4. (2024 河南，20(2)) 如图 1，塑像 $AB$ 在底座 $BC$ 上，点 $D$ 是人眼所在的位置。当点 $B$ 高于人的水平视线 $DE$ 时，由远及近看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大。数学家研究发现：当经过 $A$，$B$ 两点的圆与水平视线 $DE$ 相切时（如图 2），在切点 $P$ 处感觉看到的塑像最大，此时 $\angle APB$ 为最大视角。经测量，最大视角 $\angle APB$ 为 $30^{\circ}$，在点 $P$ 处看塑像顶部点 $A$ 的仰角 $\angle APE$ 为 $60^{\circ}$，点 $P$ 到塑像的水平距离 $PH$ 为 $6$ m。求塑像 $AB$ 的高。（结果精确到 $0.1$ m。参考数据：$\sqrt{3}\approx1.73$）

6.9

设圆心为O，圆与DE相切于P，故OP⊥DE，OP为半径r。由∠APB=30°，得圆心角∠AOB=60°，又OA=OB=r，故△AOB为等边三角形，AB=r。设B到DE距离为y，则A到DE距离为y+r。∠APE=60°，PH=6m，在Rt△APH中，tan60°=(y+r)/PH，即√3=(y+r)/6，得y+r=6√3。OB=r，由OB²=PH²+(r-y)²，得r²=6²+(r-y)²，化简得r² - y²=36。联立y=6√3 - r与r² - y²=36，解得r=4√3≈6.9。

5. (2022 河南，19) 开封清明上河园是依照北宋著名画家张择端的《清明上河图》建造的，拂云阁是园内最高的建筑。某数学小组测量拂云阁 $DC$ 的高度。如图，在 $A$ 处用测角仪测得拂云阁顶端 $D$ 的仰角为 $34^{\circ}$，沿 $AC$ 方向前进 $15$ m 到达 $B$ 处，又测得拂云阁顶端 $D$ 的仰角为 $45^{\circ}$。已知测角仪的高度为 $1.5$ m，测量点 $A$，$B$ 与拂云阁 $DC$ 的底部 $C$ 在同一水平线上，求拂云阁 $DC$ 的高度。（结果精确到 $1$ m。参考数据：$\sin 34^{\circ}\approx0.56$，$\cos 34^{\circ}\approx0.83$，$\tan 34^{\circ}\approx0.67$）

32

设拂云阁DC的高度为$ h $米，测角仪高度为1.5米，则从测角仪观测点到D的垂直距离为$ h - 1.5 $米。设BC的距离为$ x $米，在B处仰角为$ 45^{\circ} $，则$ \tan 45^{\circ} = \frac{h - 1.5}{x} = 1 $，故$ x = h - 1.5 $。在A处，AB=15米，AC=AB+BC=15+x，仰角为$ 34^{\circ} $，则$ \tan 34^{\circ} = \frac{h - 1.5}{15 + x} $。将$ x = h - 1.5 $代入，得$ 0.67 = \frac{h - 1.5}{15 + h - 1.5} $，即$ 0.67 = \frac{h - 1.5}{h + 13.5} $。解得$ 0.67(h + 13.5) = h - 1.5 $，$ 0.67h + 9.045 = h - 1.5 $，$ 0.33h = 10.545 $，$ h \approx 31.95 \approx 32 $。