1.如图,点A,B,C,D在$\odot O$上,若$∠ BAD=45°$,则$∠ BCD$的度数为 （）

A.$45°$
B.$90°$
C.$135°$
D.$145°$

1.C

【分析】
首先观察图形可知四边形ABCD的四个顶点都在⊙O上，属于圆内接四边形，回忆圆内接四边形的核心性质：对角互补。已知∠BAD=45°，且∠BAD和∠BCD是圆内接四边形的一组对角，因此只需用180°减去∠BAD的度数，就能求出∠BCD的大小。
【解析】
解：
∵点A、B、C、D均在⊙O上，
∴四边形ABCD是圆内接四边形，
根据圆内接四边形对角互补的性质可得：
$∠ BAD + ∠ BCD = 180°$，
又
∵$∠ BAD=45°$，
∴$∠ BCD=180° - 45° = 135°$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
圆内接四边形的性质
【点评】
本题属于基础性质应用题，考查对圆内接四边形性质的掌握情况，解题时直接套用性质计算即可，计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.8

2.如图,四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形,
E是BC延长线上一点.若$∠BAD=114°,$
则$∠DCE$的度数为 （）

A.$124°$
B.$114°$
C.$94°$
D.$66°$

2.B

【分析】
本题考查圆内接四边形性质的应用，解题思路如下：首先观察图形，四边形ABCD是圆内接四边形，∠DCE是四边形ABCD的外角，解题有两种思路：①利用圆内接四边形对角互补，先求出与∠BAD互补的∠BCD的度数，再根据∠DCE与∠BCD是邻补角，即可求出∠DCE的度数；②直接利用圆内接四边形的外角等于它的内对角的性质，直接得出∠DCE和∠BAD相等，快速得到结果。
【解析】
方法一：
∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形
∴ ∠BAD + ∠BCD = 180°（圆内接四边形的对角互补）
∵ ∠BAD = 114°
∴ ∠BCD = 180° - 114° = 66°
又
∵ 点E在BC的延长线上，∠DCE + ∠BCD = 180°（平角的定义）
∴ ∠DCE = 180° - 66° = 114°
方法二：
∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠DCE是四边形ABCD的外角
∴ ∠DCE = ∠BAD（圆内接四边形的外角等于它的内对角）
∵ ∠BAD = 114°
∴ ∠DCE = 114°
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
圆内接四边形的性质；同角的补角相等
【点评】
本题属于基础题型，重点考查圆内接四边形性质的应用，熟练掌握圆内接四边形的对角互补、外角等于内对角这两个性质，就能快速准确解题。
【难度系数】
0.8

3. 如图，四边形ABCD内接于$\odot O$，过点B作$BE// AD$，交CD于点E。若$∠ BEC=50°$，则$∠ ABC$的度数为（）

A.$150°$
B.$130°$
C.$120°$
D.$100°$

3.B

【分析】
解题时先从已知条件$BE// AD$入手，根据平行线的同位角相等性质，可求出$∠ D$的度数；再结合四边形$ABCD$是圆内接四边形的性质，利用圆内接四边形对角互补，即可计算出$∠ ABC$的度数。
【解析】
解：$\because BE// AD$，
$\therefore ∠ D = ∠ BEC = 50°$（两直线平行，同位角相等），
$\because$四边形$ABCD$内接于$\odot O$，
$\therefore ∠ ABC + ∠ D = 180°$（圆内接四边形的对角互补），
$\therefore ∠ ABC = 180° - 50° = 130°$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质；圆内接四边形的性质
【点评】
本题是基础几何题，将平行线性质与圆内接四边形性质结合考查，解题的关键是通过平行线的性质过渡得到$∠ D$的度数，再结合圆内接四边形性质求解，解题思路直接，计算量小。
【难度系数】
0.8

4. 在圆内接四边形ABCD中,∠A,∠B,∠C的度数之比为2:4:7,则∠D的度数为（）

A.$140°$
B.$100°$
C.$80°$
D.$40°$

4.B

【分析】
解题时首先回忆圆内接四边形的核心性质：对角互补。已知∠A、∠B、∠C的度数比，我们可以先设每一份角度为x，将三个角用含x的式子表示；再利用∠A和∠C是对角、和为180°的关系求出x的值；接着算出∠B的度数，最后根据∠B和∠D是对角、和为180°即可求出∠D的度数。
【解析】
解：设∠A、∠B、∠C的度数分别为$2x$、$4x$、$7x$。
∵ 四边形ABCD是圆内接四边形，
∴ 圆内接四边形对角互补，即$∠ A + ∠ C = 180°$，
代入得：$2x + 7x = 180°$，
解得：$x = 20°$，
∴ $∠ B = 4x = 4×20° = 80°$，
又
∵ $∠ B + ∠ D = 180°$（圆内接四边形对角互补），
∴ $∠ D = 180° - 80° = 100°$。
【答案】
B
【知识点】
圆内接四边形对角互补；比例的应用
【点评】
本题属于基础题，核心考查圆内接四边形的性质，解题的关键是找准对角的互补关系，结合比例参数计算即可，熟练掌握性质后可快速求解。
【难度系数】
0.8

5.如图，四边形ABCD内接于$\odot O$，AB是$\odot O$的直径，若$BC=OB$，则$∠ ADC$的度数为（）

A.$100°$
B.$150°$
C.$130°$
D.$120°$

5.D

【分析】
要求∠ADC的度数，首先回忆圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补，因此∠ADC与∠ABC互补，只需先求出∠ABC的度数即可。已知BC=OB，而OB、OC均为⊙O的半径，长度相等，因此可通过连接OC构造△OBC，证明其为等边三角形，从而得到∠ABC的度数，最后代入互补关系计算∠ADC即可。
【解析】
解：连接OC。
∵ OB、OC都是⊙O的半径，
∴ OB=OC，
又
∵ BC=OB，
∴ OB=OC=BC，即△OBC是等边三角形，
∴ ∠ABC=60°。
∵ 四边形ABCD内接于⊙O，
∴ ∠ADC + ∠ABC = 180°（圆内接四边形对角互补），
∴ ∠ADC = 180° - 60° = 120°。
【答案】
D
【知识点】
圆内接四边形的性质；等边三角形的判定与性质；圆的基本性质
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题，解题的关键是合理添加辅助线构造等边三角形，结合圆内接四边形的对角互补性质求解，解题思路清晰，属于常考基础题型。
【难度系数】
0.7

6.(甘肃中考)如图,四边形ABCD内接于$\odot O$,$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$,连接BD,若$∠ ABC=70°$,则$∠ BDC$的度数为 ()

A.$20°$
B.$35°$
C.$55°$
D.$70°$

6.C

【分析】
解题时先从已知条件入手，首先看到四边形是圆内接四边形，优先想到圆内接四边形对角互补的性质，可先求出∠ADC的度数；再结合$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$的条件，根据等弧所对的圆周角相等，可得BD是∠ADC的角平分线，因此∠BDC为∠ADC的一半，代入计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵四边形ABCD内接于$\odot O$
∴∠ABC + ∠ADC = 180°（圆内接四边形的对角互补）
∵∠ABC=70°
∴∠ADC=180°-70°=110°
∵$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$
∴∠ADB=∠BDC（等弧所对的圆周角相等）
又
∵∠ADC=∠ADB + ∠BDC=2∠BDC
∴∠BDC=$\frac{1}{2}$∠ADC=$\frac{1}{2}$×110°=55°
【答案】
C
【知识点】
圆内接四边形性质，等弧对等圆周角
【点评】
本题是圆的基础题型，解题核心是熟练掌握圆内接四边形的性质和圆周角与弧的对应关系，通过角的和差关系即可求出结果，是圆章节的高频考点题型。
【难度系数】
0.7

7.如图，四边形ABCD为$\odot O$的内接四边形，若$∠ C=∠ D$，则AB与CD的位置关系是。

7.AB//CD

【分析】
要判断AB与CD的位置关系，可通过角的关系判定是否平行。首先回忆圆内接四边形的性质：对角互补，结合已知∠C=∠D，可推出AB、CD被AD所截形成的同旁内角互补，进而得到两直线平行。具体思考步骤：第一步，由圆内接四边形性质得∠A与∠C互补；第二步，利用∠C=∠D等量代换，得∠A与∠D互补；第三步，根据同旁内角互补判定两直线平行。
【解析】
∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴ ∠A + ∠C = 180°（圆内接四边形的对角互补），
又
∵ ∠C = ∠D（已知），
∴ ∠A + ∠D = 180°（等量代换），
∴ AB//CD（同旁内角互补，两直线平行）。
【答案】
AB//CD
【知识点】
圆内接四边形的性质；平行线的判定
【点评】
本题是基础类题目，主要考查圆内接四边形性质与平行线判定的结合应用，解题的关键是熟练掌握相关性质定理，通过角的等量代换得到判定平行所需的角的关系。
【难度系数】
0.8

8.（盐城中考）如图，四边形ABCD内接于$\odot O$，$∠ A=110°$，连接$OB,OD$，则$∠ BOD=$°。 第8题图 第9题图

8.140

【分析】
解题首先回忆圆内接四边形的性质，已知圆内接四边形的一个内角，可利用对角互补求出其对角的度数；再结合圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，即可求出∠BOD的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD内接于$\odot O$，
∴$∠ A + ∠ C = 180°$（圆内接四边形对角互补），
∵$∠ A = 110°$，
∴$∠ C = 180° - 110° = 70°$，
∵$∠ BOD$是弧$BD$所对的圆心角，$∠ C$是弧$BD$所对的圆周角，
∴$∠ BOD = 2∠ C = 2×70° = 140°$。
【答案】
140
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理
【点评】
本题属于圆性质的基础应用题型，解题的关键是熟练掌握圆内接四边形对角互补、同弧所对圆心角是圆周角2倍的性质，计算难度较低。
【难度系数】
0.8

9.如图,四边形ABCD内接于$\odot O$,AB为$\odot O$的直径,连接AC.若$∠ADC=115°$,则$∠BAC$的度数为.

9.25°

【分析】
解题时先观察题干条件：首先出现圆内接四边形，优先调用圆内接四边形对角互补的性质，由已知的∠ADC的度数求出其对角∠ABC的度数；接着看到AB是圆的直径，根据圆周角定理的推论，直径所对的圆周角是直角，得到∠ACB=90°；最后在直角三角形ABC中，利用直角三角形两锐角互余的性质，即可求出∠BAC的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD内接于$\odot O$
∴$∠ ADC + ∠ ABC = 180°$（圆内接四边形对角互补）
∵$∠ ADC=115°$
∴$∠ ABC=180° - 115° = 65°$
∵AB为$\odot O$的直径
∴$∠ ACB=90°$（直径所对的圆周角是直角）
在$Rt△ ABC$中，$∠ BAC + ∠ ABC = 90°$
∴$∠ BAC=90° - 65° = 25°$
【答案】
$25°$
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理推论；直角三角形的性质
【点评】
本题是圆性质的基础综合题，核心是结合已知条件调用对应的角度性质，逐步推导所求角的度数，解题时需注意各性质的适用条件，理清角度间的数量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7

10.如图, 四边形ABCD内接于$\odot O, DB=DC$, 连接AC,BD,延长BA至点E,求证:AD平分$∠ CAE$.

10.证明:
∵∠DCB+∠DAB=180°,∠DAE+∠DAB=180°,
∴∠DCB=∠DAE.
∵DC=DB,
∴∠DCB=∠DBC.
∴∠DBC=∠DAE.
∵∠DBC=∠DAC,
∴∠DAC=∠DAE,
即AD平分∠CAE.

【分析】
要证明AD平分∠CAE，核心是证明∠DAE=∠DAC。首先结合圆内接四边形的对角互补性质，利用同角的补角相等可推出∠DAE=∠DCB；再根据DB=DC的等腰三角形性质，得到∠DCB=∠DBC，由此得到∠DAE=∠DBC；最后利用同弧所对的圆周角相等，得到∠DBC=∠DAC，通过等量代换即可得到∠DAE=∠DAC，完成证明。
【解析】
证明：
∵ 四边形ABCD内接于$\odot O$，
∴$∠ DCB+∠ DAB=180°$，
又
∵$∠ DAE+∠ DAB=180°$（平角的定义），
∴$∠ DCB=∠ DAE$。
∵$DC=DB$，
∴$∠ DCB=∠ DBC$，
∴$∠ DBC=∠ DAE$。
∵$∠ DBC$和$∠ DAC$都是弧$DC$所对的圆周角，
∴$∠ DBC=∠ DAC$，
∴$∠ DAC=∠ DAE$，
即$AD$平分$∠ CAE$。
【答案】
$AD$平分$∠ CAE$
【知识点】
圆内接四边形的性质；等腰三角形的性质；圆周角定理
【点评】
本题属于圆性质的基础应用题型，解题关键是理清角之间的等量关系，通过多次代换得到待证的等角关系，是巩固几何推导逻辑、掌握圆基础性质的典型习题。
【难度系数】
0.7