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9.「2026福建泉州期中，★☆」小华在利用完全平方公式计算时，墨迹将结果“=4x² ● +25y²”中的一项染黑了，则墨迹覆盖的这一项是（
A.+10xy
B.+10xy或-10xy
C.+20xy
D.+20xy或-20xy
D
）A.+10xy
B.+10xy或-10xy
C.+20xy
D.+20xy或-20xy
答案
D
$4x^2=(2x)^2,25y^2=(5y)^2$,
$\because (2x\pm5y)^2=4x^2\pm20xy+25y^2$,
$\therefore$ 墨迹覆盖的这一项是$\pm20xy$.故选 D.
$4x^2=(2x)^2,25y^2=(5y)^2$,
$\because (2x\pm5y)^2=4x^2\pm20xy+25y^2$,
$\therefore$ 墨迹覆盖的这一项是$\pm20xy$.故选 D.
10.「2026天津和平期末，★☆」如图所示的是由4个全等的小长方形与1个小正方形拼成的一个大正方形图案.分别用$a,b(a＞b)$表示小长方形的长和宽,已知$a+b=9$,阴影部分小正方形的边长为3,则下列关系式中错误的是 (
A.$(a-b)^2=9$
B.$(a+b)(a-b)=27$
C.$a^2+b^2=81$
D.$4ab+9=81$
C
)A.$(a-b)^2=9$
B.$(a+b)(a-b)=27$
C.$a^2+b^2=81$
D.$4ab+9=81$
答案
C
由题图可知大正方形图案的边长为$a+b=9$,小正方形的边长为$a-b=3$,$\therefore (a+b)^2=81$,$(a-b)^2=9$,
$(a+b)(a-b)=27$,故 A,B 选项中的关系式正确；
$\because (a+b)^2=81$,$(a-b)^2=9$,
$\therefore a^2+2ab+b^2=81$①,$a^2-2ab+b^2=9$②,
①+②得,$2(a^2+b^2)=90$,$\therefore a^2+b^2=45$,故 C 选项中的关系式错误；
①-②得,$4ab=72$,$\therefore 4ab+9=81$,故 D 选项中的关系式正确.故选 C.
由题图可知大正方形图案的边长为$a+b=9$,小正方形的边长为$a-b=3$,$\therefore (a+b)^2=81$,$(a-b)^2=9$,
$(a+b)(a-b)=27$,故 A,B 选项中的关系式正确；
$\because (a+b)^2=81$,$(a-b)^2=9$,
$\therefore a^2+2ab+b^2=81$①,$a^2-2ab+b^2=9$②,
①+②得,$2(a^2+b^2)=90$,$\therefore a^2+b^2=45$,故 C 选项中的关系式错误；
①-②得,$4ab=72$,$\therefore 4ab+9=81$,故 D 选项中的关系式正确.故选 C.
11. 学科特色「★☆」给等式中的某些字母赋予一定的特殊值,可以解决一些问题.在等式$(x+3)^2 = ax^2 + bx + c$中,当$x=0$时,可得$3^2 = c$,计算得$c=9$.再给$x$赋不同的值,可计算得$4a+2b=$
16
.答案
答案 16
解析 【解法一】当$x=2$时,$(2+3)^2=a×2^2+b×2+c$,化简得$4a+2b+c=25$,$\because c=9$,$\therefore 4a+2b=16$.
【解法二】因为$(x+3)^2=x^2+6x+9=ax^2+bx+c$,所以$a=1$,$b=6$,所以$4a+2b=4×1+2×6=16$.
解析 【解法一】当$x=2$时,$(2+3)^2=a×2^2+b×2+c$,化简得$4a+2b+c=25$,$\because c=9$,$\therefore 4a+2b=16$.
【解法二】因为$(x+3)^2=x^2+6x+9=ax^2+bx+c$,所以$a=1$,$b=6$,所以$4a+2b=4×1+2×6=16$.
12. 学科$\frac{特色}{换元法}$「2025广东佛山月考，★☆」已知$(x-2025)^2 + (x-2021)^2 =34$，则$(x-2023)^2$的值是
13
。答案
答案 13
解析 设$x-2\ 023=t$,则$x-2\ 025=t-2$,$x-2\ 021=t+2$,$\because (x-2\ 025)^2+(x-2\ 021)^2=34$,$\therefore (t-2)^2+(t+2)^2=34$,$\therefore t^2-4t+4+t^2+4t+4=2t^2+8=34$,$\therefore t^2=13$,
$\therefore (x-2\ 023)^2=13$.
解析 设$x-2\ 023=t$,则$x-2\ 025=t-2$,$x-2\ 021=t+2$,$\because (x-2\ 025)^2+(x-2\ 021)^2=34$,$\therefore (t-2)^2+(t+2)^2=34$,$\therefore t^2-4t+4+t^2+4t+4=2t^2+8=34$,$\therefore t^2=13$,
$\therefore (x-2\ 023)^2=13$.
13.「2026江苏苏州期中，★☆」如图，两个正方形的边长分别为$a,b$.已知$a+b=8$,阴影部分的面积为14,则$ab$的值为
12
.答案
答案 12
解析 由题图可知$S_{\mathrm{阴影}}=a^2+b^2-\frac{1}{2}a^2-\frac{1}{2}b(a+b)$
$=\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}b^2-\frac{1}{2}ab=14$,$\therefore a^2+b^2-ab=28$,
$\because a+b=8$,$\therefore (a+b)^2=a^2+b^2+2ab=64$,
$\therefore a^2+b^2=64-2ab$,
$\therefore 64-2ab-ab=28$,解得$ab=12$.故答案为 12.
解析 由题图可知$S_{\mathrm{阴影}}=a^2+b^2-\frac{1}{2}a^2-\frac{1}{2}b(a+b)$
$=\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}b^2-\frac{1}{2}ab=14$,$\therefore a^2+b^2-ab=28$,
$\because a+b=8$,$\therefore (a+b)^2=a^2+b^2+2ab=64$,
$\therefore a^2+b^2=64-2ab$,
$\therefore 64-2ab-ab=28$,解得$ab=12$.故答案为 12.
素养提优
14. 核心 素养 运算能力
(1)从图1~3中任意选择一个,通过计算图中阴影部分的面积,可得到关于a,b的等量关系是
(2)尝试解决:
①若$m+n=3,m^2+n^2=8$,则$mn=$
②若$a-3b=3,ab=2$,则$(a+3b)^2=$
③若$(7-x)(8-x)=6$,求$(7-x)^2+(8-x)^2$的值.
(3)填数游戏:如图4,把数字1~9填入构成三角形形状的9个圆圈中,使得各边上的四个数字的和都等于17,将每边四个数字的平方和分别记为A,B,C,已知$A+B+C=299$.如果将位于这个三角形顶点处的三个圆圈填入的数字分别表示为$x,y,x+y$,求$xy$的值.
14. 核心 素养 运算能力
(1)从图1~3中任意选择一个,通过计算图中阴影部分的面积,可得到关于a,b的等量关系是
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$（或$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$或$4ab=(a+b)^2-(a-b)^2$，填一个即可）
.(2)尝试解决:
①若$m+n=3,m^2+n^2=8$,则$mn=$
$\frac{1}{2}$
.②若$a-3b=3,ab=2$,则$(a+3b)^2=$
33
.③若$(7-x)(8-x)=6$,求$(7-x)^2+(8-x)^2$的值.
(3)填数游戏:如图4,把数字1~9填入构成三角形形状的9个圆圈中,使得各边上的四个数字的和都等于17,将每边四个数字的平方和分别记为A,B,C,已知$A+B+C=299$.如果将位于这个三角形顶点处的三个圆圈填入的数字分别表示为$x,y,x+y$,求$xy$的值.
答案
解析
(1)题图1:$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$;题图2:$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$;题图3:$4ab=(a+b)^2-(a-b)^2$.(填一个即可)
(2)①$\because m+n=3$,$\therefore (m+n)^2=m^2+2mn+n^2=9$,
$\because m^2+n^2=8$,$\therefore 8+2mn=9$,$\therefore mn=\frac{1}{2}$.
故答案为$\frac{1}{2}$.
②$\because (a+3b)^2=(a-3b)^2+12ab$,$a-3b=3$,$ab=2$,
$\therefore (a+3b)^2=3^2+24=33$.故答案为 33.
③$\because (7-x)-(8-x)=-1$,
$\therefore [(7-x)-(8-x)]^2=1$,
$\because (7-x)(8-x)=6$,
$\therefore (7-x)^2+(8-x)^2=[(7-x)-(8-x)]^2+2(7-x)(8-x)=1+12=13$.
(3)数字1~9的和为$1+2+3+4+5+6+7+8+9=45$,
$\because$ 各边上的四个数字的和都等于17,$17×3-45=6$,
$\therefore x+y+(x+y)=6$,即$x+y=3$,
$\because$ 每边四个数字的平方和分别记为$A,B,C$,满足$A+B+C=299$,且$1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+9^2=285$,
$\therefore x^2+y^2+(x+y)^2=299-285$,
$\therefore x^2+y^2+9=299-285$,$\therefore x^2+y^2=5$,
$\therefore (x+y)^2-2xy=5$,$\therefore xy=2$.
(1)题图1:$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$;题图2:$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$;题图3:$4ab=(a+b)^2-(a-b)^2$.(填一个即可)
(2)①$\because m+n=3$,$\therefore (m+n)^2=m^2+2mn+n^2=9$,
$\because m^2+n^2=8$,$\therefore 8+2mn=9$,$\therefore mn=\frac{1}{2}$.
故答案为$\frac{1}{2}$.
②$\because (a+3b)^2=(a-3b)^2+12ab$,$a-3b=3$,$ab=2$,
$\therefore (a+3b)^2=3^2+24=33$.故答案为 33.
③$\because (7-x)-(8-x)=-1$,
$\therefore [(7-x)-(8-x)]^2=1$,
$\because (7-x)(8-x)=6$,
$\therefore (7-x)^2+(8-x)^2=[(7-x)-(8-x)]^2+2(7-x)(8-x)=1+12=13$.
(3)数字1~9的和为$1+2+3+4+5+6+7+8+9=45$,
$\because$ 各边上的四个数字的和都等于17,$17×3-45=6$,
$\therefore x+y+(x+y)=6$,即$x+y=3$,
$\because$ 每边四个数字的平方和分别记为$A,B,C$,满足$A+B+C=299$,且$1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+9^2=285$,
$\therefore x^2+y^2+(x+y)^2=299-285$,
$\therefore x^2+y^2+9=299-285$,$\therefore x^2+y^2=5$,
$\therefore (x+y)^2-2xy=5$,$\therefore xy=2$.
1.「2026山东东营期末」已知$(x-y)^2=25$，$xy=14$，则$x^2+y^2$的值为
53
。答案
答案 53
解析 $\because (x-y)^2=25$,$\therefore x^2-2xy+y^2=25$,
$\because xy=14$,$\therefore x^2+y^2=25+2xy=25+28=53$.
解析 $\because (x-y)^2=25$,$\therefore x^2-2xy+y^2=25$,
$\because xy=14$,$\therefore x^2+y^2=25+2xy=25+28=53$.
2.「2025四川乐山中考」已知$a-b=3$，$ab=10$，则$a^2+b^2$=
29
答案
答案 29
解析 $\because a-b=3$,$\therefore (a-b)^2=a^2-2ab+b^2=9$,
$\because ab=10$,$\therefore a^2+b^2=(a-b)^2+2ab=9+20=29$.
解析 $\because a-b=3$,$\therefore (a-b)^2=a^2-2ab+b^2=9$,
$\because ab=10$,$\therefore a^2+b^2=(a-b)^2+2ab=9+20=29$.
3.「2026北京海淀期中」已知$x+y=5$，$x^2+y^2=13$，则$(x-y)^2=$
1
。答案
答案 1
解析 $\because (x+y)^2=x^2+y^2+2xy$,$x+y=5$,$x^2+y^2=13$,
$\therefore 25=13+2xy$,解得$xy=6$,
$\therefore (x-y)^2=x^2+y^2-2xy=13-2×6=13-12=1$.
解析 $\because (x+y)^2=x^2+y^2+2xy$,$x+y=5$,$x^2+y^2=13$,
$\therefore 25=13+2xy$,解得$xy=6$,
$\therefore (x-y)^2=x^2+y^2-2xy=13-2×6=13-12=1$.
4.已知$(x+y)^2=10$，$(x-$
$)^2=2$，则$x^2 - xy + y^2$的值为
$)^2=2$，则$x^2 - xy + y^2$的值为4
。答案
答案 4
解析 $\because (x+y)^2=10$,$(x-y)^2=2$,
$\therefore x^2+2xy+y^2=10$①,$x^2-2xy+y^2=2$②,
①-②得$4xy=8$,$\therefore xy=2$,
①+②得$2x^2+2y^2=12$,$\therefore x^2+y^2=6$.
$\therefore x^2-xy+y^2=6-2=4$.故答案为 4.
解析 $\because (x+y)^2=10$,$(x-y)^2=2$,
$\therefore x^2+2xy+y^2=10$①,$x^2-2xy+y^2=2$②,
①-②得$4xy=8$,$\therefore xy=2$,
①+②得$2x^2+2y^2=12$,$\therefore x^2+y^2=6$.
$\therefore x^2-xy+y^2=6-2=4$.故答案为 4.
