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7. (2025·编写) 如图,在正方形$ABCD$中,$E为AD$边上的一个动点(点$E与点A$,$D$不重合),$∠EBM= 45^{\circ }$,$BE交对角线AC于点F$,$BM交对角线AC于点G$,交$CD于点M$,下列结论中错误的是 ()
A. $\triangle AEF\backsim \triangle CBF$
B. $\triangle CMG\backsim \triangle BFG$
C. $\triangle ABF\backsim \triangle CBG$
D. $\triangle BDE\backsim \triangle BCG$
A. $\triangle AEF\backsim \triangle CBF$
B. $\triangle CMG\backsim \triangle BFG$
C. $\triangle ABF\backsim \triangle CBG$
D. $\triangle BDE\backsim \triangle BCG$
答案
C
8. (2025·编写) 如图,在四边形$ABCD$中,已知$∠ADC= ∠BAC$,那么补充下列条件后不能判定$\triangle ADC和\triangle BAC$相似的是 ()
A. $CA平分∠BCD$
B. $\frac {AD}{AB}= \frac {DC}{AC}$
C. $AC^{2}= BC\cdot CD$
D. $∠DAC= ∠ABC$
A. $CA平分∠BCD$
B. $\frac {AD}{AB}= \frac {DC}{AC}$
C. $AC^{2}= BC\cdot CD$
D. $∠DAC= ∠ABC$
答案
C
9. (2025·编写) 如图,在$\square ABCD$中,按以下步骤作图：①以点$B$为圆心,以适当长为半径作弧分别交$AB$,$BC于M$,$N$两点；②以点$M和点N$为圆心,大于$\frac {1}{2}MN$长为半径作弧,两弧交于点$P$；③作射线$BP交AD于点E$,过点$E作EF⊥BE交BC延长线于点F$。若$AB= 4$,$BC= 5$,求$CF$的长。
答案
[解]由作图知,BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠CBE.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD//BC,
∴∠AEB=∠CBE,∴∠ABE=∠AEB,∴AB=AE;如图，过点A作AH⊥BE于点H,
∴∠AHB=90°,BH=$\frac{1}{2}$BE.
∵EF⊥BE,∴∠BEF=∠AHB=90°.
又∵∠ABH=∠EBF,∴△AHB∽△FEB,
∴$\frac{BH}{BE}=\frac{AB}{BF}$，即$\frac{\frac{1}{2}BE}{BE}=\frac{4}{BF}$，
∴BF=8.
∵BC=5,∴CF=BF−BC=3.
10. (2025·编写) 如图,在四边形$ABCD$中,$AD// BC$,$E是边DC$上一点,连接$AE$,$F为AE$上一点,且$∠BFE= ∠C$,$\frac {AF}{FB}= \frac {AD}{DE}$。求证：$\triangle ABF\backsim \triangle AED$。
答案
[证明]∵AD//BC,∴∠D+∠C=180°.∵∠BFE+∠AFB=180°,∠BFE=∠C,∴∠D=∠AFB.又∵$\frac{AF}{FB}=\frac{AD}{DE}$，∴△ABF∽△AED.
11. (2025·编写) 如图,在$\square ABCD$中,$AB= 1$,$AC= 4\sqrt {2}$,对角线$AC与BD相交于点O$,$E是BC$的中点,连接$AE交BD于点F$。若$AC⊥AB$,则$FD$的长为____。
答案
4
12. (2022·武侯) 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$∠ABC= 90^{\circ }$,$AB= 6$,$BC= 3$,$BD是\triangle ABC$的中线,过点$C作CP⊥BD于点P$,则图中阴影部分的面积为____。
答案
$\frac{27}{10}$
