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1 代数法 [2025 浙江杭州期中,中]已知三点$(2,a),(-1,b),(3,c)$在抛物线$y=x^2+x+2$上,则$a,b,c$的大小关系是 (
A.$c＞a＞b$
B.$b＞a＞c$
C.$a＞b＞c$
D.无法比较
A
)A.$c＞a＞b$
B.$b＞a＞c$
C.$a＞b＞c$
D.无法比较
答案
1.A 【解析】$\because$ 点$(2,a),(-1,b),(3,c)$都在抛物线$y=x^2+x+2$上，$\therefore a=2^2+2+2=8$，$b=(-1)^2-1+2=2$，$c=3^2+3+2=14$，$\therefore c＞a＞b$. 故选 A.
解析
【分析】
解题时首先明确：二次函数图象上的点的坐标满足函数解析式，因此我们可以将三个点的横坐标分别代入抛物线解析式，计算出对应的纵坐标a、b、c的值，再比较三个值的大小即可得出结果。本题直接代入计算是最直观简便的解法。
【解析】
$\because$ 点$(2,a),(-1,b),(3,c)$都在抛物线$y=x^2+x+2$上，
$\therefore$ 分别将各点横坐标代入解析式计算对应函数值：
$a=2^2+2+2=4+2+2=8$，
$b=(-1)^2+(-1)+2=1-1+2=2$，
$c=3^2+3+2=9+3+2=14$，
$\because 14＞8＞2$，
$\therefore c＞a＞b$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
1.二次函数图象上点的坐标特征
2.有理数大小比较
【点评】
本题考查二次函数的基础性质，除了代入求值的方法，也可以结合抛物线的开口方向、对称轴，通过判断点到对称轴的距离比较函数值大小，两种方法都需要熟练掌握，解题时可灵活选择。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确：二次函数图象上的点的坐标满足函数解析式，因此我们可以将三个点的横坐标分别代入抛物线解析式，计算出对应的纵坐标a、b、c的值，再比较三个值的大小即可得出结果。本题直接代入计算是最直观简便的解法。
【解析】
$\because$ 点$(2,a),(-1,b),(3,c)$都在抛物线$y=x^2+x+2$上，
$\therefore$ 分别将各点横坐标代入解析式计算对应函数值：
$a=2^2+2+2=4+2+2=8$，
$b=(-1)^2+(-1)+2=1-1+2=2$，
$c=3^2+3+2=9+3+2=14$，
$\because 14＞8＞2$，
$\therefore c＞a＞b$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
1.二次函数图象上点的坐标特征
2.有理数大小比较
【点评】
本题考查二次函数的基础性质，除了代入求值的方法，也可以结合抛物线的开口方向、对称轴，通过判断点到对称轴的距离比较函数值大小，两种方法都需要熟练掌握，解题时可灵活选择。
【难度系数】
0.7
2 对称法 [2025 吉林长春校级期中,中]已知点$P_1(-3,y_1)$,$P_2(1,y_2)$,$P_3(3,y_3)$均在二次函数$y=-x^2+4x-c$的图象上,则$y_1$,$y_2$,$y_3$的大小关系为 (
A.$y_1＜y_2＜y_3$
B.$y_2＜y_1＜y_3$
C.$y_3＜y_2＜y_1$
D.$y_1＜y_3=y_2$
D
)A.$y_1＜y_2＜y_3$
B.$y_2＜y_1＜y_3$
C.$y_3＜y_2＜y_1$
D.$y_1＜y_3=y_2$
答案
2.D 【解析】$\because$ 二次函数$y=-x^2+4x-c$图象的对称轴为直线$x=2$，$\therefore$ 点$P_3(3,y_3)$关于直线$x=2$对称的点为$(1,y_3)$. $\because -1＜0$，$\therefore$ 抛物线开口向下，$\therefore$ 当$x＜2$时，$y$随$x$的增大而增大. $\because -3＜1=1$，$\therefore y_1＜y_3=y_2$. 故选 D.
解析
【分析】
要比较二次函数图象上三个点的纵坐标大小，可按以下思路解题：首先根据二次函数解析式求出对称轴，再结合抛物线的开口方向，利用二次函数的对称性和增减性判断函数值的大小：开口向下的抛物线，到对称轴距离相等的点函数值相等，距离对称轴越远，函数值越小；也可将点对称到对称轴同侧，利用同侧的增减性直接比较。
【解析】
首先计算二次函数$y=-x^2+4x-c$的对称轴，对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-1$，$b=4$，可得对称轴为直线$x=-\frac{4}{2×(-1)}=2$。
$\because a=-1＜0$，$\therefore$抛物线开口向下，且到对称轴距离相等的点函数值相等，在对称轴左侧$y$随$x$的增大而增大。
点$P_2(1,y_2)$到对称轴$x=2$的距离为$|1-2|=1$，点$P_3(3,y_3)$到对称轴的距离为$|3-2|=1$，因此$y_2=y_3$；
点$P_3(3,y_3)$关于直线$x=2$的对称点为$(1,y_3)$，即与$P_2$重合，$\because -3＜1$，且$x＜2$时$y$随$x$增大而增大，$\therefore y_1＜y_2$。
综上可得$y_1＜y_3=y_2$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数对称轴计算；二次函数的对称性；二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数性质的常规考法，解题核心是先确定对称轴，结合开口方向，利用对称性和增减性比较函数值，相比直接代入计算更高效，需要熟练掌握二次函数的图象性质。
【难度系数】
0.6
要比较二次函数图象上三个点的纵坐标大小，可按以下思路解题：首先根据二次函数解析式求出对称轴，再结合抛物线的开口方向，利用二次函数的对称性和增减性判断函数值的大小：开口向下的抛物线，到对称轴距离相等的点函数值相等，距离对称轴越远，函数值越小；也可将点对称到对称轴同侧，利用同侧的增减性直接比较。
【解析】
首先计算二次函数$y=-x^2+4x-c$的对称轴，对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-1$，$b=4$，可得对称轴为直线$x=-\frac{4}{2×(-1)}=2$。
$\because a=-1＜0$，$\therefore$抛物线开口向下，且到对称轴距离相等的点函数值相等，在对称轴左侧$y$随$x$的增大而增大。
点$P_2(1,y_2)$到对称轴$x=2$的距离为$|1-2|=1$，点$P_3(3,y_3)$到对称轴的距离为$|3-2|=1$，因此$y_2=y_3$；
点$P_3(3,y_3)$关于直线$x=2$的对称点为$(1,y_3)$，即与$P_2$重合，$\because -3＜1$，且$x＜2$时$y$随$x$增大而增大，$\therefore y_1＜y_2$。
综上可得$y_1＜y_3=y_2$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数对称轴计算；二次函数的对称性；二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数性质的常规考法，解题核心是先确定对称轴，结合开口方向，利用对称性和增减性比较函数值，相比直接代入计算更高效，需要熟练掌握二次函数的图象性质。
【难度系数】
0.6
3 距离法 [2025福建漳州期末，较难]已知点$(x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3)$都在二次函数$y=ax^2-2ax-3a(a≠0)$的图象上，若$-1＜x_1＜0,1＜x_2＜2,x_3＞3$，则下列关于$y_1,y_2,y_3$三者的大小关系判断一定正确的是（
A.$y_1$可能最大，不可能最小
B.$y_3$可能最大，也可能最小
C.$y_3$可能最大，不可能最小
D.$y_2$不可能最大，可能最小
B
）A.$y_1$可能最大，不可能最小
B.$y_3$可能最大，也可能最小
C.$y_3$可能最大，不可能最小
D.$y_2$不可能最大，可能最小
答案
3.B 【解析】$\because y=ax^2-2ax-3a(a≠0)$，$\therefore$ 图象对称轴为直线$x=-\frac{-2a}{2a}=1$. $\because -1＜x_1＜0,1＜x_2＜2,x_3＞3$，$\therefore |x_3-1|＞|x_1-1|＞|x_2-1|$，$\therefore$ 点$(x_3,y_3)$离对称轴最远，点$(x_2,y_2)$离对称轴最近. 当$a＞0$时，抛物线开口向上，$\therefore y_3＞y_1＞y_2$；当$a＜0$时，抛物线开口向下，$\therefore y_3＜y_1＜y_2$. 综上，$y_2$和$y_3$均可能最大，也可能最小，$y_1$不可能最大，也不可能最小. 故选 B.
解析
【分析】
要判断二次函数上三个点的函数值大小关系，首先需确定二次函数的对称轴，二次函数的函数值大小与点到对称轴的距离、开口方向密切相关。第一步用对称轴公式求出该函数的对称轴，第二步计算三个点的横坐标到对称轴的距离并比较大小，第三步由于二次项系数a的正负不确定，需分a＞0（开口向上，离对称轴越远函数值越大）和a＜0（开口向下，离对称轴越远函数值越小）两种情况讨论，得到两种情况下y₁、y₂、y₃的大小关系，最后对照选项判断即可。
【解析】
解：
∵二次函数解析式为$y=ax^2-2ax-3a(a≠0)$，
∴图象的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2a}{2a}=1$。
已知$-1＜x_1＜0,1＜x_2＜2,x_3＞3$，计算各点到对称轴$x=1$的距离可得：
$1＜|x_1-1|＜2$，$0＜|x_2-1|＜1$，$|x_3-1|＞2$，
即$|x_3-1|＞|x_1-1|＞|x_2-1|$，点$(x_3,y_3)$离对称轴最远，点$(x_2,y_2)$离对称轴最近。
分两种情况讨论：
①当$a＞0$时，抛物线开口向上，离对称轴越远的点函数值越大，因此$y_3＞y_1＞y_2$，此时$y_3$最大，$y_2$最小；
②当$a＜0$时，抛物线开口向下，离对称轴越远的点函数值越小，因此$y_3＜y_1＜y_2$，此时$y_2$最大，$y_3$最小。
综上可知：$y_1$不可能最大也不可能最小，$y_2$、$y_3$均可能最大也可能最小，只有B选项符合结论。
【答案】
B
【知识点】
二次函数对称轴计算、二次函数增减性、分类讨论思想
【点评】
本题重点考察二次函数的图象性质，解题关键是先确定对称轴，通过点到对称轴的距离结合开口方向判断函数值大小，需注意二次项系数正负不确定时必须分类讨论，避免默认开口方向造成错解。
【难度系数】
0.4
要判断二次函数上三个点的函数值大小关系，首先需确定二次函数的对称轴，二次函数的函数值大小与点到对称轴的距离、开口方向密切相关。第一步用对称轴公式求出该函数的对称轴，第二步计算三个点的横坐标到对称轴的距离并比较大小，第三步由于二次项系数a的正负不确定，需分a＞0（开口向上，离对称轴越远函数值越大）和a＜0（开口向下，离对称轴越远函数值越小）两种情况讨论，得到两种情况下y₁、y₂、y₃的大小关系，最后对照选项判断即可。
【解析】
解：
∵二次函数解析式为$y=ax^2-2ax-3a(a≠0)$，
∴图象的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2a}{2a}=1$。
已知$-1＜x_1＜0,1＜x_2＜2,x_3＞3$，计算各点到对称轴$x=1$的距离可得：
$1＜|x_1-1|＜2$，$0＜|x_2-1|＜1$，$|x_3-1|＞2$，
即$|x_3-1|＞|x_1-1|＞|x_2-1|$，点$(x_3,y_3)$离对称轴最远，点$(x_2,y_2)$离对称轴最近。
分两种情况讨论：
①当$a＞0$时，抛物线开口向上，离对称轴越远的点函数值越大，因此$y_3＞y_1＞y_2$，此时$y_3$最大，$y_2$最小；
②当$a＜0$时，抛物线开口向下，离对称轴越远的点函数值越小，因此$y_3＜y_1＜y_2$，此时$y_2$最大，$y_3$最小。
综上可知：$y_1$不可能最大也不可能最小，$y_2$、$y_3$均可能最大也可能最小，只有B选项符合结论。
【答案】
B
【知识点】
二次函数对称轴计算、二次函数增减性、分类讨论思想
【点评】
本题重点考察二次函数的图象性质，解题关键是先确定对称轴，通过点到对称轴的距离结合开口方向判断函数值大小，需注意二次项系数正负不确定时必须分类讨论，避免默认开口方向造成错解。
【难度系数】
0.4
4 中点法 [2025 北京东城区调研,中]在平面直角坐标系$xOy$中，$M(x_1,y_1)$，$N(x_2,y_2)$是抛物线$y=ax^2+bx+c(a＞0)$上任意两点，设抛物线的对称轴为直线$x=t$。
(1)若对于$x_1=3,x_2=4$，有$y_1=y_2$，求$t$的值；
(2)若对于$2＜x_1＜3,3＜x_2＜4$，都有$y_1＜y_2$，求$t$的取值范围。
(1)若对于$x_1=3,x_2=4$，有$y_1=y_2$，求$t$的值；
(2)若对于$2＜x_1＜3,3＜x_2＜4$，都有$y_1＜y_2$，求$t$的取值范围。
答案
4.【解】(1)$\because$ 对于$x_1=3,x_2=4$，有$y_1=y_2$，$\therefore$ 抛物线的对称轴为直线$x=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{7}{2}$. $\because$ 抛物线的对称轴为直线$x=t$，$\therefore t=\frac{7}{2}$.
(2)$\because 2＜x_1＜3,3＜x_2＜4$，$\therefore \frac{5}{2}＜\frac{x_1+x_2}{2}＜\frac{7}{2}$，$x_1＜x_2$. 又$\because y_1＜y_2,a＞0$，$\therefore$ 点$(x_1,y_1)$离对称轴更近，则点$(x_1,y_1)$与$(x_2,y_2)$连线的中点在对称轴的右侧，$\therefore \frac{x_1+x_2}{2}＞t$，即$t≤\frac{5}{2}$.
(2)$\because 2＜x_1＜3,3＜x_2＜4$，$\therefore \frac{5}{2}＜\frac{x_1+x_2}{2}＜\frac{7}{2}$，$x_1＜x_2$. 又$\because y_1＜y_2,a＞0$，$\therefore$ 点$(x_1,y_1)$离对称轴更近，则点$(x_1,y_1)$与$(x_2,y_2)$连线的中点在对称轴的右侧，$\therefore \frac{x_1+x_2}{2}＞t$，即$t≤\frac{5}{2}$.
解析
【分析】
(1) 抛物线上纵坐标相等的两个点关于抛物线的对称轴对称，对称轴为两点横坐标的平均值，据此可直接计算t的值；
(2) 已知a＞0，抛物线开口向上，此时抛物线上的点离对称轴越近，函数值越小。由$y_1＜y_2$可知点M离对称轴更近，又因为$x_1＜x_2$，因此M、N两点的中点在对称轴右侧。先求出$x_1$、$x_2$中点的取值范围，要让所有符合条件的中点都大于t，取中点的最小值即可得到t的最大取值，进而得到t的范围。
【解析】
(1)
∵ 当$x_1=3$，$x_2=4$时，$y_1=y_2$，
∴ 点M、N关于抛物线的对称轴对称，
∴ 对称轴为直线$x=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{3+4}{2}=\frac{7}{2}$，
又
∵ 抛物线对称轴为直线$x=t$，
∴ $t=\frac{7}{2}$。
(2)
∵ $2＜x_1＜3$，$3＜x_2＜4$，
∴ $x_1＜x_2$，且两点横坐标的中点满足$\frac{2+3}{2}＜\frac{x_1+x_2}{2}＜\frac{3+4}{2}$，即$\frac{5}{2}＜\frac{x_1+x_2}{2}＜\frac{7}{2}$。
∵ $a＞0$，抛物线开口向上，且$y_1＜y_2$，
∴ 点M到对称轴的距离小于点N到对称轴的距离，即M、N连线的中点在对称轴右侧，
∴ 对所有满足条件的$x_1$、$x_2$，都有$\frac{x_1+x_2}{2}＞t$，
∴ $t≤\frac{5}{2}$。
【答案】
(1) $t=\frac{7}{2}$；(2) $t≤\frac{5}{2}$
【知识点】
二次函数的对称性，二次函数的增减性，抛物线对称轴性质
【点评】
本题围绕二次函数的核心性质设计，第一问考查对称性的直接应用，较为基础；第二问需要结合自变量的范围，通过函数值的大小关系推导对称轴的取值范围，需要灵活运用开口向上时函数值与点到对称轴距离的关系，是二次函数性质应用的典型题型。
【难度系数】
0.6
(1) 抛物线上纵坐标相等的两个点关于抛物线的对称轴对称，对称轴为两点横坐标的平均值，据此可直接计算t的值；
(2) 已知a＞0，抛物线开口向上，此时抛物线上的点离对称轴越近，函数值越小。由$y_1＜y_2$可知点M离对称轴更近，又因为$x_1＜x_2$，因此M、N两点的中点在对称轴右侧。先求出$x_1$、$x_2$中点的取值范围，要让所有符合条件的中点都大于t，取中点的最小值即可得到t的最大取值，进而得到t的范围。
【解析】
(1)
∵ 当$x_1=3$，$x_2=4$时，$y_1=y_2$，
∴ 点M、N关于抛物线的对称轴对称，
∴ 对称轴为直线$x=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{3+4}{2}=\frac{7}{2}$，
又
∵ 抛物线对称轴为直线$x=t$，
∴ $t=\frac{7}{2}$。
(2)
∵ $2＜x_1＜3$，$3＜x_2＜4$，
∴ $x_1＜x_2$，且两点横坐标的中点满足$\frac{2+3}{2}＜\frac{x_1+x_2}{2}＜\frac{3+4}{2}$，即$\frac{5}{2}＜\frac{x_1+x_2}{2}＜\frac{7}{2}$。
∵ $a＞0$，抛物线开口向上，且$y_1＜y_2$，
∴ 点M到对称轴的距离小于点N到对称轴的距离，即M、N连线的中点在对称轴右侧，
∴ 对所有满足条件的$x_1$、$x_2$，都有$\frac{x_1+x_2}{2}＞t$，
∴ $t≤\frac{5}{2}$。
【答案】
(1) $t=\frac{7}{2}$；(2) $t≤\frac{5}{2}$
【知识点】
二次函数的对称性，二次函数的增减性，抛物线对称轴性质
【点评】
本题围绕二次函数的核心性质设计，第一问考查对称性的直接应用，较为基础；第二问需要结合自变量的范围，通过函数值的大小关系推导对称轴的取值范围，需要灵活运用开口向上时函数值与点到对称轴距离的关系，是二次函数性质应用的典型题型。
【难度系数】
0.6
1 定轴定范围 [2025 陕西西安质检,中]在下列范围内求二次函数$y=x^2+2x-3$的最值.
(1)全体实数.
(2)$-4≤x≤-2$.
(3)$-3≤x≤0$.
(4)$1≤x≤3$.
(1)全体实数.
(2)$-4≤x≤-2$.
(3)$-3≤x≤0$.
(4)$1≤x≤3$.
答案
1.【解】$y=x^2+2x-3=(x+1)^2-4$，抛物线对称轴为直线$x=-1$. 当$x＞-1$时，$y$随$x$的增大而增大，当$x＜-1$时，$y$随$x$的增大而减小.
(1)在全体实数范围内，当$x=-1$时，函数有最小值$-4$，没有最大值.
(2)在$-4≤ x≤-2$的范围内，当$x=-2$时，函数有最小值$-3$；当$x=-4$时，函数有最大值5.
(3)在$-3≤ x≤0$的范围内，当$x=-1$时，函数有最小值$-4$；当$x=-3$时，函数有最大值0.
(4)在$1≤ x≤3$的范围内，当$x=1$时，函数有最小值0；当$x=3$时，函数有最大值12.
(1)在全体实数范围内，当$x=-1$时，函数有最小值$-4$，没有最大值.
(2)在$-4≤ x≤-2$的范围内，当$x=-2$时，函数有最小值$-3$；当$x=-4$时，函数有最大值5.
(3)在$-3≤ x≤0$的范围内，当$x=-1$时，函数有最小值$-4$；当$x=-3$时，函数有最大值0.
(4)在$1≤ x≤3$的范围内，当$x=1$时，函数有最小值0；当$x=3$时，函数有最大值12.
解析
【分析】
求解二次函数在不同区间的最值，首先需将二次函数一般式配方为顶点式，确定抛物线的开口方向、对称轴，明确函数的增减性：本题二次项系数为正，抛物线开口向上，对称轴左侧y随x增大而减小，右侧y随x增大而增大。再根据给定区间与对称轴的位置关系分类求解：若区间包含对称轴，顶点处取最小值，最大值比较区间两端点函数值即可；若区间在对称轴左侧，函数单调递减，左端点取最大值、右端点取最小值；若区间在对称轴右侧，函数单调递增，左端点取最小值、右端点取最大值，按此思路逐一求解各小问。
【解析】
先对函数配方得：$y=x^2+2x-3=(x+1)^2-4$，可知抛物线开口向上，对称轴为直线$x=-1$，当$x＞-1$时，$y$随$x$的增大而增大，当$x＜-1$时，$y$随$x$的增大而减小。
(1)全体实数范围内：抛物线开口向上，顶点为图象最低点，因此当$x=-1$时，函数取得最小值$-4$，没有最大值。
(2)区间$-4≤x≤-2$：整个区间在对称轴$x=-1$左侧，函数单调递减。当$x=-2$时，$y=(-2+1)^2-4=-3$，为最小值；当$x=-4$时，$y=(-4+1)^2-4=5$，为最大值。
(3)区间$-3≤x≤0$：区间包含对称轴$x=-1$。当$x=-1$时，函数取最小值$-4$；计算两端点函数值：$x=-3$时$y=0$，$x=0$时$y=-3$，因此最大值为0，在$x=-3$处取得。
(4)区间$1≤x≤3$：整个区间在对称轴$x=-1$右侧，函数单调递增。当$x=1$时，$y=(1+1)^2-4=0$，为最小值；当$x=3$时，$y=(3+1)^2-4=12$，为最大值。
【答案】
(1)最小值为$\boldsymbol{-4}$，无最大值；
(2)最小值为$\boldsymbol{-3}$，最大值为$\boldsymbol{5}$；
(3)最小值为$\boldsymbol{-4}$，最大值为$\boldsymbol{0}$；
(4)最小值为$\boldsymbol{0}$，最大值为$\boldsymbol{12}$。
【知识点】
二次函数配方；二次函数图象与性质；定区间最值求解
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题型，解题核心是先确定抛物线的对称轴与开口方向，再结合区间和对称轴的位置关系、函数单调性判断最值，掌握该方法是解决二次函数实际最值问题的关键。
【难度系数】
0.65
求解二次函数在不同区间的最值，首先需将二次函数一般式配方为顶点式，确定抛物线的开口方向、对称轴，明确函数的增减性：本题二次项系数为正，抛物线开口向上，对称轴左侧y随x增大而减小，右侧y随x增大而增大。再根据给定区间与对称轴的位置关系分类求解：若区间包含对称轴，顶点处取最小值，最大值比较区间两端点函数值即可；若区间在对称轴左侧，函数单调递减，左端点取最大值、右端点取最小值；若区间在对称轴右侧，函数单调递增，左端点取最小值、右端点取最大值，按此思路逐一求解各小问。
【解析】
先对函数配方得：$y=x^2+2x-3=(x+1)^2-4$，可知抛物线开口向上，对称轴为直线$x=-1$，当$x＞-1$时，$y$随$x$的增大而增大，当$x＜-1$时，$y$随$x$的增大而减小。
(1)全体实数范围内：抛物线开口向上，顶点为图象最低点，因此当$x=-1$时，函数取得最小值$-4$，没有最大值。
(2)区间$-4≤x≤-2$：整个区间在对称轴$x=-1$左侧，函数单调递减。当$x=-2$时，$y=(-2+1)^2-4=-3$，为最小值；当$x=-4$时，$y=(-4+1)^2-4=5$，为最大值。
(3)区间$-3≤x≤0$：区间包含对称轴$x=-1$。当$x=-1$时，函数取最小值$-4$；计算两端点函数值：$x=-3$时$y=0$，$x=0$时$y=-3$，因此最大值为0，在$x=-3$处取得。
(4)区间$1≤x≤3$：整个区间在对称轴$x=-1$右侧，函数单调递增。当$x=1$时，$y=(1+1)^2-4=0$，为最小值；当$x=3$时，$y=(3+1)^2-4=12$，为最大值。
【答案】
(1)最小值为$\boldsymbol{-4}$，无最大值；
(2)最小值为$\boldsymbol{-3}$，最大值为$\boldsymbol{5}$；
(3)最小值为$\boldsymbol{-4}$，最大值为$\boldsymbol{0}$；
(4)最小值为$\boldsymbol{0}$，最大值为$\boldsymbol{12}$。
【知识点】
二次函数配方；二次函数图象与性质；定区间最值求解
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题型，解题核心是先确定抛物线的对称轴与开口方向，再结合区间和对称轴的位置关系、函数单调性判断最值，掌握该方法是解决二次函数实际最值问题的关键。
【难度系数】
0.65
2 定轴动范围 (1)[2025 浙江台州期末,中]当$\frac{m}{2}≤x≤m+1$时,二次函数$y=x^2 -2x +m -1$的最小值是-1,则$m=$
(2)[2025 河南郑州期中,中]已知二次函数$y=ax^2 +2ax +1(a＞0)$,当$m≤x≤0$时,$y$有最小值$1-a$和最大值1,则$m$的取值范围是
$1或\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$
.(2)[2025 河南郑州期中,中]已知二次函数$y=ax^2 +2ax +1(a＞0)$,当$m≤x≤0$时,$y$有最小值$1-a$和最大值1,则$m$的取值范围是
$-2≤m≤-1$
.答案
2.(1)$\boldsymbol{1或\frac{-1-\sqrt{5}}{2}}$ (2)$\boldsymbol{-2≤ m≤-1}$ 【解析】(1)$y=x^2-2x+m-1$图象的对称轴为直线$x=1$，抛物线开口向上，$\therefore$ 当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而减小. ①当$\frac{m}{2}＞1$，即$m＞2$时，则当$x=\frac{m}{2}$时，$y=-1$，$\therefore (\frac{m}{2})^2 -2·\frac{m}{2}+m-1=-1$，解得$m=0$，不符合题意，舍去. ②当$\frac{m}{2}≤1≤ m+1$，即$0≤ m≤2$时，则当$x=1$时，$y=-1$，$\therefore 1-2+m-1=-1$，解得$m=1$. ③当$m+1＜1$，即$m＜0$时，则当$x=m+1$时，$y=-1$，$\therefore (m+1)^2-2(m+1)+m-1=-1$，$\therefore m^2+m-1=0$，解得$m_1=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$，$m_2=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$（舍去）. 综上所述，$m=1$或$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$. 故答案为$1或\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$.
(2)二次函数$y=ax^2+2ax+1=a(x+1)^2-a+1(a＞0)$，$\therefore$ 该函数图象开口向上，对称轴是直线$x=-1$，当$x=-1$时，该函数取得最小值$-a+1$. $\because$ 当$m≤ x≤0$时，$y$有最小值$1-a$和最大值1，且当$x=0$时，$y=1$，根据对称性，当$x=-2$时，$y=1$，$\therefore -2≤ m≤-1$，故答案为$-2≤ m≤-1$.
(2)二次函数$y=ax^2+2ax+1=a(x+1)^2-a+1(a＞0)$，$\therefore$ 该函数图象开口向上，对称轴是直线$x=-1$，当$x=-1$时，该函数取得最小值$-a+1$. $\because$ 当$m≤ x≤0$时，$y$有最小值$1-a$和最大值1，且当$x=0$时，$y=1$，根据对称性，当$x=-2$时，$y=1$，$\therefore -2≤ m≤-1$，故答案为$-2≤ m≤-1$.
解析
【分析】
这两道题均考查二次函数的区间最值问题，解题核心思路如下：1. 先将二次函数整理为顶点式（或直接用对称轴公式），确定抛物线的开口方向、对称轴位置；2. 结合给定的自变量取值区间，分类讨论对称轴与区间的三种位置关系：对称轴在区间左侧、对称轴在区间内、对称轴在区间右侧；3. 根据抛物线的增减性，确定对应情况下取最值的自变量取值，代入函数式列方程求解，最后检验解得的参数是否符合对应分类的前提条件，舍去增根；第(2)问还可利用抛物线的对称性快速确定区间的边界值。
【解析】
(1) 二次函数$y=x^2-2x+m-1$的图象开口向上，由对称轴公式得对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2}{2×1}=1$，抛物线增减性为：$x＜1$时，$y$随$x$的增大而减小；$x＞1$时，$y$随$x$的增大而增大，分三类讨论：
① 当区间在对称轴右侧，即$\frac{m}{2}＞1$，也就是$m＞2$时，区间内$y$随$x$增大而增大，最小值在左端点$x=\frac{m}{2}$处取得，代入得：
$(\frac{m}{2})^2 - 2·\frac{m}{2} + m -1 = -1$，解得$m=0$，不符合$m＞2$的前提，舍去；
② 当对称轴在区间内，即$\frac{m}{2}≤1≤m+1$，也就是$0≤m≤2$时，最小值在顶点$x=1$处取得，代入得：
$1^2 - 2×1 + m -1 = -1$，解得$m=1$，符合$0≤m≤2$，保留；
③ 当区间在对称轴左侧，即$m+1＜1$，也就是$m＜0$时，区间内$y$随$x$增大而减小，最小值在右端点$x=m+1$处取得，代入得：
$(m+1)^2 -2(m+1) + m -1 = -1$，整理得$m^2 + m -1 =0$，由求根公式得$m=\frac{-1±\sqrt{5}}{2}$，其中$m=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}＞0$不符合$m＜0$的前提，舍去，保留$m=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$。
综上，$m=1$或$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$。
(2) 先将二次函数化为顶点式：$y=ax^2+2ax+1=a(x+1)^2 -a +1$，已知$a＞0$，故抛物线开口向上，对称轴为直线$x=-1$，当$x=-1$时，函数取得最小值$1-a$，与题目给出的最小值一致，说明区间$[m,0]$包含对称轴$x=-1$，即$m≤-1$；
当$x=0$时，代入得$y=1$，符合题目给出的最大值，由抛物线的对称性可知，与$x=0$关于对称轴$x=-1$对称的点为$x=-2$，此时$y=1$，若$m＜-2$，则区间内$x=m$处的函数值将大于1，不符合最大值为1的条件，故$m≥-2$。
综上，$m$的取值范围是$-2≤m≤-1$。
【答案】
(1)$1或\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$；(2)$-2≤ m≤-1$
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数区间最值；分类讨论思想
【点评】
本题是二次函数区间最值的典型考法，解题关键是抓住开口方向、对称轴与区间的位置关系分类讨论，求解后务必验证结果是否符合对应分类的前提，避免产生增根；利用抛物线的对称性求解取值范围时，可结合数形结合思想快速确定边界，提升解题效率。
【难度系数】
0.55
这两道题均考查二次函数的区间最值问题，解题核心思路如下：1. 先将二次函数整理为顶点式（或直接用对称轴公式），确定抛物线的开口方向、对称轴位置；2. 结合给定的自变量取值区间，分类讨论对称轴与区间的三种位置关系：对称轴在区间左侧、对称轴在区间内、对称轴在区间右侧；3. 根据抛物线的增减性，确定对应情况下取最值的自变量取值，代入函数式列方程求解，最后检验解得的参数是否符合对应分类的前提条件，舍去增根；第(2)问还可利用抛物线的对称性快速确定区间的边界值。
【解析】
(1) 二次函数$y=x^2-2x+m-1$的图象开口向上，由对称轴公式得对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2}{2×1}=1$，抛物线增减性为：$x＜1$时，$y$随$x$的增大而减小；$x＞1$时，$y$随$x$的增大而增大，分三类讨论：
① 当区间在对称轴右侧，即$\frac{m}{2}＞1$，也就是$m＞2$时，区间内$y$随$x$增大而增大，最小值在左端点$x=\frac{m}{2}$处取得，代入得：
$(\frac{m}{2})^2 - 2·\frac{m}{2} + m -1 = -1$，解得$m=0$，不符合$m＞2$的前提，舍去；
② 当对称轴在区间内，即$\frac{m}{2}≤1≤m+1$，也就是$0≤m≤2$时，最小值在顶点$x=1$处取得，代入得：
$1^2 - 2×1 + m -1 = -1$，解得$m=1$，符合$0≤m≤2$，保留；
③ 当区间在对称轴左侧，即$m+1＜1$，也就是$m＜0$时，区间内$y$随$x$增大而减小，最小值在右端点$x=m+1$处取得，代入得：
$(m+1)^2 -2(m+1) + m -1 = -1$，整理得$m^2 + m -1 =0$，由求根公式得$m=\frac{-1±\sqrt{5}}{2}$，其中$m=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}＞0$不符合$m＜0$的前提，舍去，保留$m=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$。
综上，$m=1$或$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$。
(2) 先将二次函数化为顶点式：$y=ax^2+2ax+1=a(x+1)^2 -a +1$，已知$a＞0$，故抛物线开口向上，对称轴为直线$x=-1$，当$x=-1$时，函数取得最小值$1-a$，与题目给出的最小值一致，说明区间$[m,0]$包含对称轴$x=-1$，即$m≤-1$；
当$x=0$时，代入得$y=1$，符合题目给出的最大值，由抛物线的对称性可知，与$x=0$关于对称轴$x=-1$对称的点为$x=-2$，此时$y=1$，若$m＜-2$，则区间内$x=m$处的函数值将大于1，不符合最大值为1的条件，故$m≥-2$。
综上，$m$的取值范围是$-2≤m≤-1$。
【答案】
(1)$1或\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$；(2)$-2≤ m≤-1$
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数区间最值；分类讨论思想
【点评】
本题是二次函数区间最值的典型考法，解题关键是抓住开口方向、对称轴与区间的位置关系分类讨论，求解后务必验证结果是否符合对应分类的前提，避免产生增根；利用抛物线的对称性求解取值范围时，可结合数形结合思想快速确定边界，提升解题效率。
【难度系数】
0.55
3 动轴定范围 [2025 江苏苏州期末,中]当$0 ≤ x ≤ 3$时,二次函数$y=x^2+2ax$的最大值是$M$,最小值是$m$,若$M-m=4$,则$a$的值是
$-1或-2$
.答案
3.$\boldsymbol{-1或-2}$ 【解析】$y=x^2+2ax=(x+a)^2-a^2$，$\therefore$ 函数图象对称轴为直线$x=-a$，抛物线开口向上.
①若$-a＜0$，即$a＞0$时，当$x=0$时，$m=0$，当$x=3$时，$M=9+6a$. $\because M-m=4$，$\therefore 9+6a-0=4$，解得$a=-\frac{5}{6}$（舍去）. ②若$0≤ -a≤1.5$，即$-1.5≤ a≤0$，则当$x=-a$时，$m=-a^2$，当$x=3$时，$M=9+6a$. $\because M-m=4$，$\therefore 9+6a+a^2=4$，解得$a=-1$或$a=-5$（舍去）. ③若$1.5＜-a≤3$，即$-3≤ a＜-1.5$，则当$x=-a$时，$m=-a^2$，当$x=0$时，$M=0$. $\because M-m=4$，$\therefore 0-(-a^2)=4$，解得$a=-2$或$a=2$（舍去）. ④若$-a＞3$，即$a＜-3$，则当$x=3$时，$m=9+6a$，当$x=0$时，$M=0$. $\because M-m=4$，$\therefore 0-(9+6a)=4$，解得$a=-\frac{13}{6}$（舍去）. 综上可知，$a$的值是$-1$或$-2$，故答案为$-1$或$-2$.
①若$-a＜0$，即$a＞0$时，当$x=0$时，$m=0$，当$x=3$时，$M=9+6a$. $\because M-m=4$，$\therefore 9+6a-0=4$，解得$a=-\frac{5}{6}$（舍去）. ②若$0≤ -a≤1.5$，即$-1.5≤ a≤0$，则当$x=-a$时，$m=-a^2$，当$x=3$时，$M=9+6a$. $\because M-m=4$，$\therefore 9+6a+a^2=4$，解得$a=-1$或$a=-5$（舍去）. ③若$1.5＜-a≤3$，即$-3≤ a＜-1.5$，则当$x=-a$时，$m=-a^2$，当$x=0$时，$M=0$. $\because M-m=4$，$\therefore 0-(-a^2)=4$，解得$a=-2$或$a=2$（舍去）. ④若$-a＞3$，即$a＜-3$，则当$x=3$时，$m=9+6a$，当$x=0$时，$M=0$. $\because M-m=4$，$\therefore 0-(9+6a)=4$，解得$a=-\frac{13}{6}$（舍去）. 综上可知，$a$的值是$-1$或$-2$，故答案为$-1$或$-2$.
解析
【分析】
本题是二次函数“动轴定区间”的最值问题，解题思路如下：第一步先将二次函数配方，明确抛物线开口方向和对称轴；第二步由于对称轴$x=-a$是动态的，而自变量范围固定为$0≤x≤3$，因此按对称轴与区间的位置关系分4类讨论：对称轴在区间左侧、对称轴在区间左半段（≤区间中点1.5）、对称轴在区间右半段（＞1.5且≤3）、对称轴在区间右侧；第三步结合开口向上的性质，在每类情况中确定最大值$M$和最小值$m$的取值，代入$M-m=4$列方程求解；第四步检验解是否符合当前分类的$a$的范围，舍去不符合的解，即可得到最终结果。
【解析】
先将二次函数配方得：$y=x^2+2ax=(x+a)^2 - a^2$，因此抛物线开口向上，对称轴为直线$x=-a$，结合自变量范围$0≤x≤3$，分4种情况讨论：
① 若$-a＜0$，即$a＞0$时，函数在$[0,3]$上单调递增：
当$x=0$时，$m=0$；当$x=3$时，$M=9+6a$。
代入$M-m=4$得$9+6a=4$，解得$a=-\frac{5}{6}$，与$a＞0$矛盾，舍去。
② 若$0≤-a≤1.5$，即$-1.5≤a≤0$时，函数在对称轴处取最小值，在$x=3$处取最大值（3距离对称轴更远）：
当$x=-a$时，$m=-a^2$；当$x=3$时，$M=9+6a$。
代入$M-m=4$得$9+6a+a^2=4$，整理得$a^2+6a+5=0$，解得$a=-1$或$a=-5$，其中$a=-5$不符合$-1.5≤a≤0$，舍去，故$a=-1$符合要求。
③ 若$1.5＜-a≤3$，即$-3≤a＜-1.5$时，函数在对称轴处取最小值，在$x=0$处取最大值（0距离对称轴更远）：
当$x=-a$时，$m=-a^2$；当$x=0$时，$M=0$。
代入$M-m=4$得$a^2=4$，解得$a=-2$或$a=2$，其中$a=2$不符合$-3≤a＜-1.5$，舍去，故$a=-2$符合要求。
④ 若$-a＞3$，即$a＜-3$时，函数在$[0,3]$上单调递减：
当$x=3$时，$m=9+6a$；当$x=0$时，$M=0$。
代入$M-m=4$得$-(9+6a)=4$，解得$a=-\frac{13}{6}$，与$a＜-3$矛盾，舍去。
综上，$a$的值为$-1$或$-2$。
【答案】
$\boldsymbol{-1或-2}$
【知识点】
二次函数的性质；动轴定区间最值；分类讨论思想
【点评】
本题是二次函数区间最值的典型题型，解题核心是根据对称轴与给定区间的位置关系合理分类，求解后要注意验证参数是否符合对应分类的取值范围，避免出现增根或漏解。
【难度系数】
0.6
本题是二次函数“动轴定区间”的最值问题，解题思路如下：第一步先将二次函数配方，明确抛物线开口方向和对称轴；第二步由于对称轴$x=-a$是动态的，而自变量范围固定为$0≤x≤3$，因此按对称轴与区间的位置关系分4类讨论：对称轴在区间左侧、对称轴在区间左半段（≤区间中点1.5）、对称轴在区间右半段（＞1.5且≤3）、对称轴在区间右侧；第三步结合开口向上的性质，在每类情况中确定最大值$M$和最小值$m$的取值，代入$M-m=4$列方程求解；第四步检验解是否符合当前分类的$a$的范围，舍去不符合的解，即可得到最终结果。
【解析】
先将二次函数配方得：$y=x^2+2ax=(x+a)^2 - a^2$，因此抛物线开口向上，对称轴为直线$x=-a$，结合自变量范围$0≤x≤3$，分4种情况讨论：
① 若$-a＜0$，即$a＞0$时，函数在$[0,3]$上单调递增：
当$x=0$时，$m=0$；当$x=3$时，$M=9+6a$。
代入$M-m=4$得$9+6a=4$，解得$a=-\frac{5}{6}$，与$a＞0$矛盾，舍去。
② 若$0≤-a≤1.5$，即$-1.5≤a≤0$时，函数在对称轴处取最小值，在$x=3$处取最大值（3距离对称轴更远）：
当$x=-a$时，$m=-a^2$；当$x=3$时，$M=9+6a$。
代入$M-m=4$得$9+6a+a^2=4$，整理得$a^2+6a+5=0$，解得$a=-1$或$a=-5$，其中$a=-5$不符合$-1.5≤a≤0$，舍去，故$a=-1$符合要求。
③ 若$1.5＜-a≤3$，即$-3≤a＜-1.5$时，函数在对称轴处取最小值，在$x=0$处取最大值（0距离对称轴更远）：
当$x=-a$时，$m=-a^2$；当$x=0$时，$M=0$。
代入$M-m=4$得$a^2=4$，解得$a=-2$或$a=2$，其中$a=2$不符合$-3≤a＜-1.5$，舍去，故$a=-2$符合要求。
④ 若$-a＞3$，即$a＜-3$时，函数在$[0,3]$上单调递减：
当$x=3$时，$m=9+6a$；当$x=0$时，$M=0$。
代入$M-m=4$得$-(9+6a)=4$，解得$a=-\frac{13}{6}$，与$a＜-3$矛盾，舍去。
综上，$a$的值为$-1$或$-2$。
【答案】
$\boldsymbol{-1或-2}$
【知识点】
二次函数的性质；动轴定区间最值；分类讨论思想
【点评】
本题是二次函数区间最值的典型题型，解题核心是根据对称轴与给定区间的位置关系合理分类，求解后要注意验证参数是否符合对应分类的取值范围，避免出现增根或漏解。
【难度系数】
0.6
4 动轴动范围 [2025安徽芜湖期中,中]已知抛物线$y=x^2+2mx+4m^2$（$m$为常数），当$2m≤x≤2m+3$时，与其对应的函数值$y$的最小值为9，求此时的二次函数表达式。
答案
4.【解】$y=x^2+2mx+4m^2=(x+m)^2+3m^2$，$\therefore$ 函数图象的对称轴是直线$x=-m$，抛物线开口向上.
①当$2m＞-m$，即$m＞0$时，当$x=2m$时，$y=9$，$\therefore 4m^2+4m^2+4m^2=9$，$\therefore m=\frac{\sqrt{3}}{2}$（负值已舍去），此时的二次函数表达式为$y=x^2+\sqrt{3}x+3$.
②当$2m≤ -m≤ 2m+3$，即$-1≤ m≤0$时，当$x=-m$时，$y=9$，$\therefore 3m^2=9$，解得$m=\pm\sqrt{3}$（都不符合题意，舍去）.
③当$2m+3＜-m$，即$m＜-1$时，当$x=2m+3$时，$y=9$，$\therefore (2m+3)^2+2m(2m+3)+4m^2=9$，解得$m=0$（舍去）或$-1.5$，此时的二次函数表达式为$y=x^2-3x+9$. 综上，二次函数表达式为$y=x^2+\sqrt{3}x+3$或$y=x^2-3x+9$.
①当$2m＞-m$，即$m＞0$时，当$x=2m$时，$y=9$，$\therefore 4m^2+4m^2+4m^2=9$，$\therefore m=\frac{\sqrt{3}}{2}$（负值已舍去），此时的二次函数表达式为$y=x^2+\sqrt{3}x+3$.
②当$2m≤ -m≤ 2m+3$，即$-1≤ m≤0$时，当$x=-m$时，$y=9$，$\therefore 3m^2=9$，解得$m=\pm\sqrt{3}$（都不符合题意，舍去）.
③当$2m+3＜-m$，即$m＜-1$时，当$x=2m+3$时，$y=9$，$\therefore (2m+3)^2+2m(2m+3)+4m^2=9$，解得$m=0$（舍去）或$-1.5$，此时的二次函数表达式为$y=x^2-3x+9$. 综上，二次函数表达式为$y=x^2+\sqrt{3}x+3$或$y=x^2-3x+9$.
解析
【分析】
本题是给定自变量取值范围求二次函数最小值的问题，解题思路如下：首先将二次函数一般式配方为顶点式，确定抛物线的开口方向和对称轴；由于抛物线开口向上，函数在对称轴处取得最小值，离对称轴越远函数值越大，接下来需要分三类讨论对称轴和给定区间$[2m,2m+3]$的位置关系：①对称轴在区间左侧、②对称轴在区间内部、③对称轴在区间右侧，分别令每种情况下的最小值为9求解$m$，再结合对应分类下$m$的取值范围舍去不符合的解，最终得到二次函数表达式。
【解析】
先将二次函数配方得：
$y=x^2+2mx+4m^2=(x+m)^2+3m^2$，
由此可知抛物线开口向上，对称轴为直线$x=-m$。
分三种情况讨论：
①当对称轴在区间左侧，即$2m＞-m$，也就是$m＞0$时，区间内$y$随$x$的增大而增大，因此$x=2m$时$y$取最小值9，代入得：
$(2m+m)^2+3m^2=9$，即$12m^2=9$，
解得$m=\frac{\sqrt{3}}{2}$（$m=-\frac{\sqrt{3}}{2}$不符合$m＞0$，舍去），
此时二次函数表达式为$y=x^2+2×\frac{\sqrt{3}}{2}x+4×(\frac{\sqrt{3}}{2})^2=x^2+\sqrt{3}x+3$。
②当对称轴在区间内部，即$2m≤ -m≤ 2m+3$，也就是$-1≤ m≤ 0$时，函数在对称轴$x=-m$处取得最小值9，代入得：
$3m^2=9$，解得$m=\pm\sqrt{3}$，两个值均不在$-1≤ m≤ 0$范围内，全部舍去，此情况无解。
③当对称轴在区间右侧，即$2m+3＜-m$，也就是$m＜-1$时，区间内$y$随$x$的增大而减小，因此$x=2m+3$时$y$取最小值9，代入得：
$(2m+3+m)^2+3m^2=9$，整理得$12m^2+18m=0$，
解得$m=0$（不符合$m＜-1$，舍去）或$m=-1.5$，
此时二次函数表达式为$y=x^2+2×(-1.5)x+4×(-1.5)^2=x^2-3x+9$。
【答案】
$y=x^2+\sqrt{3}x+3$或$y=x^2-3x+9$
【知识点】
二次函数图象性质、区间最值求解、分类讨论思想
【点评】
本题是二次函数区间最值的典型题型，解题核心是明确抛物线开口方向后，根据对称轴与给定区间的位置关系分类讨论，易错点是求解出$m$的值后，忽略对应分类下$m$的取值范围，未舍去不符合条件的解。
【难度系数】
0.6
本题是给定自变量取值范围求二次函数最小值的问题，解题思路如下：首先将二次函数一般式配方为顶点式，确定抛物线的开口方向和对称轴；由于抛物线开口向上，函数在对称轴处取得最小值，离对称轴越远函数值越大，接下来需要分三类讨论对称轴和给定区间$[2m,2m+3]$的位置关系：①对称轴在区间左侧、②对称轴在区间内部、③对称轴在区间右侧，分别令每种情况下的最小值为9求解$m$，再结合对应分类下$m$的取值范围舍去不符合的解，最终得到二次函数表达式。
【解析】
先将二次函数配方得：
$y=x^2+2mx+4m^2=(x+m)^2+3m^2$，
由此可知抛物线开口向上，对称轴为直线$x=-m$。
分三种情况讨论：
①当对称轴在区间左侧，即$2m＞-m$，也就是$m＞0$时，区间内$y$随$x$的增大而增大，因此$x=2m$时$y$取最小值9，代入得：
$(2m+m)^2+3m^2=9$，即$12m^2=9$，
解得$m=\frac{\sqrt{3}}{2}$（$m=-\frac{\sqrt{3}}{2}$不符合$m＞0$，舍去），
此时二次函数表达式为$y=x^2+2×\frac{\sqrt{3}}{2}x+4×(\frac{\sqrt{3}}{2})^2=x^2+\sqrt{3}x+3$。
②当对称轴在区间内部，即$2m≤ -m≤ 2m+3$，也就是$-1≤ m≤ 0$时，函数在对称轴$x=-m$处取得最小值9，代入得：
$3m^2=9$，解得$m=\pm\sqrt{3}$，两个值均不在$-1≤ m≤ 0$范围内，全部舍去，此情况无解。
③当对称轴在区间右侧，即$2m+3＜-m$，也就是$m＜-1$时，区间内$y$随$x$的增大而减小，因此$x=2m+3$时$y$取最小值9，代入得：
$(2m+3+m)^2+3m^2=9$，整理得$12m^2+18m=0$，
解得$m=0$（不符合$m＜-1$，舍去）或$m=-1.5$，
此时二次函数表达式为$y=x^2+2×(-1.5)x+4×(-1.5)^2=x^2-3x+9$。
【答案】
$y=x^2+\sqrt{3}x+3$或$y=x^2-3x+9$
【知识点】
二次函数图象性质、区间最值求解、分类讨论思想
【点评】
本题是二次函数区间最值的典型题型，解题核心是明确抛物线开口方向后，根据对称轴与给定区间的位置关系分类讨论，易错点是求解出$m$的值后，忽略对应分类下$m$的取值范围，未舍去不符合条件的解。
【难度系数】
0.6
