1. 如图，在△ABC中，D，E分别为AC，BC的中点，连接AE，BD交于点F，则$\frac{DF}{BD}$的值为
1/3
。答案
1/3
解析
∵D，E分别为AC，BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE//AB，DE=1/2AB。∵DE//AB，∴△DEF∽△BAF，∴DF/BF=DE/AB=1/2。设DF=x，则BF=2x，BD=BF+DF=3x，∴DF/BD=x/(3x)=1/3。
2. 如图，在△ABC中，D为AC的中点，E为边AB上一点，连接DE并延长，交CB的延长线于点F。若E为DF的中点，BE = 3，则AE的长为
9
。答案
9
解析
过点A作AG//BC交FD的延长线于点G。
∵AG//BC，∴∠G=∠F，∠GAD=∠C。
∵D为AC中点，∴AD=DC。
∴△AGD≌△CFD（AAS），∴GD=FD。
∵E为DF中点，∴FD=2DE，∴GD=2DE，∴GE=GD+DE=3DE。
∵AG//BF，∴△AGE∽△BFE，相似比为GE/EF=3DE/DE=3。
∴AE/BE=3，∵BE=3，∴AE=3×3=9。
∵AG//BC，∴∠G=∠F，∠GAD=∠C。
∵D为AC中点，∴AD=DC。
∴△AGD≌△CFD（AAS），∴GD=FD。
∵E为DF中点，∴FD=2DE，∴GD=2DE，∴GE=GD+DE=3DE。
∵AG//BF，∴△AGE∽△BFE，相似比为GE/EF=3DE/DE=3。
∴AE/BE=3，∵BE=3，∴AE=3×3=9。
3. 如图，在Rt△BDC中，∠BCD = 90°，以BD为斜边构造等腰直角三角形ABD，且AB = $5\sqrt{2}$，AC = 8。若E，F分别是BD，AC的中点，则EF的长为(
A.2
B.$\sqrt{5}$
C.3
D.$\sqrt{11}$
C
)A.2
B.$\sqrt{5}$
C.3
D.$\sqrt{11}$
答案
C
解析
4. 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 10，BC = 8，线段DE的两个端点D，E分别在边AC，BC上滑动，且DE = 6。若点M，N分别是DE，AB的中点，则MN的最小值为(
A.10 - $\sqrt{41}$
B.$\sqrt{41}$ - 3
C.2$\sqrt{41}$ - 6
D.3
B
)A.10 - $\sqrt{41}$
B.$\sqrt{41}$ - 3
C.2$\sqrt{41}$ - 6
D.3
答案
B
解析
以C为原点，BC为x轴，AC为y轴建立坐标系，C(0,0)，B(8,0)，A(0,10)。设D(0,d)，E(e,0)，DE=6，故e²+d²=36。M为DE中点，坐标(x,y)=(e/2,d/2)，则(2x)²+(2y)²=36，即x²+y²=9，M轨迹为以C为圆心，3为半径的圆（第一象限部分）。N为AB中点，A(0,10)，B(8,0)，则N(4,5)。CN=√(4²+5²)=√41，MN最小值为CN - 半径=√41 - 3。
