15. (2025·成华)如图,一次函数 $ y = k_1x + b $ ($ k_1 \neq 0 $) 的图象与反比例函数 $ y = \frac{k_2}{x} $ ($ k_2 \neq 0 $) 的图象交于点 $ A(-1,n) $,与 $ x $ 轴交于点 $ B(3,0) $,与 $ y $ 轴交于点 $ C(0,3) $.
(1) 求一次函数和反比例函数的解析式.
(2) 已知 $ P $ 为反比例函数 $ y = \frac{k_2}{x} $ 的图象上一点,满足 $ S_{\triangle POB} = 3S_{\triangle AOC} $,求点 $ P $ 的坐标.
(3) 在第四象限反比例函数 $ y = \frac{k_2}{x} $ 的图象上是否存在点 $ M $,使点 $ M $ 绕点 $ C $ 按顺时针方向旋转 $ 90^\circ $ 得到的对应点 $ N $ 恰好落在第二象限反比例函数 $ y = \frac{k_2}{x} $ 的图象上？若存在,求点 $ M $ 的坐标；若不存在,说明理由.

【解】(1)$\because$点$B(3,0)$，$C(0,3)$在一次函数$y = k_{1}x + b$的图象上，
$\therefore \begin{cases}3k_{1} + b = 0\\b = 3\end{cases}$，解得$\begin{cases}k_{1} = -1\\b = 3\end{cases}$
$\therefore$该一次函数的解析式为$y = -x + 3$。
$\because$点$A(-1,n)$在一次函数$y = -x + 3$的图象上，
$\therefore n = 4$，$\therefore A(-1,4)$。
$\because$点$A(-1,4)$在反比例函数$y = \frac{k_{2}}{x}$的图象上，
$\therefore k_{2} = -4$，
$\therefore$反比例函数的解析式为$y = -\frac{4}{x}$。
(2)设点$P$的坐标为$(m,-\frac{4}{m})$。
$\because A(-1,4)$，$C(0,3)$，
$\therefore S_{\triangle AOC} = \frac{1}{2}×3×1 = \frac{3}{2}$，
$\therefore S_{\triangle POB} = 3×\frac{3}{2} = \frac{9}{2}$。
$\because B(3,0)$，$\therefore OB = 3$，
$\therefore S_{\triangle POB} = \frac{1}{2}×3×|-\frac{4}{m}| = \frac{9}{2}$，
解得$m = \frac{4}{3}$或$m = -\frac{4}{3}$，
$\therefore$点$P$的坐标为$(\frac{4}{3},-3)$或$(-\frac{4}{3},3)$。
(3)存在。如图，作$MF \perp y$轴，垂足为$F$，作$NE \perp y$轴，垂足为$F$。

设点$M$的坐标为$(a,-\frac{4}{a})$。
在$\triangle NEC$和$\triangle CFM$中，
$\begin{cases}\angle NEC = \angle CFM = 90^{\circ}\\\angle NCE = \angle CMF = 90^{\circ} - \angle FCM\\CN = CM\end{cases}$
$\therefore \triangle NEC \cong \triangle CFM(AAS)$，
$\therefore CE = FM = a$，$CF = NE = 3 + \frac{4}{a}$，
$\therefore N(-3 - \frac{4}{a},3 - a)$。
若点$N$在反比例函数$y = -\frac{4}{x}$的图象上，
则有$(3 - a)(-3 - \frac{4}{a}) = -4$，
整理，得$3a^{2} - a - 12 = 0$，
解得$a = \frac{1 + \sqrt{145}}{6}$或$a = \frac{1 - \sqrt{145}}{6}$(舍去)，
$\therefore$点$M$的横坐标为$\frac{1 + \sqrt{145}}{6}$，点$M$的纵坐标为$\frac{1 - \sqrt{145}}{6}$，
即存在这样的点$M$，点$M$的坐标为$(\frac{1 + \sqrt{145}}{6},\frac{1 - \sqrt{145}}{6})$。