量取的AB的长度，可通过构造全等三角形将AB转化为可测量的线段。首先观察题目给出的边相等条件：CD=CA、CE=CB，同时AC与BD相交形成的对顶角∠ACB和∠DCE相等，满足全等三角形SAS的判定条件，证得△ABC和△DEC全等后，根据全等三角形对应边相等，即可得到AB=DE，代入DE的长度就能求出AB的值。
【解析】
在$△ ABC$和$△ DEC$中：
$\begin{cases}CA=CD \quad (\mathrm{已知}) \\∠ ACB=∠ DCE \quad (\mathrm{对顶角相等}) \\CB=CE \quad (\mathrm{已知})\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ DEC \ (\mathrm{SAS})$
$\therefore AB=DE$（全等三角形对应边相等）
$\because DE=80\ \mathrm{m}$
$\therefore AB=80\ \mathrm{m}$
【答案】
80
【知识点】
SAS全等判定，全等三角形的性质，对顶角的性质
【点评】
本题是全等三角形在实际测量问题中的典型应用，核心思路是构造全等三角形，将不可直接测量的线段长度转化为可直接测量的线段长度，解题的关键是准确找到两个三角形全等的判定条件。
【难度系数】
0.9
要测量无法直接量取的AB的长度，可通过构造全等三角形将AB转化为可测量的线段。首先观察题目给出的边相等条件：CD=CA、CE=CB，同时AC与BD相交形成的对顶角∠ACB和∠DCE相等，满足全等三角形SAS的判定条件，证得△ABC和△DEC全等后，根据全等三角形对应边相等，即可得到AB=DE，代入DE的长度就能求出AB的值。
【解析】
在$△ ABC$和$△ DEC$中：
$\begin{cases}CA=CD \quad (\mathrm{已知}) \\∠ ACB=∠ DCE \quad (\mathrm{对顶角相等}) \\CB=CE \quad (\mathrm{已知})\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ DEC \ (\mathrm{SAS})$
$\therefore AB=DE$（全等三角形对应边相等）
$\because DE=80\ \mathrm{m}$
$\therefore AB=80\ \mathrm{m}$
【答案】
80
【知识点】
SAS全等判定，全等三角形的性质，对顶角的性质
【点评】
本题是全等三角形在实际测量问题中的典型应用，核心思路是构造全等三角形，将不可直接测量的线段长度转化为可直接测量的线段长度，解题的关键是准确找到两个三角形全等的判定条件。
【难度系数】
0.9
9. 如图, 在 $Rt△ ABC$ 中, $∠ C=90°$, 以顶点 $A$ 为圆心, 适当长为半径画弧, 分别交 $AB, AC$ 于点 $D, E$, 再分别以点 $D, E$ 为圆心, 大于 $\frac{1}{2}DE$ 长为半径画弧, 两弧交于点 $F$, 作射线 $AF$, 交边 $BC$ 于点 $G$. 若 $△ ABG$ 的面积是 $15$, $AB=10$, 则 $CG=$ (
A.$1$
B.$1.5$
C.$3$
D.$4$
第9题图 第10题图
C
)A.$1$
B.$1.5$
C.$3$
D.$4$
第9题图 第10题图
答案
9.C
解析
【分析】
首先根据题中的尺规作图步骤，可判断出射线AF是∠BAC的角平分线；再结合角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可知CG等于点G到AB边的距离；最后利用△ABG的面积和AB的长度，求出AB边上的高，即可得到CG的长度。
【解析】
由尺规作图的方法可知，AF是∠BAC的角平分线。
过点G作GH⊥AB于点H，
∵∠C=90°，
∴GC⊥AC，
根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，可得：CG=GH。
已知△ABG的面积为15，AB=10，由三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$得：
$S_{△ABG}=\frac{1}{2}×AB×GH=15$
代入AB=10：
$\frac{1}{2}×10×GH=15$
解得GH=3，
∴CG=GH=3。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积公式，尺规作角平分线
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是先识别尺规作图得到角平分线，再利用角平分线的性质将所求线段转化为三角形的高，结合面积公式计算即可，是角平分线性质应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
首先根据题中的尺规作图步骤，可判断出射线AF是∠BAC的角平分线；再结合角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可知CG等于点G到AB边的距离；最后利用△ABG的面积和AB的长度，求出AB边上的高，即可得到CG的长度。
【解析】
由尺规作图的方法可知，AF是∠BAC的角平分线。
过点G作GH⊥AB于点H，
∵∠C=90°，
∴GC⊥AC，
根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，可得：CG=GH。
已知△ABG的面积为15，AB=10，由三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$得：
$S_{△ABG}=\frac{1}{2}×AB×GH=15$
代入AB=10：
$\frac{1}{2}×10×GH=15$
解得GH=3，
∴CG=GH=3。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积公式，尺规作角平分线
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是先识别尺规作图得到角平分线，再利用角平分线的性质将所求线段转化为三角形的高，结合面积公式计算即可，是角平分线性质应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
10.如图，AB//CD，点P到AB，BC，CD距离都相等，则∠P的度数是 （
A.80°
B.90°
C.120°
D.100°
B
）A.80°
B.90°
C.120°
D.100°
答案
10.B
解析
【分析】
解题时首先结合角平分线的判定定理分析：到角两边距离相等的点在角的平分线上，由点P到AB、BC距离相等可得PB平分∠ABC，点P到BC、CD距离相等可得PC平分∠BCD；再利用平行线的性质得到∠ABC与∠BCD的和，进而求出∠PBC与∠PCB的和；最后根据三角形内角和定理即可求出∠P的度数。
【解析】
解：
∵点P到AB、BC的距离相等，
∴PB平分∠ABC，即$∠ PBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，
同理，点P到BC、CD的距离相等，
∴PC平分∠BCD，即$∠ PCB=\frac{1}{2}∠ BCD$，
∵AB//CD，
∴$∠ ABC+∠ BCD=180°$（两直线平行，同旁内角互补），
∴$∠ PBC+∠ PCB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ BCD)=\frac{1}{2}×180°=90°$，
在$△ PBC$中，根据三角形内角和为$180°$，
$∠ P=180°-(∠ PBC+∠ PCB)=180°-90°=90°$。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的判定；平行线的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础的几何综合题，解题的核心是通过点到直线的距离相等推导得到角平分线，再结合平行线的角的关系和三角形内角和定理计算角度，属于常考题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合角平分线的判定定理分析：到角两边距离相等的点在角的平分线上，由点P到AB、BC距离相等可得PB平分∠ABC，点P到BC、CD距离相等可得PC平分∠BCD；再利用平行线的性质得到∠ABC与∠BCD的和，进而求出∠PBC与∠PCB的和；最后根据三角形内角和定理即可求出∠P的度数。
【解析】
解：
∵点P到AB、BC的距离相等，
∴PB平分∠ABC，即$∠ PBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，
同理，点P到BC、CD的距离相等，
∴PC平分∠BCD，即$∠ PCB=\frac{1}{2}∠ BCD$，
∵AB//CD，
∴$∠ ABC+∠ BCD=180°$（两直线平行，同旁内角互补），
∴$∠ PBC+∠ PCB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ BCD)=\frac{1}{2}×180°=90°$，
在$△ PBC$中，根据三角形内角和为$180°$，
$∠ P=180°-(∠ PBC+∠ PCB)=180°-90°=90°$。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的判定；平行线的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础的几何综合题，解题的核心是通过点到直线的距离相等推导得到角平分线，再结合平行线的角的关系和三角形内角和定理计算角度，属于常考题型。
【难度系数】
0.7
11.如图,在$△ ABC$中,D是BC的中点,$DE⊥ AB$于点E,$DF⊥ AC$于点F,$BE=CF$.求证:AD是$△ ABC$的角平分线. 
答案
11.证明:
∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴△BDE和△CDF都是直角三角形.
在Rt△BDE和Rt△CDF中,$\begin{cases} BD=CD, \\ BE=CF, \end{cases}$
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).
∴DE=DF.
又DE⊥AB,DF⊥AC,
∴AD是∠BAC的平分线,
即AD是△ABC的角平分线.
∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴△BDE和△CDF都是直角三角形.
在Rt△BDE和Rt△CDF中,$\begin{cases} BD=CD, \\ BE=CF, \end{cases}$
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).
∴DE=DF.
又DE⊥AB,DF⊥AC,
∴AD是∠BAC的平分线,
即AD是△ABC的角平分线.
解析
【分析】
要证明AD是△ABC的角平分线，根据角平分线的判定定理，只需证明点D到AB、AC的距离相等，即DE=DF即可。首先结合已知条件，D是BC中点可得BD=CD，DE⊥AB、DF⊥AC说明△BDE和△CDF都是直角三角形，再结合已知的BE=CF，可通过HL定理证明两个直角三角形全等，得到DE=DF，最终即可推导出AD是角平分线。
【解析】
证明：
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴△BDE和△CDF都是直角三角形。
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
$\begin{cases} BD=CD, \\ BE=CF, \end{cases}$
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）。
∴DE=DF。
又
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD是∠BAC的平分线，即AD是△ABC的角平分线。
【答案】
AD是△ABC的角平分线
【知识点】
1. 直角三角形全等的HL判定
2. 全等三角形的性质
3. 角平分线的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，将三角形全等的判定与角平分线的判定结合考查，解题的关键是通过证明直角三角形全等得到两条垂线段相等，再利用角平分线判定定理得到结论，需熟练掌握相关定理的应用条件。
【难度系数】
0.8
要证明AD是△ABC的角平分线，根据角平分线的判定定理，只需证明点D到AB、AC的距离相等，即DE=DF即可。首先结合已知条件，D是BC中点可得BD=CD，DE⊥AB、DF⊥AC说明△BDE和△CDF都是直角三角形，再结合已知的BE=CF，可通过HL定理证明两个直角三角形全等，得到DE=DF，最终即可推导出AD是角平分线。
【解析】
证明：
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴△BDE和△CDF都是直角三角形。
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
$\begin{cases} BD=CD, \\ BE=CF, \end{cases}$
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）。
∴DE=DF。
又
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD是∠BAC的平分线，即AD是△ABC的角平分线。
【答案】
AD是△ABC的角平分线
【知识点】
1. 直角三角形全等的HL判定
2. 全等三角形的性质
3. 角平分线的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，将三角形全等的判定与角平分线的判定结合考查，解题的关键是通过证明直角三角形全等得到两条垂线段相等，再利用角平分线判定定理得到结论，需熟练掌握相关定理的应用条件。
【难度系数】
0.8
12.[分类讨论思想]如图1,在长方形ABCD中,AB=CD=6 cm,BC=10 cm,点P从点B出发,以2 cm/s的速度沿BC向点C运动,设点P的运动时间为t s.
(1)PC=
(2)当t为何值时,△ABP≌△DCP?
(3)如图2,当点P从点B开始运动,同时,点Q从点C出发,以v cm/s的速度沿CD向点D运动,是否存在这样v的值,使得△ABP与△PQC全等?若存在,请求出v的值;若不存在,请说明理由.
(1)PC=
(10−2t)
cm;(用含t的式子表示)(2)当t为何值时,△ABP≌△DCP?
(3)如图2,当点P从点B开始运动,同时,点Q从点C出发,以v cm/s的速度沿CD向点D运动,是否存在这样v的值,使得△ABP与△PQC全等?若存在,请求出v的值;若不存在,请说明理由.
答案
12.解:(1)(10−2t)
(2)
∵△ABP≌△DCP,
∴BP=CP.
∴2t=10−2t,解得t=2.5.
∴当t=2.5时,△ABP≌△DCP.
(3)存在.
①当BP=CQ,AB=PC时,△ABP≌△PCQ.
∵AB=6 cm,
∴PC=6 cm.
∴BP=10−6=4(cm).
∴t=4÷2=2.
∴2v=4,解得v=2.
②当BA=CQ,PB=PC时,△ABP≌△QCP.
∵BP=PC,
∴BP=PC=$\frac{1}{2}$BC=5 cm.
∴2t=5,解得t=2.5.
∵CQ=AB=6 cm,
∴2.5v=6,解得v=2.4.
综上所述,当v=2或2.4时,△ABP和△PQC全等.
(2)
∵△ABP≌△DCP,
∴BP=CP.
∴2t=10−2t,解得t=2.5.
∴当t=2.5时,△ABP≌△DCP.
(3)存在.
①当BP=CQ,AB=PC时,△ABP≌△PCQ.
∵AB=6 cm,
∴PC=6 cm.
∴BP=10−6=4(cm).
∴t=4÷2=2.
∴2v=4,解得v=2.
②当BA=CQ,PB=PC时,△ABP≌△QCP.
∵BP=PC,
∴BP=PC=$\frac{1}{2}$BC=5 cm.
∴2t=5,解得t=2.5.
∵CQ=AB=6 cm,
∴2.5v=6,解得v=2.4.
综上所述,当v=2或2.4时,△ABP和△PQC全等.
解析
【分析】
(1) 先根据点P的运动速度和运动时间求出BP的长度，再利用线段和差关系，用BC的总长度减去BP的长度，即可得到PC的表达式。
(2) 长方形中∠B和∠C均为直角，且已知AB=CD，要使△ABP≌△DCP，根据SAS全等判定条件，只需满足BP=CP，据此列方程即可求出t的值。
(3) △ABP和△PQC都是直角三角形，全等时对应边的组合不唯一，因此需要分类讨论两种对应情况：①AB对应PC、BP对应CQ；②AB对应CQ、BP对应PC，分别根据对应边相等列方程求出t的值，再结合点Q的运动规律求出对应的v值即可。
【解析】
(1) 点P的运动速度为2 cm/s，运动时间为t s，因此BP=2t cm。
已知BC=10 cm，所以PC=BC-BP=(10-2t)cm。
(2) 因为四边形ABCD是长方形，所以∠B=∠C=90°，且AB=CD=6 cm。
若△ABP≌△DCP，根据SAS判定定理，需满足BP=CP，
即2t=10-2t，
解得t=2.5。
(3) 存在符合条件的v值，分两种情况讨论：
①当BP=CQ，AB=PC时，△ABP≌△PCQ（SAS）。
因为AB=6 cm，所以PC=6 cm，
因此BP=10-6=4 cm，
由2t=4，解得t=2，
此时CQ=4 cm，点Q运动时间为2 s，因此2v=4，解得v=2。
②当BA=CQ，PB=PC时，△ABP≌△QCP（SAS）。
因为PB=PC，所以BP=PC=$\frac{1}{2}$BC=5 cm，
由2t=5，解得t=2.5，
此时CQ=6 cm，点Q运动时间为2.5 s，因此2.5v=6，解得v=2.4。
综上，v=2或2.4时两个三角形全等。
【答案】
(1) $\boldsymbol{10-2t}$
(2) $\boldsymbol{t=2.5}$
(3) 存在，$\boldsymbol{v=2}$或$\boldsymbol{v=2.4}$
【知识点】
长方形的性质，全等三角形的判定与性质，分类讨论思想
【点评】
本题是典型的动点几何综合题，重点考查全等三角形相关知识的应用，解题核心是结合全等三角形对应边的不确定性分类讨论，避免漏解，能有效锻炼逻辑思维的严谨性。
【难度系数】
0.7
(1) 先根据点P的运动速度和运动时间求出BP的长度，再利用线段和差关系，用BC的总长度减去BP的长度，即可得到PC的表达式。
(2) 长方形中∠B和∠C均为直角，且已知AB=CD，要使△ABP≌△DCP，根据SAS全等判定条件，只需满足BP=CP，据此列方程即可求出t的值。
(3) △ABP和△PQC都是直角三角形，全等时对应边的组合不唯一，因此需要分类讨论两种对应情况：①AB对应PC、BP对应CQ；②AB对应CQ、BP对应PC，分别根据对应边相等列方程求出t的值，再结合点Q的运动规律求出对应的v值即可。
【解析】
(1) 点P的运动速度为2 cm/s，运动时间为t s，因此BP=2t cm。
已知BC=10 cm，所以PC=BC-BP=(10-2t)cm。
(2) 因为四边形ABCD是长方形，所以∠B=∠C=90°，且AB=CD=6 cm。
若△ABP≌△DCP，根据SAS判定定理，需满足BP=CP，
即2t=10-2t，
解得t=2.5。
(3) 存在符合条件的v值，分两种情况讨论：
①当BP=CQ，AB=PC时，△ABP≌△PCQ（SAS）。
因为AB=6 cm，所以PC=6 cm，
因此BP=10-6=4 cm，
由2t=4，解得t=2，
此时CQ=4 cm，点Q运动时间为2 s，因此2v=4，解得v=2。
②当BA=CQ，PB=PC时，△ABP≌△QCP（SAS）。
因为PB=PC，所以BP=PC=$\frac{1}{2}$BC=5 cm，
由2t=5，解得t=2.5，
此时CQ=6 cm，点Q运动时间为2.5 s，因此2.5v=6，解得v=2.4。
综上，v=2或2.4时两个三角形全等。
【答案】
(1) $\boldsymbol{10-2t}$
(2) $\boldsymbol{t=2.5}$
(3) 存在，$\boldsymbol{v=2}$或$\boldsymbol{v=2.4}$
【知识点】
长方形的性质，全等三角形的判定与性质，分类讨论思想
【点评】
本题是典型的动点几何综合题，重点考查全等三角形相关知识的应用，解题核心是结合全等三角形对应边的不确定性分类讨论，避免漏解，能有效锻炼逻辑思维的严谨性。
【难度系数】
0.7
