1. 如图，菱形 $ OABC $ 的边 $ OA $ 在 $ x $ 轴上，点 $ B $ 的坐标为 $ (18,6) $，$ D $ 为 $ BC $ 的中点，过点 $ D $ 作 $ DE ⊥ x $ 轴，垂足为 $ E $，交 $ AB $ 于点 $ F $，则点 $ F $ 的坐标为()

A.$ \left(13, \dfrac{9}{4}\right) $
B.$ \left(13, \dfrac{9}{8}\right) $
C.$ \left(\dfrac{13}{2}, \dfrac{9}{4}\right) $
D.$ \left(\dfrac{13}{2}, \dfrac{9}{8}\right) $

A

设点A坐标为(a,0)，菱形边长OA=a。点B(18,6)，则AB长度为√[(18-a)²+6²]。由菱形四边相等得OA=AB，即a=√[(18-a)²+36]，平方解得a=10，故A(10,0)。
点C与B纵坐标相同为6，设C(c,6)，OC=OA=10，得√(c²+6²)=10，解得c=8，故C(8,6)。
D为BC中点，B(18,6)，C(8,6)，则D((18+8)/2,6)=(13,6)。DE⊥x轴，故F横坐标为13。
直线AB：A(10,0)，B(18,6)，斜率k=(6-0)/(18-10)=3/4，方程为y=(3/4)(x-10)。代入x=13，得y=(3/4)(3)=9/4。故F(13,9/4)。

2. (2025 周口三模)如图，在平面直角坐标系中，半径为 $ 5 $ 的 $ \odot O $ 与矩形 $ ABCD $ 的边 $ AB $，$ BC $ 都相切，且经过顶点 $ D $，与边 $ CD $ 相交于点 $ E $. 若点 $ A $ 的坐标是 $ (-5,3) $，则点 $ E $ 的坐标是()

A.$ (4,-3) $
B.$ (5,-3) $
C.$ (3,-4) $
D.$ (3,-3) $

A

∵⊙O半径为5，圆心为原点O(0,0)，∴圆方程为x²+y²=25。
∵⊙O与AB相切，点A(-5,3)在AB上，∴AB所在直线为x=-5（圆心到AB距离=5），AB为线段x=-5上的一段。
∵⊙O与BC相切，BC⊥AB，∴BC为水平线y=n，圆心到BC距离=5，故n=±5。
∵AB线段过点A(-5,3)，若n=5，则AB在y=3到5，切点(-5,0)不在AB上；若n=-5，则AB在y=-5到3，切点(-5,0)在AB上，∴BC所在直线y=-5，点B(-5,-5)。
设C(m,-5)，矩形ABCD中AD//BC，∴D(m,3)（A、D纵坐标相同）。
∵D在⊙O上，∴m²+3²=25，解得m=±4。
∵CD为矩形边，当m=4时，CD所在直线x=4，代入圆方程得y=±3，D(4,3)，则E(4,-3)。

3. 如图，已知 $ □ AOBC $ 的两个顶点坐标为 $ O(0,0) $，$ A(-1,2) $，点 $ B $ 在 $ x $ 轴正半轴上. 按以下步骤作图：①以点 $ O $ 为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边 $ OA $，$ OB $ 于点 $ D $，$ E $；②分别以点 $ D $，$ E $ 为圆心，大于 $ \dfrac{1}{2}DE $ 的长为半径作弧，两弧在 $ \angle AOB $ 内相交于点 $ F $；③作射线 $ OF $，交边 $ AC $ 于点 $ G $，则点 $ G $ 的坐标为()

A.$ (\sqrt{5}-1,2) $
B.$ (\sqrt{5},2) $
C.$ (3-\sqrt{5},2) $
D.$ (\sqrt{5}-2,2) $

A

∵ 步骤①②③为作∠AOB的角平分线，∴ OF是∠AOB的角平分线。
∵ 四边形AOBC是平行四边形，OB在x轴正半轴，∴ AC//OB（x轴），故AC的方程为y=2（A点纵坐标为2，平行于x轴的直线纵坐标相等）。
设G坐标为(g,2)，则G在OF上。
求OF方程：
OA过A(-1,2)，方程为y=-2x；OB为x轴正半轴（y=0）。
∠AOB角平分线OF上的点到OA、OB距离相等。设OF上点(x,y)，由距离公式得：
$\frac{|2x+y|}{\sqrt{5}}=|y|$（OA：2x+y=0，OB：y=0）。
∵ OF在∠AOB内部（第一象限），x＞0,y＞0，化简得$y=\frac{\sqrt{5}+1}{2}x$。
求G坐标：
G在AC（y=2）上，代入OF方程：$2=\frac{\sqrt{5}+1}{2}g$，解得$g=\sqrt{5}-1$。
∴ G(√5-1,2)。

4. 如图，在平面直角坐标系中，点 $ C $ 在 $ x $ 轴的正半轴上，以线段 $ OC $ 为边在第一象限内作等边三角形 $ OBC $，点 $ D $ 为 $ x $ 轴正半轴上一动点且在点 $ C $ 的右侧，连接 $ BD $，以线段 $ BD $ 为边在第一象限内作等边三角形 $ ABD $，连接 $ AC $，若 $ AC = 4 $，则点 $ D $ 的坐标为()

A.$ (4,0) $
B.$ (0,2) $
C.$ (2,0) $
D.$ (0,4) $

A

∵ $OBC$ 为等边三角形，
∴ $OB = OC = BC$，$\angle OBC = 60°$。
∵ $ABD$ 为等边三角形，
∴ $AB = BD = AD$，$\angle ABD = 60°$。
∴ $\angle OBC = \angle ABD$。
∴ $\angle OBC + \angle CBD = \angle ABD + \angle CBD$。
即 $\angle OBD = \angle CBA$。
在 $\triangle OBD$ 和 $\\∆\BCA$ 中，
$OB = BC$，
$∠OBD = ∠CBA$，
$BD = BA$，
∴ $\triangle OBD \cong \triangle BCA$。
∴ $OD = AC$。
∵ $AC = 4$，
∴ $OD = 4$。
即 $D$ 点的坐标为 $ (4, 0) $。

5. (2025 洛阳一模)如图，在平面直角坐标系中，正方形 $ OABC $ 的边 $ OA $ 在 $ x $ 轴上，$ OC $ 在 $ y $ 轴上，点 $ B $ 的坐标为 $ (2,2) $，点 $ D $ 在边 $ OA $ 上，其坐标为 $ (1,0) $，$ AC $，$ BD $ 相交于点 $ E $，点 $ F $ 在 $ AC $ 上，且 $ BF = BE $，则点 $ F $ 的坐标为.

$(\frac{2}{3},\frac{4}{3})$

1. 确定正方形顶点坐标：O(0,0)，A(2,0)，C(0,2)，B(2,2)。
2. 求直线AC解析式：A(2,0)，C(0,2)，设y=kx+b，代入得b=2，k=-1，故AC：y=-x+2。
3. 求直线BD解析式：B(2,2)，D(1,0)，设y=mx+n，代入得m=2，n=-2，故BD：y=2x-2。
4. 求交点E：联立AC与BD方程$\begin{cases}y=-x+2\\y=2x-2\end{cases}$，解得$x=\frac{4}{3}$，$y=\frac{2}{3}$，即E($\frac{4}{3}$,$\frac{2}{3}$)。
5. 设F(t,-t+2)在AC上，由BF=BE，计算BE=$\sqrt{(2-\frac{4}{3})^2+(2-\frac{2}{3})^2}=\frac{2\sqrt{5}}{3}$。
6. 列方程$\sqrt{(2-t)^2+t^2}=\frac{2\sqrt{5}}{3}$，平方化简得$9t^2-18t+8=0$，解得$t=\frac{4}{3}$（即E点）或$t=\frac{2}{3}$。
7. 故F($\frac{2}{3}$,$\frac{4}{3}$)。

6. 如图，在平面直角坐标系中，点 $ B $ 的坐标为 $ (-12,0) $，点 $ A $ 的坐标为 $ (0,12) $，$ P $ 是 $ OB $ 上一动点，以 $ AP $ 为斜边向右作等腰直角三角形 $ PAC $，其中 $ \angle C = 90^{\circ} $，$ PC $ 与 $ y $ 轴交于点 $ D $，当 $ OD = 2 $ 时，点 $ P $ 的坐标为.

$(-4,0)$或$(-6,0)$

设点$ P $的坐标为$(-t, 0)$（$ t \geq 0 $），$ A(0,12) $。以$ AP $为斜边向右作等腰直角三角形$ PAC $（$ \angle C = 90° $），则$ C $为直角顶点，$ AC = PC $。利用坐标旋转性质，向量$ \overrightarrow{CP} $逆时针旋转$ 90° $得$ \overrightarrow{CA} $，可求得$ C\left( \frac{12 - t}{2}, \frac{12 - t}{2} \right) $。
直线$ PC $过点$ P(-t, 0) $和$ C\left( \frac{12 - t}{2}, \frac{12 - t}{2} \right) $，斜率$ k = \frac{12 - t}{12 + t} $，方程为$ y = \frac{12 - t}{12 + t}(x + t) $。令$ x = 0 $，得$ D\left( 0, \frac{t(12 - t)}{12 + t} \right) $。
由$ OD = 2 $，得$ \left| \frac{t(12 - t)}{12 + t} \right| = 2 $。
当$ \frac{t(12 - t)}{12 + t} = 2 $时，$ t^2 - 10t + 24 = 0 $，解得$ t = 4 $或$ t = 6 $；当$ \frac{t(12 - t)}{12 + t} = -2 $时，方程无符合条件的解。
故$ P $的坐标为$(-4, 0)$或$(-6, 0)$。