1[中]如图所示,边长为2的等边三角形ABC中,D点在边BC上运动(不与B,C重合),点E在边AB的延长线上,点F在边AC的延长线上,AD=DE=DF.点D在BC边上从B至C的运动过程中,△BED周长的变化规律为 ()

A.不变
B.一直变小
C.先变大后变小
D.先变小后变大

(第1题图)
(第2题图)

【解析】
∵ △ABC 是等边三角形,
∴ ∠ABC=∠BAC = ∠ACB = 60°.
∵ AD = DE = DF,
∴ ∠DAE = ∠DEA, ∠DAF = ∠DFA.
∵ ∠DAE+∠DAF = ∠BAC = 60°,
∴ ∠DEA+∠DFA = 60°.
∵ ∠ABC = ∠DEA + ∠EDB = 60°,
∴ ∠EDB = ∠DFA.
∵ ∠ACB = ∠CFD + ∠CDF = 60°,
∴ ∠CDF = ∠BED,
∴ △BDE≌△CFD,
∴ BE = CD,
∴ △BED 的周长为 BD+BE+DE = BD+CD+AD = BC+AD.
∵ 点 D 在 BC 边上从 B 至 C 的运动过程中,AD 的长先变小后变大,
∴ △BED 的周长先变小后变大,故选 D.

2[2026河北石家庄质检,中]如图,$△ ABC$是等边三角形,$AB=3$,点$P$是$BC$上一动点,$BP=m$,$PD// AC$,交$AB$于点$D$,连接$CD$.过点$P$作$PE// AB$交$AC$于点$E$,连接$BE$,交$CD$于点$F$.当$BE+CD$的值最小时,$m$的值为.

【解析】
∵ △ABC 为等边三角形,
∴ ∠A=∠ABC=∠ACB=60°,AB=BC=AC=3.
∵ PD//AC,PE//AB,
∴ ∠DPB=∠ACB=60°,∠BDP=∠A=60°, ∠EPC = ∠ABC = 60°, ∠PEC = ∠A = 60°,
∴ ∠BDP = ∠DPB = ∠DBP = 60°, ∠EPC = ∠PEC = ∠ECP = 60°, ∠BPE = ∠CPD=120°,
∴ △BDP 和 △CEP 为等边三角形,
∴ PB = PD, PE = PC,
∴ △BPE ≌ △DPC (SAS),
∴ BE = CD,
∴ BE+CD = 2BE. 当 BE ⊥ AC 时,BE 最短,即 BE+CD 的值最小,此时 E 是 AC 中点,
∴ PC=CE = $\frac{1}{2}$AC = $\frac{3}{2}$,
∴ BP = m = 3-$\frac{3}{2}$ = $\frac{3}{2}$.

3 [2025湖北武汉期中,较难]如图,点P为△ABC内部一点,且∠PBC = 30°, ∠PBA = 8°, ∠APB=150°, ∠CAP=22°,则∠APC的度数为°。

【解析】延长 AC 到 Q,使 AQ=AB,连接 PQ,BQ,PQ 交 BC 于点 E,如图.
∵ ∠PBA = 8°, ∠APB = 150°,
∴ ∠BAP = 180°-(∠PBA + ∠APB) = 22°.
∵ ∠CAP=22°,
∴ ∠CAP = ∠BAP = 22°. 在△QAP 和△BAP 中,
$\begin{cases} AQ=AB, \\ ∠QAP=∠BAP, \\ AP=AP, \end{cases}$
∴ △QAP≌△BAP(SAS),
∴ ∠APQ = ∠APB = 150°, ∠PQA = ∠PBA = 8°, PQ = PB,
∴ ∠BPQ = 360°-(∠APQ + ∠APB) = 60°,
∴ △PBQ 是等边三角形,
∴ ∠PBQ = ∠BPQ = 60°.
∵ ∠PBC = 30°,
∴ ∠QBC = ∠PBQ - ∠PBC=30°,
∴ ∠QBC = ∠PBC = 30°,
∴ BC 是∠PBQ 的平分线,
∴ BC ⊥ PQ,PE = QE,
∴ BC 是线段 PQ 的垂直平分线,
∴ PC = QC,
∴ ∠CPQ = ∠PQA = 8°,
∴ ∠APC = ∠APQ - ∠CPQ = 150°-8°=142°. 故答案为 142.

4[较难]已知:如图,△ABC,△CDE都是等边三角形,AD,BE相交于点O,点M,N分别是线段AD,BE的中点.
(1)求证:AD=BE;
(2)求∠DOE的度数;
(3)求证:△MNC是等边三角形.

刷素养→走向重高

(1)【证明】
∵ △ABC,△CDE 都是等边三角形,
∴ AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°,
∴ ∠ACB+∠BCD = ∠DCE+∠BCD,
∴ ∠ACD = ∠BCE.
在△ACD 和△BCE 中,
$\begin{cases} AC=BC, \\ ∠ACD=∠BCE, \\ CD=CE, \end{cases}$
∴ △ACD≌△BCE,
∴ AD=BE.
(2)【解】
∵ △ACD ≌ △BCE,
∴ ∠ADC = ∠BEC.
∵ △DCE 是等边三角形,
∴ ∠CED = ∠CDE = 60°,
∴ ∠ADE + ∠BED = ∠ADC + ∠CDE + ∠BED = ∠ADC + 60° + ∠BED = ∠BEC+∠BED+60° = ∠CED+60° = 60°+60° = 120°,
∴ ∠DOE = 180°-(∠ADE + ∠BED) = 60°,即∠DOE 的度数是 60°.
(3)【证明】
∵ △ACD ≌ △BCE,
∴ ∠CAD = ∠CBE,AD=BE.
又
∵ 点 M,N 分别是线段 AD,BE 的中点,
∴ AM = $\frac{1}{2}$AD,BN = $\frac{1}{2}$BE,
∴ AM = BN.
在△ACM 和△BCN 中,
$\begin{cases} AC=BC, \\ ∠CAM=∠CBN, \\ AM=BN, \end{cases}$
∴ △ACM ≌ △BCN,
∴ CM = CN, ∠ACM = ∠BCN. 又
∵ ∠ACB=60°,
∴ ∠ACM+∠MCB = 60°,
∴ ∠BCN+∠MCB = 60°,
∴ ∠MCN = 60°,
∴ △MNC 是等边三角形.

5 核心素养推理能力[难]已知在等边三角形ABC中,点E在AB上,点D在CB的延长线上,且ED=EC.
(1)【特殊情况,探索结论】
如图(1),当点E为AB的中点时,确定线段AE与DB的大小关系,请你直接写出结论:AE DB(填“＞”“＜”或“=”).
(2)【特例启发,解答题目】
如图(2),当点E为AB边上任意一点时,确定线段AE与DB的大小关系,请你直接写出结论:AE DB(填“＞”“＜”或“=”).
理由如下:过点E作EF//BC,交AC于点F.
(请你完成解答过程)
(3)【拓展结论,设计新题】
在等边三角形ABC中,点E在直线AB上,点D在线段CB的延长线上,且ED=EC,若△ABC的边长为1,AE=2,求CD的长(请你画出相应图形,并直接写出结果).

(1)=
(2)AE = DB. 理由如下:过点 E 作 EF//BC,交 AC 于点 F.
∵ △ABC 为等边三角形,
∴ ∠ABC = ∠ACB = 60°, AB = AC.
∵ EF//BC,
∴ ∠AEF = ∠AFE = 60°,
∴ ∠AEF = ∠F = ∠A,
∴ △AEF 为等边三角形,
∴ AE = EF = AF,
∴ BE = CF.
∵ ED = EC,
∴ ∠D = ∠ECD.
∵ ∠DEB= ∠ABC - ∠D = 60°-∠D, ∠ECF = ∠ACB - ∠ECD = 60° - ∠ECD,
∴ ∠DEB= ∠ECF. 在 △DBE 和 △EFC 中,
$\begin{cases} DE=EC, \\ ∠DEB=∠ECF, \\ BE=FC, \end{cases}$
∴ △DBE ≌ △EFC (SAS),
∴ DB = EF,则 AE = DB.
(3)根据题意画图,如图所示,CD = 3. 过点 E 作 EF//BC,交 AC 延长线于点 F.
∵ △ABC 是等边三角形,
∴ ∠ABC = ∠ACB = 60°.
∵ EF // BC,
∴ ∠AEF= ∠F = 60°,
∴ ∠AEF = ∠F = ∠A,
∴ △AEF 为等边三角形,
∴ AE = EF = 2. 同(2)可证△DBE≌△EFC,
∴ DB = EF = 2,则 CD = BC+DB = 3.