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1 化简$\sqrt{\frac{7}{9}}$的结果是 （
A.$\frac{\sqrt{7}}{3}$
B.$\frac{7}{3}$
C.$\frac{7}{9}$
D.$\frac{\sqrt{7}}{9}$
A
）A.$\frac{\sqrt{7}}{3}$
B.$\frac{7}{3}$
C.$\frac{7}{9}$
D.$\frac{\sqrt{7}}{9}$
答案
1. A
解析
【分析】
本题考查二次根式的化简，解题思路如下：首先回忆二次根式商的算术平方根性质：对于非负数a和正数b，有$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$。我们可以利用这个性质把被开方数的分子、分母分别开平方，再化简分母的算术平方根，最终得到最简二次根式的结果，再对应选项选择即可。
【解析】
根据二次根式的性质：$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$（$a≥0$，$b＞0$），可得：
$\sqrt{\frac{7}{9}}=\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{9}}$
又因为$\sqrt{9}=3$，代入上式得：
$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{9}}=\frac{\sqrt{7}}{3}$
因此化简结果为$\frac{\sqrt{7}}{3}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次根式的性质，最简二次根式
【点评】
本题属于基础题型，重点考查二次根式的基本化简运算，熟练掌握商的算术平方根的运算规则是解题的关键，化简时需注意最终结果要符合最简二次根式的要求。
【难度系数】
0.9
本题考查二次根式的化简，解题思路如下：首先回忆二次根式商的算术平方根性质：对于非负数a和正数b，有$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$。我们可以利用这个性质把被开方数的分子、分母分别开平方，再化简分母的算术平方根，最终得到最简二次根式的结果，再对应选项选择即可。
【解析】
根据二次根式的性质：$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$（$a≥0$，$b＞0$），可得：
$\sqrt{\frac{7}{9}}=\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{9}}$
又因为$\sqrt{9}=3$，代入上式得：
$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{9}}=\frac{\sqrt{7}}{3}$
因此化简结果为$\frac{\sqrt{7}}{3}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次根式的性质，最简二次根式
【点评】
本题属于基础题型，重点考查二次根式的基本化简运算，熟练掌握商的算术平方根的运算规则是解题的关键，化简时需注意最终结果要符合最简二次根式的要求。
【难度系数】
0.9
2 化简：
(1) $\sqrt{9 × 25} =$
(2) $\sqrt{\dfrac{5}{64}} = \dfrac{\sqrt{(\quad)}}{\sqrt{(\quad)}} =$
(1) $\sqrt{9 × 25} =$
$\sqrt{9}$
$×$ $\sqrt{25}$
$=$ 3
$×$ 5
$=$ 15
；(2) $\sqrt{\dfrac{5}{64}} = \dfrac{\sqrt{(\quad)}}{\sqrt{(\quad)}} =$
$\dfrac{\sqrt{5}}{8}$
。答案
(1) $\sqrt{9}$ $\sqrt{25}$ 3 5 15
(2) 5 64 $\dfrac{\sqrt{5}}{8}$
(2) 5 64 $\dfrac{\sqrt{5}}{8}$
解析
【分析】
这两道题是二次根式的基础化简题，解题时需运用二次根式的两个核心运算性质：①积的算术平方根等于各因式算术平方根的积（前提是各因式均为非负数）；②商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根（前提是被除式非负，除式为正）。先根据式子是乘积或商的形式，对应选择性质拆分根号，再分别计算各部分的算术平方根，最后合并得到结果即可。
【解析】
(1) 根据积的算术平方根性质$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}\ (a≥0,b≥0)$，可得$\sqrt{9×25}=\sqrt{9}×\sqrt{25}$；
其中9的算术平方根$\sqrt{9}=3$，25的算术平方根$\sqrt{25}=5$，代入得$3×5$；
计算乘积可得$3×5=15$。
(2) 根据商的算术平方根性质$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\ (a≥0,b＞0)$，可得$\sqrt{\frac{5}{64}}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{64}}$；
64的算术平方根$\sqrt{64}=8$，因此最终结果为$\frac{\sqrt{5}}{8}$。
【答案】
(1) $\sqrt{9}$ $\sqrt{25}$ 3 5 15
(2) 5 64 $\dfrac{\sqrt{5}}{8}$
【知识点】
积的算术平方根性质；商的算术平方根性质
【点评】
本题属于二次根式化简的入门题型，核心考查二次根式的基本运算性质，熟练掌握性质、注意算术平方根的非负性即可快速准确作答。
【难度系数】
0.9
这两道题是二次根式的基础化简题，解题时需运用二次根式的两个核心运算性质：①积的算术平方根等于各因式算术平方根的积（前提是各因式均为非负数）；②商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根（前提是被除式非负，除式为正）。先根据式子是乘积或商的形式，对应选择性质拆分根号，再分别计算各部分的算术平方根，最后合并得到结果即可。
【解析】
(1) 根据积的算术平方根性质$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}\ (a≥0,b≥0)$，可得$\sqrt{9×25}=\sqrt{9}×\sqrt{25}$；
其中9的算术平方根$\sqrt{9}=3$，25的算术平方根$\sqrt{25}=5$，代入得$3×5$；
计算乘积可得$3×5=15$。
(2) 根据商的算术平方根性质$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\ (a≥0,b＞0)$，可得$\sqrt{\frac{5}{64}}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{64}}$；
64的算术平方根$\sqrt{64}=8$，因此最终结果为$\frac{\sqrt{5}}{8}$。
【答案】
(1) $\sqrt{9}$ $\sqrt{25}$ 3 5 15
(2) 5 64 $\dfrac{\sqrt{5}}{8}$
【知识点】
积的算术平方根性质；商的算术平方根性质
【点评】
本题属于二次根式化简的入门题型，核心考查二次根式的基本运算性质，熟练掌握性质、注意算术平方根的非负性即可快速准确作答。
【难度系数】
0.9
3 教材P43例3变式 化简：
(1) $\sqrt{4×225}$；
(2) $\sqrt{(-64)×(-81)}$。
(1) $\sqrt{4×225}$；
(2) $\sqrt{(-64)×(-81)}$。
答案
(1) 30
(2) 72
(2) 72
解析
【分析】
解题时要利用二次根式中积的算术平方根的性质：$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$（$a≥0$，$b≥0$），注意被开方数必须是非负数。
对于(1)，被开方数是两个正数的乘积，直接拆分两个因数分别开方再相乘即可；
对于(2)，被开方数是两个负数的乘积，先根据“负负得正”将被开方数转化为两个正数的乘积，再利用上述性质拆分计算。
【解析】
(1) 根据积的算术平方根的性质计算：
$\sqrt{4×225}=\sqrt{4}×\sqrt{225}=2×15=30$
(2) 先确定被开方数的符号，再拆分计算：
$\sqrt{(-64)×(-81)}=\sqrt{64×81}=\sqrt{64}×\sqrt{81}=8×9=72$
【答案】
(1) 30；(2) 72
【知识点】
1. 积的算术平方根性质
2. 二次根式化简
3. 有理数乘法法则
【点评】
本题是二次根式化简的基础题型，解题关键是牢记二次根式的被开方数必须为非负数，切不可直接拆分含负数的被开方数，先将被开方数转化为非负因数的乘积，再拆分开方计算即可。
【难度系数】
0.8
解题时要利用二次根式中积的算术平方根的性质：$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$（$a≥0$，$b≥0$），注意被开方数必须是非负数。
对于(1)，被开方数是两个正数的乘积，直接拆分两个因数分别开方再相乘即可；
对于(2)，被开方数是两个负数的乘积，先根据“负负得正”将被开方数转化为两个正数的乘积，再利用上述性质拆分计算。
【解析】
(1) 根据积的算术平方根的性质计算：
$\sqrt{4×225}=\sqrt{4}×\sqrt{225}=2×15=30$
(2) 先确定被开方数的符号，再拆分计算：
$\sqrt{(-64)×(-81)}=\sqrt{64×81}=\sqrt{64}×\sqrt{81}=8×9=72$
【答案】
(1) 30；(2) 72
【知识点】
1. 积的算术平方根性质
2. 二次根式化简
3. 有理数乘法法则
【点评】
本题是二次根式化简的基础题型，解题关键是牢记二次根式的被开方数必须为非负数，切不可直接拆分含负数的被开方数，先将被开方数转化为非负因数的乘积，再拆分开方计算即可。
【难度系数】
0.8
4 下列式子中,属于最简二次根式的是 (
A.$\sqrt{\dfrac{1}{3}}$
B.$\sqrt{7}$
C.$\sqrt{9}$
D.$\sqrt{20}$
B
)A.$\sqrt{\dfrac{1}{3}}$
B.$\sqrt{7}$
C.$\sqrt{9}$
D.$\sqrt{20}$
答案
4. B
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确最简二次根式的两个判定标准：①被开方数不含分母，因数均为整数；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。解题时只需对照这两个标准，逐一判断每个选项是否符合要求即可。
【解析】
根据最简二次根式的定义逐一分析选项：
1. 选项A：$\sqrt{\dfrac{1}{3}}$的被开方数含有分母，不符合最简二次根式要求，化简后为$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，不是最简二次根式；
2. 选项B：$\sqrt{7}$的被开方数7是整数，且不存在能开得尽方的因数，符合最简二次根式的条件，是最简二次根式；
3. 选项C：$\sqrt{9}$的被开方数9是$3^2$，能开得尽方，化简结果为3，不是最简二次根式；
4. 选项D：$\sqrt{20}$的被开方数$20=4×5$，其中4是能开得尽方的因数，化简后为$2\sqrt{5}$，不是最简二次根式。
综上，符合要求的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
最简二次根式的判定、二次根式的化简
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对最简二次根式定义的理解，只要牢记两个判定条件就能快速选出正确答案。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先要明确最简二次根式的两个判定标准：①被开方数不含分母，因数均为整数；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。解题时只需对照这两个标准，逐一判断每个选项是否符合要求即可。
【解析】
根据最简二次根式的定义逐一分析选项：
1. 选项A：$\sqrt{\dfrac{1}{3}}$的被开方数含有分母，不符合最简二次根式要求，化简后为$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，不是最简二次根式；
2. 选项B：$\sqrt{7}$的被开方数7是整数，且不存在能开得尽方的因数，符合最简二次根式的条件，是最简二次根式；
3. 选项C：$\sqrt{9}$的被开方数9是$3^2$，能开得尽方，化简结果为3，不是最简二次根式；
4. 选项D：$\sqrt{20}$的被开方数$20=4×5$，其中4是能开得尽方的因数，化简后为$2\sqrt{5}$，不是最简二次根式。
综上，符合要求的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
最简二次根式的判定、二次根式的化简
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对最简二次根式定义的理解，只要牢记两个判定条件就能快速选出正确答案。
【难度系数】
0.9
5 下列各式化成最简二次根式正确的是（
A.$\sqrt{\dfrac{24}{49}}=\dfrac{\sqrt{24}}{7}$
B.$\sqrt{3}÷\sqrt{5}=5\sqrt{15}$
C.$\sqrt{\dfrac{4}{7}}=\dfrac{2}{\sqrt{7}}$
D.$\sqrt{0.3}=\dfrac{\sqrt{30}}{10}$
D
）A.$\sqrt{\dfrac{24}{49}}=\dfrac{\sqrt{24}}{7}$
B.$\sqrt{3}÷\sqrt{5}=5\sqrt{15}$
C.$\sqrt{\dfrac{4}{7}}=\dfrac{2}{\sqrt{7}}$
D.$\sqrt{0.3}=\dfrac{\sqrt{30}}{10}$
答案
5. D
解析
【分析】
本题考查最简二次根式的判断，解题思路为：首先明确最简二次根式需满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式。接下来结合二次根式的除法法则、分母有理化的规则，逐个分析每个选项的化简结果是否符合要求即可。
【解析】
我们逐个判断选项：
A选项：$\sqrt{\dfrac{24}{49}}=\dfrac{\sqrt{24}}{\sqrt{49}}=\dfrac{\sqrt{4×6}}{7}=\dfrac{2\sqrt{6}}{7}$，选项中$\sqrt{24}$还可以继续化简，不符合最简二次根式要求，错误；
B选项：$\sqrt{3}÷\sqrt{5}=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{3}×\sqrt{5}}{\sqrt{5}×\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{15}}{5}$，选项化简结果错误；
C选项：$\sqrt{\dfrac{4}{7}}=\dfrac{2}{\sqrt{7}}=\dfrac{2\sqrt{7}}{7}$，选项中分母含根号，不符合最简二次根式要求，错误；
D选项：$\sqrt{0.3}=\sqrt{\dfrac{3}{10}}=\sqrt{\dfrac{3×10}{10×10}}=\dfrac{\sqrt{30}}{\sqrt{100}}=\dfrac{\sqrt{30}}{10}$，符合最简二次根式要求，正确。
【答案】
D
【知识点】
最简二次根式的判定；二次根式的除法；分母有理化
【点评】
本题属于二次根式化简的基础题型，核心是牢记最简二次根式的两个判定标准，化简时要注意既要去掉被开方数的分母，也要把被开方数中能开尽方的因数全部开出来，避免出现化简不彻底、计算错误的问题。
【难度系数】
0.8
本题考查最简二次根式的判断，解题思路为：首先明确最简二次根式需满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式。接下来结合二次根式的除法法则、分母有理化的规则，逐个分析每个选项的化简结果是否符合要求即可。
【解析】
我们逐个判断选项：
A选项：$\sqrt{\dfrac{24}{49}}=\dfrac{\sqrt{24}}{\sqrt{49}}=\dfrac{\sqrt{4×6}}{7}=\dfrac{2\sqrt{6}}{7}$，选项中$\sqrt{24}$还可以继续化简，不符合最简二次根式要求，错误；
B选项：$\sqrt{3}÷\sqrt{5}=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{3}×\sqrt{5}}{\sqrt{5}×\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{15}}{5}$，选项化简结果错误；
C选项：$\sqrt{\dfrac{4}{7}}=\dfrac{2}{\sqrt{7}}=\dfrac{2\sqrt{7}}{7}$，选项中分母含根号，不符合最简二次根式要求，错误；
D选项：$\sqrt{0.3}=\sqrt{\dfrac{3}{10}}=\sqrt{\dfrac{3×10}{10×10}}=\dfrac{\sqrt{30}}{\sqrt{100}}=\dfrac{\sqrt{30}}{10}$，符合最简二次根式要求，正确。
【答案】
D
【知识点】
最简二次根式的判定；二次根式的除法；分母有理化
【点评】
本题属于二次根式化简的基础题型，核心是牢记最简二次根式的两个判定标准，化简时要注意既要去掉被开方数的分母，也要把被开方数中能开尽方的因数全部开出来，避免出现化简不彻底、计算错误的问题。
【难度系数】
0.8
6 若最简二次根式$\sqrt[a+1]{2a+5}$与$\sqrt{4a+3b}$相等，则$a=$
1
，$b=$1
。答案
a=1，b=1
解析
【分析】
要解这道题，首先明确两个最简二次根式相等的必备条件：一是根指数相同（二次根式的根指数为2），二是被开方数相等。我们可以先根据根指数的要求列方程求出a的值，再将a的值代入被开方数相等的关系式中，求出b的值即可。
【解析】
解：
∵ 两个式子都是最简二次根式且相等
∴ 二次根式的根指数为2，可得方程：
$a+1=2$
解得：$a=1$
将$a=1$代入$\sqrt{2a+5}$，得被开方数为$2×1+5=7$
∵ 两个相等的最简二次根式被开方数相等
∴ $4a+3b=7$
把$a=1$代入上式：
$4×1 + 3b =7$
$3b=3$
解得：$b=1$
【答案】
$a=1$，$b=1$
【知识点】
1. 二次根式的定义
2. 最简二次根式的性质
3. 一元一次方程的解法
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是掌握相等的两个最简二次根式需满足根指数相同、被开方数相等的性质，结合方程思想就能快速求解，是二次根式章节的常考基础题。
【难度系数】
0.8
要解这道题，首先明确两个最简二次根式相等的必备条件：一是根指数相同（二次根式的根指数为2），二是被开方数相等。我们可以先根据根指数的要求列方程求出a的值，再将a的值代入被开方数相等的关系式中，求出b的值即可。
【解析】
解：
∵ 两个式子都是最简二次根式且相等
∴ 二次根式的根指数为2，可得方程：
$a+1=2$
解得：$a=1$
将$a=1$代入$\sqrt{2a+5}$，得被开方数为$2×1+5=7$
∵ 两个相等的最简二次根式被开方数相等
∴ $4a+3b=7$
把$a=1$代入上式：
$4×1 + 3b =7$
$3b=3$
解得：$b=1$
【答案】
$a=1$，$b=1$
【知识点】
1. 二次根式的定义
2. 最简二次根式的性质
3. 一元一次方程的解法
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是掌握相等的两个最简二次根式需满足根指数相同、被开方数相等的性质，结合方程思想就能快速求解，是二次根式章节的常考基础题。
【难度系数】
0.8
7 化简：
(1) $\sqrt{12}$；
(2) $\sqrt{0.7}$；
(3) $\sqrt{\dfrac{1}{18}}$；
(4) $-\sqrt{6\dfrac{2}{3}}$。
(1) $\sqrt{12}$；
(2) $\sqrt{0.7}$；
(3) $\sqrt{\dfrac{1}{18}}$；
(4) $-\sqrt{6\dfrac{2}{3}}$。
答案
(1) $2\sqrt{3}$
(2) $\dfrac{\sqrt{70}}{10}$
(3) $\dfrac{\sqrt{2}}{6}$
(4) $-\dfrac{2\sqrt{15}}{3}$
(2) $\dfrac{\sqrt{70}}{10}$
(3) $\dfrac{\sqrt{2}}{6}$
(4) $-\dfrac{2\sqrt{15}}{3}$
解析
【分析】
本题是二次根式的化简题，核心是将各式化为最简二次根式，需遵循两个规则：一是被开方数不含能开得尽方的因数或因式，二是被开方数不含分母。解题思路如下：
1. 对于整数被开方数：先拆成完全平方数和剩余因数的乘积，再利用二次根式性质将完全平方数开方移出根号；
2. 对于小数、分数、带分数被开方数：先统一化为最简分数形式，再给分子分母同乘一个合适的数，将分母变为完全平方数，最后分别开方分子分母，完成分母有理化，注意保留原式的符号。
【解析】
(1) $\sqrt{12}$
$=\sqrt{4×3}$
$=\sqrt{4}×\sqrt{3}$
$=2\sqrt{3}$
(2) $\sqrt{0.7}$
$=\sqrt{\dfrac{7}{10}}$
$=\sqrt{\dfrac{7×10}{10×10}}$
$=\dfrac{\sqrt{70}}{\sqrt{100}}$
$=\dfrac{\sqrt{70}}{10}$
(3) $\sqrt{\dfrac{1}{18}}$
$=\sqrt{\dfrac{1×2}{18×2}}$
$=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{36}}$
$=\dfrac{\sqrt{2}}{6}$
(4) $-\sqrt{6\dfrac{2}{3}}$
$=-\sqrt{\dfrac{20}{3}}$
$=-\sqrt{\dfrac{20×3}{3×3}}$
$=-\dfrac{\sqrt{60}}{\sqrt{9}}$
$=-\dfrac{\sqrt{4×15}}{3}$
$=-\dfrac{2\sqrt{15}}{3}$
【答案】
(1) $2\sqrt{3}$；(2) $\dfrac{\sqrt{70}}{10}$；(3) $\dfrac{\sqrt{2}}{6}$；(4) $-\dfrac{2\sqrt{15}}{3}$
【知识点】
二次根式化简、分母有理化、二次根式的性质
【点评】
本题是二次根式化简的基础常规题，重点考查最简二次根式的化简方法，需要注意被开方数为小数、带分数时要先转化为分数形式再化简，计算时不要遗漏原式的符号，掌握该类题型是后续学习二次根式加减、乘除运算的基础。
【难度系数】
0.8
本题是二次根式的化简题，核心是将各式化为最简二次根式，需遵循两个规则：一是被开方数不含能开得尽方的因数或因式，二是被开方数不含分母。解题思路如下：
1. 对于整数被开方数：先拆成完全平方数和剩余因数的乘积，再利用二次根式性质将完全平方数开方移出根号；
2. 对于小数、分数、带分数被开方数：先统一化为最简分数形式，再给分子分母同乘一个合适的数，将分母变为完全平方数，最后分别开方分子分母，完成分母有理化，注意保留原式的符号。
【解析】
(1) $\sqrt{12}$
$=\sqrt{4×3}$
$=\sqrt{4}×\sqrt{3}$
$=2\sqrt{3}$
(2) $\sqrt{0.7}$
$=\sqrt{\dfrac{7}{10}}$
$=\sqrt{\dfrac{7×10}{10×10}}$
$=\dfrac{\sqrt{70}}{\sqrt{100}}$
$=\dfrac{\sqrt{70}}{10}$
(3) $\sqrt{\dfrac{1}{18}}$
$=\sqrt{\dfrac{1×2}{18×2}}$
$=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{36}}$
$=\dfrac{\sqrt{2}}{6}$
(4) $-\sqrt{6\dfrac{2}{3}}$
$=-\sqrt{\dfrac{20}{3}}$
$=-\sqrt{\dfrac{20×3}{3×3}}$
$=-\dfrac{\sqrt{60}}{\sqrt{9}}$
$=-\dfrac{\sqrt{4×15}}{3}$
$=-\dfrac{2\sqrt{15}}{3}$
【答案】
(1) $2\sqrt{3}$；(2) $\dfrac{\sqrt{70}}{10}$；(3) $\dfrac{\sqrt{2}}{6}$；(4) $-\dfrac{2\sqrt{15}}{3}$
【知识点】
二次根式化简、分母有理化、二次根式的性质
【点评】
本题是二次根式化简的基础常规题，重点考查最简二次根式的化简方法，需要注意被开方数为小数、带分数时要先转化为分数形式再化简，计算时不要遗漏原式的符号，掌握该类题型是后续学习二次根式加减、乘除运算的基础。
【难度系数】
0.8
8 下列二次根式中,能与$\sqrt{5}$合并的是 （
A.$\sqrt{18}$
B.$\sqrt{\dfrac{5}{2}}$
C.$\sqrt{80}$
D.$\sqrt{0.5}$
C
）A.$\sqrt{18}$
B.$\sqrt{\dfrac{5}{2}}$
C.$\sqrt{80}$
D.$\sqrt{0.5}$
答案
8. C
解析
【分析】
要判断哪个二次根式能和$\sqrt{5}$合并，首先要明确：只有同类二次根式才能合并，同类二次根式是指化简为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式。解题思路为：先将每个选项的二次根式化简为最简二次根式，再判断化简后的被开方数是否为5，符合要求的即为正确选项。
【解析】
逐一化简各选项的二次根式：
A. $\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$，被开方数为2，和$\sqrt{5}$的被开方数不同，不能合并；
B. $\sqrt{\dfrac{5}{2}}=\sqrt{\dfrac{5×2}{2×2}}=\dfrac{\sqrt{10}}{2}$，被开方数为10，和$\sqrt{5}$的被开方数不同，不能合并；
C. $\sqrt{80}=\sqrt{16×5}=4\sqrt{5}$，被开方数为5，和$\sqrt{5}$是同类二次根式，可以合并；
D. $\sqrt{0.5}=\sqrt{\dfrac{1}{2}}=\sqrt{\dfrac{2}{4}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，被开方数为2，和$\sqrt{5}$的被开方数不同，不能合并。
综上，符合要求的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
同类二次根式判定，二次根式化简
【点评】
本题属于基础概念类考题，解题核心是掌握同类二次根式的判定规则，注意必须先将二次根式化为最简形式，再判断被开方数是否一致。
【难度系数】
0.8
要判断哪个二次根式能和$\sqrt{5}$合并，首先要明确：只有同类二次根式才能合并，同类二次根式是指化简为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式。解题思路为：先将每个选项的二次根式化简为最简二次根式，再判断化简后的被开方数是否为5，符合要求的即为正确选项。
【解析】
逐一化简各选项的二次根式：
A. $\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$，被开方数为2，和$\sqrt{5}$的被开方数不同，不能合并；
B. $\sqrt{\dfrac{5}{2}}=\sqrt{\dfrac{5×2}{2×2}}=\dfrac{\sqrt{10}}{2}$，被开方数为10，和$\sqrt{5}$的被开方数不同，不能合并；
C. $\sqrt{80}=\sqrt{16×5}=4\sqrt{5}$，被开方数为5，和$\sqrt{5}$是同类二次根式，可以合并；
D. $\sqrt{0.5}=\sqrt{\dfrac{1}{2}}=\sqrt{\dfrac{2}{4}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，被开方数为2，和$\sqrt{5}$的被开方数不同，不能合并。
综上，符合要求的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
同类二次根式判定，二次根式化简
【点评】
本题属于基础概念类考题，解题核心是掌握同类二次根式的判定规则，注意必须先将二次根式化为最简形式，再判断被开方数是否一致。
【难度系数】
0.8
9 计算$\sqrt{32} - \sqrt{2}$的结果为
$3\sqrt{2}$
。答案
9. $3\sqrt{2}$
解析
【分析】
要计算二次根式的加减，首先需要把每个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式（即被开方数相同的二次根式）。本题先化简$\sqrt{32}$，再将化简后的结果与$\sqrt{2}$合并即可。
【解析】
第一步：化简$\sqrt{32}$
$\sqrt{32}=\sqrt{16×2}=\sqrt{16}×\sqrt{2}=4\sqrt{2}$
第二步：合并同类二次根式
原式$=4\sqrt{2}-\sqrt{2}=(4-1)\sqrt{2}=3\sqrt{2}$
【答案】
$3\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式的化简；二次根式的加减运算
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，解题核心是掌握“先化简为最简二次根式，再合并同类二次根式”的运算顺序，计算时注意二次根式化简要彻底。
【难度系数】
0.9
要计算二次根式的加减，首先需要把每个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式（即被开方数相同的二次根式）。本题先化简$\sqrt{32}$，再将化简后的结果与$\sqrt{2}$合并即可。
【解析】
第一步：化简$\sqrt{32}$
$\sqrt{32}=\sqrt{16×2}=\sqrt{16}×\sqrt{2}=4\sqrt{2}$
第二步：合并同类二次根式
原式$=4\sqrt{2}-\sqrt{2}=(4-1)\sqrt{2}=3\sqrt{2}$
【答案】
$3\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式的化简；二次根式的加减运算
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，解题核心是掌握“先化简为最简二次根式，再合并同类二次根式”的运算顺序，计算时注意二次根式化简要彻底。
【难度系数】
0.9
10 计算：
(1) $\sqrt{12} - \sqrt{\dfrac{25}{3}}$；
(2) $( \sqrt{8} - \sqrt{\dfrac{1}{2}} ) × \sqrt{6}$。
(1) $\sqrt{12} - \sqrt{\dfrac{25}{3}}$；
(2) $( \sqrt{8} - \sqrt{\dfrac{1}{2}} ) × \sqrt{6}$。
答案
(1) $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
(2) $3\sqrt{3}$
(2) $3\sqrt{3}$
解析
【分析】
本题考查二次根式的运算，解题思路如下：
(1) 二次根式加减运算，需先将每个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可；
(2) 二次根式混合运算，可以利用乘法分配律将括号展开分别计算，也可以先算括号内的减法再算乘法，均遵循先化简再运算的原则。
【解析】
(1) 先化简各二次根式：
$\sqrt{12} = \sqrt{4×3} = 2\sqrt{3}$
$\sqrt{\dfrac{25}{3}} = \dfrac{\sqrt{25}}{\sqrt{3}} = \dfrac{5\sqrt{3}}{3}$
再合并同类二次根式：
$\sqrt{12} - \sqrt{\dfrac{25}{3}} = 2\sqrt{3} - \dfrac{5\sqrt{3}}{3} = \dfrac{6\sqrt{3}}{3} - \dfrac{5\sqrt{3}}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$
(2) 利用乘法分配律计算更简便：
$(\sqrt{8} - \sqrt{\dfrac{1}{2}}) × \sqrt{6} = \sqrt{8} × \sqrt{6} - \sqrt{\dfrac{1}{2}} × \sqrt{6}$
分别计算乘法：
$\sqrt{8} × \sqrt{6} = \sqrt{8×6} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$
$\sqrt{\dfrac{1}{2}} × \sqrt{6} = \sqrt{\dfrac{1}{2}×6} = \sqrt{3}$
合并结果：
$4\sqrt{3} - \sqrt{3} = 3\sqrt{3}$
【答案】
(1) $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
(2) $3\sqrt{3}$
【知识点】
1. 二次根式化简
2. 同类二次根式合并
3. 二次根式混合运算
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，核心是掌握二次根式的化简规则和运算法则，运算时优先使用运算律简算，能有效减少计算错误。
【难度系数】
0.8
本题考查二次根式的运算，解题思路如下：
(1) 二次根式加减运算，需先将每个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可；
(2) 二次根式混合运算，可以利用乘法分配律将括号展开分别计算，也可以先算括号内的减法再算乘法，均遵循先化简再运算的原则。
【解析】
(1) 先化简各二次根式：
$\sqrt{12} = \sqrt{4×3} = 2\sqrt{3}$
$\sqrt{\dfrac{25}{3}} = \dfrac{\sqrt{25}}{\sqrt{3}} = \dfrac{5\sqrt{3}}{3}$
再合并同类二次根式：
$\sqrt{12} - \sqrt{\dfrac{25}{3}} = 2\sqrt{3} - \dfrac{5\sqrt{3}}{3} = \dfrac{6\sqrt{3}}{3} - \dfrac{5\sqrt{3}}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$
(2) 利用乘法分配律计算更简便：
$(\sqrt{8} - \sqrt{\dfrac{1}{2}}) × \sqrt{6} = \sqrt{8} × \sqrt{6} - \sqrt{\dfrac{1}{2}} × \sqrt{6}$
分别计算乘法：
$\sqrt{8} × \sqrt{6} = \sqrt{8×6} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$
$\sqrt{\dfrac{1}{2}} × \sqrt{6} = \sqrt{\dfrac{1}{2}×6} = \sqrt{3}$
合并结果：
$4\sqrt{3} - \sqrt{3} = 3\sqrt{3}$
【答案】
(1) $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
(2) $3\sqrt{3}$
【知识点】
1. 二次根式化简
2. 同类二次根式合并
3. 二次根式混合运算
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，核心是掌握二次根式的化简规则和运算法则，运算时优先使用运算律简算，能有效减少计算错误。
【难度系数】
0.8
