8. 若关于 $ x $ 的方程 $\frac{2kx + m}{3} = 2 + \frac{x - nk}{6}$,无论 $ k $ 为何值,它的解总是 $ x = 1 $,则 $ m + n = \_\_\_\_\_\_ $。
答案
8. 将$x=1$代入$\frac{2kx+m}{3}=2+\frac{x-nk}{6}$,得$\frac{2k+m}{3}=2+\frac{1-nk}{6}$,整理得$(4+n)k=13-2m$。由题意可知,无论$k$为何值,$(4+n)k=13-2m$恒成立,所以$n+4=0$,$13-2m=0$。所以$n=-4$,$m=\frac{13}{2}$。所以$m+n=\frac{5}{2}$。
9. 若关于$x$的方程$\frac{x+1}{2}-1=m$与关于$x$的方程$1-\frac{1-x}{3}=2-\frac{m+1}{2}$的解互为相反数,求$m$的值.
答案
9. 解方程$\frac{x+1}{2}-1=m$,得$x=2m+1$,解方程$1-\frac{1-x}{3}=2-\frac{m+1}{2}$,得$x=\frac{5-3m}{2}$。依题意,得$2m+1+\frac{5-3m}{2}=0$,解得$m=-7$。
10. 小明在解关于$x$的方程$\frac{3x - 2}{5} = \frac{x - a}{10} - 2$的过程中,去分母时,方程右边的$-2$没有乘10,因而求得的解为$x = -\frac{1}{5}$。请你求出原方程的正确的解。
答案
10. 根据题意,得$6x-4=x-a-2$的解为$x=-\frac{1}{5}$。把$x=-\frac{1}{5}$代入,得$-\frac{6}{5}-4=-\frac{1}{5}-a-2$,解得$a=3$。所以原方程为$\frac{3x-2}{5}=\frac{x-3}{10}-2$。去分母、去括号,得$6x-4=x-3-20$。移项、合并同类项,得$5x=-19$,解得$x=-\frac{19}{5}$。
11. 新考向 新定义题 规定:如果将两个一元一次方程的解相减,差的绝对值为Q,那么我们称这两个方程为“值Q方程”.
例如:方程$4m-3=1$的解是$m=1$,方程$n-1=3$的解是$n=4$,
因为$|m-n|=|1-4|=3$,所以方程$4m-3=1$与方程$n-1=3$是“值3方程”.
(1) 有下列方程:① $-3x=6$;② $5(x+2)-4=3x$;③ $\frac{x-1}{3}-2=\frac{x+2}{2}-x$.其中,是“值1方程”的为
(2) 若关于$x$的一元一次方程$4x-a=2$和$4(x-2)=2x+6$是“值2方程”,求$a$的值.
(3) 无论$m$取何值,关于$x$的方程$\frac{2x+am}{3}-\frac{b}{2}=m$($a,b$为常数)与关于$y$的方程$y+1=2y-5$都是“值0方程”,求$a+b$的值.
例如:方程$4m-3=1$的解是$m=1$,方程$n-1=3$的解是$n=4$,
因为$|m-n|=|1-4|=3$,所以方程$4m-3=1$与方程$n-1=3$是“值3方程”.
(1) 有下列方程:① $-3x=6$;② $5(x+2)-4=3x$;③ $\frac{x-1}{3}-2=\frac{x+2}{2}-x$.其中,是“值1方程”的为
①②
,是“值6方程”的为 ①③
(填序号).(2) 若关于$x$的一元一次方程$4x-a=2$和$4(x-2)=2x+6$是“值2方程”,求$a$的值.
(3) 无论$m$取何值,关于$x$的方程$\frac{2x+am}{3}-\frac{b}{2}=m$($a,b$为常数)与关于$y$的方程$y+1=2y-5$都是“值0方程”,求$a+b$的值.
答案
11. (1) ①②;①③。 解方程① $-3x=6$,得$x=-2$;解方程② $5(x+2)-4=3x$,得$x=-3$;解方程③ $\frac{x-1}{3}-2=\frac{x+2}{2}-x$,得$x=4$。 因为$|-2-(-3)|=|-2+3|=1$,$|-2-4|=6$,所以“值1方程”为①和②,“值6方程”为①和③。
(2) 因为$4x-a=2$,所以$4x=2+a$。所以$x=\frac{2+a}{4}$。又因为$4(x-2)=2x+6$,所以$4x-2x=8+6$。所以$2x=14$。所以$x=7$。因为关于$x$的一元一次方程$4x-a=2$和$4(x-2)=2x+6$是“值2方程”,所以$\frac{2+a}{4}-7=2$或$\frac{2+a}{4}-7=-2$,解得$a=34$或18。
(3) 解方程$y+1=2y-5$,得$y=6$。由题意可知,$|x-6|=0$,所以$x=6$。当$x=6$时,$\frac{12+am}{3}-\frac{b}{2}=m$,即$24+2am-3b=6m$。所以$(2a-6)m=3b-24$。令$2a-6=0$,得$a=3$。此时$3b-24=0$,得$b=8$。所以$a+b=11$。
(2) 因为$4x-a=2$,所以$4x=2+a$。所以$x=\frac{2+a}{4}$。又因为$4(x-2)=2x+6$,所以$4x-2x=8+6$。所以$2x=14$。所以$x=7$。因为关于$x$的一元一次方程$4x-a=2$和$4(x-2)=2x+6$是“值2方程”,所以$\frac{2+a}{4}-7=2$或$\frac{2+a}{4}-7=-2$,解得$a=34$或18。
(3) 解方程$y+1=2y-5$,得$y=6$。由题意可知,$|x-6|=0$,所以$x=6$。当$x=6$时,$\frac{12+am}{3}-\frac{b}{2}=m$,即$24+2am-3b=6m$。所以$(2a-6)m=3b-24$。令$2a-6=0$,得$a=3$。此时$3b-24=0$,得$b=8$。所以$a+b=11$。
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