20. (2025 新乡二模)如图,矩形 ABCD 中,点 E 是 BC 上的一点,AE = AD.
(1)请用无刻度的直尺和圆规过点 D 作 AE 的垂线,交 AE 于点 F;(保留作图痕迹,不写作法)
(2)在(1)的条件下,若 AB = 3,BC = 5,求 EF 的长.

解$:(1) $　　

$(2) $矩形$ ABCD $中，$AD=BC=5，$$AB=CD=3，$$∠B=90°。$　　
∵$AE=AD=5，$在$ Rt△ABE $中，$BE=\sqrt{(AE²-AB²)}=\sqrt{(5²-3²)}=4，$　　
∴$EC=BC-BE=5-4=1。$　　
在$ Rt△DCE $中，$DE=\sqrt{(CD²+EC²)}=\sqrt{(3²+1²)}=\sqrt{10}。$　　
设$ EF=x，$则$ AF=AE-EF=5-x。$　　
∵$DF⊥AE，$　　
∴$∠AFD=∠DFE=90°。$　　
在$ Rt△ADF $中，$DF²=AD²-AF²=5²-(5-x)²=25-(25-10x+x²)=10x-x²。$　　
在$ Rt△DFE $中，$DF²+EF²=DE²，$　　
即$(10x-x²)+x²=10，$　　
解得$ x=1。$　　
∴$EF=1。$　　

21. (2025 信阳二模)如图,AB 为⊙O 的直径,OC ⊥ AB 交⊙O 于点 C,D 为 OB 上一点,连接 CD 并延长,交⊙O 于点 E.
(1)尺规作图:作⊙O 的切线 EF,交 AB 的延长线于点 F;(保留作图痕迹,不写作法)
(2)试判断△DEF 的形状,并说明理由.

解$:(1)$　　
$(2)△DEF$为等腰三角形。理由如下：　　
∵$OC⊥AB，$　　
∴$∠COD=90°，$　　
则$∠OCD+∠ODC=90°。$　　
∵$OC=OE（$均为半径$），$　　
∴$∠OCD=∠OEC。$　　
∵$EF$是$⊙O$切线，　　
∴$OE⊥EF，$　　
即$∠OEF=90°，$　　
则$∠OEC+∠DEF=90°。$　　
∵$∠ODC=∠EDF（$对顶角相等$），$　　
∴$∠OCD+∠EDF=90°。$　　
∴$∠EDF=∠DEF，$　　
故$DF=EF，$　　
∴$△DEF$为等腰三角形。　　

22. (2025 郑州四模)如图是一张半圆形纸片,AB 是其直径,C 是半圆 O 上一点,将纸片沿直线 AC 翻折后,交直径 AB 于点 D,且点 D 恰好落在点 O 处.
(1)尺规作图:在图中作出点 D 折叠前的对应点 E;(保留作图痕迹,不写作法)
(2)分别连接 AE,CE,CD,请判断四边形 ADCE 的形状并说明理由;
(3)连接 BE,与 AC,CD 分别交于点 F,G,则 $\frac{FG}{BG}$ = .

解:（1）

（2）四边形$ADCE$是菱形。
理由：
由折叠可知$AE = AD$，$\angle EAC=\angle DAC$，$CE = CD$。
因为$OA = OC$，所以$\angle OAC=\angle OCA$。
又因为$\angle EAC=\angle DAC$，所以$\angle EAC=\angle OCA$，则$AE// CD$。
因为$AB$是半圆$O$的直径，$\angle ACB = 90^{\circ}$（直径所对的圆周角是直角），由折叠可知$\angle AEC=\angle AOC = 180^{\circ}$（平角定义），$\angle AEC = 90^{\circ}$，$\angle ADC=\angle AOC = 180^{\circ}$（平角定义），$\angle ADC = 90^{\circ}$。
设$OA = r$，则$AB = 2r$，因为$AD = AO=r$，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$\angle B = 30^{\circ}$（在$Rt\triangle ABC$中，$\cos B=\frac{BC}{AB}$，$\angle B = 30^{\circ}$时，$BC=\sqrt{3}r$，$AC = r$），$\angle BAC = 60^{\circ}$，所以$\angle EAC=\angle DAC = 30^{\circ}$。
在$Rt\triangle AEC$中，$AE = AD=r$，$CE=\sqrt{AC^{2}-AE^{2}\cos^{2}\angle EAC}$（这里也可通过全等或其他方法），因为$\triangle AEC\cong\triangle ADC$（$AAS$：$\angle AEC=\angle ADC = 90^{\circ}$，$\angle EAC=\angle DAC$，$AC = AC$），所以$AE = AD = CE = CD$。
根据菱形的判定定理：四条边相等的四边形是菱形，所以四边形$ADCE$是菱形。
3. （3）
答案：$\frac{1}{3}$。
证明：
连接$OE$，$OC$。因为$OA = OE = OC$，$\angle EAC=\angle DAC = 30^{\circ}$，$\angle AOE = 120^{\circ}$，$\angle AOC = 60^{\circ}$，所以$\triangle AOC$是等边三角形，$AC = OA$。
因为$AE// CD$，所以$\triangle AEF∼\triangle CGF$，$\triangle AEB∼\triangle DGB$。
设$OA = 2$，则$AB = 4$，$AE = 2$，$BE = 2\sqrt{3}$（在$Rt\triangle AEB$中，$AB = 4$，$AE = 2$，根据勾股定理$BE=\sqrt{AB^{2}-AE^{2}}=\sqrt{16 - 4}=2\sqrt{3}$）。
因为$AE// CD$，$\frac{AE}{CD}=1$（菱形$ADCE$中$AE = CD$），$\frac{FG}{BG}=\frac{1}{3}$（利用相似三角形的性质，设$FG = x$，$BG = 3x$，通过相似比$\frac{AE}{BD}=\frac{EF}{FG}$，$BD = 2$，$AE = 2$等关系可证）。
综上，（1）完成作图；（2）四边形$ADCE$是菱形；（3）$\frac{1}{3}$。