【例】已知$a+b=5,ab=3$,求下列各式的值:
(1)$a^2+b^2$;
(2)$(a-b)^2$.

(1)19
(2)13

【分析】
本题考查完全平方公式的变形应用，解题思路如下：首先回忆完全平方公式的两种形式：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$、$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，观察已知条件给出了$a+b$和$ab$的值，因此只需将所求的代数式通过公式变形，转化为只含$a+b$和$ab$的形式，再代入已知数值计算即可。
【解析】
(1) 由完全平方和公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，移项变形可得：
$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$
将$a+b=5$，$ab=3$代入上式：
$a^2+b^2=5^2 - 2×3=25-6=19$
(2) 由完全平方差公式的变形可得：
$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab$
将$a+b=5$，$ab=3$代入上式：
$(a-b)^2=5^2 - 4×3=25-12=13$
【答案】
(1)19；(2)13
【知识点】
完全平方公式、代数式求值
【点评】
本题是完全平方公式变形的基础典型题，核心考查对完全平方公式的灵活运用能力，熟练掌握完全平方公式的常见变形，就能快速建立已知条件和所求式子的联系，计算时注意运算顺序避免出错即可。
【难度系数】
0.8

1.若$a^2 + b^2 =5,a - b=1$,则ab的值为 （）

A.1
B.2
C.3
D.4

1.B

【分析】
解题时首先观察已知条件和待求式的关系，已知$a-b$和$a^2+b^2$的值，求$ab$，可联想到完全平方差公式：$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，公式中恰好包含已知的$a-b$、$a^2+b^2$以及待求的$ab$三个量，因此只需将$a-b=1$两边平方，再代入$a^2+b^2=5$，即可求出$ab$的值。
【解析】
解：已知$a - b = 1$，将等式两边同时平方，得：
$(a - b)^2 = 1^2$
根据完全平方公式展开左边，得：
$a^2 - 2ab + b^2 = 1$
又已知$a^2 + b^2 = 5$，将其代入上式，得：
$5 - 2ab = 1$
移项计算：
$-2ab = 1 - 5 = -4$
两边同时除以$-2$，得：
$ab = 2$
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式；代数式求值
【点评】
本题是完全平方公式变形应用的基础题，解题核心是熟练掌握完全平方公式的结构，结合已知条件灵活变形代入计算即可。
【难度系数】
0.8

2.已知$(a+b)^2=10,(a-b)^2=2$,则$a^2+b^2=$,$ab=$.

2.$a^2+b^2=6$，$ab=2$

【分析】
解题时首先回忆完全平方公式的展开形式，观察已知的两个完全平方式展开后，都包含$a^2+b^2$和$ab$两项，仅$ab$项的符号相反。因此可以通过将两个展开式相加，消去$ab$项求出$a^2+b^2$的值；再将两个展开式相减，消去$a^2$和$b^2$项求出$ab$的值，这种通过加减消去无关项的思路是解决这类问题的核心。
【解析】
首先根据完全平方公式将已知条件展开：
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2=10$ ①
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2=2$ ②
1. 求$a^2+b^2$的值：
将①和②左右两边分别相加，得：
$a^2+2ab+b^2 + a^2-2ab+b^2 = 10 + 2$
化简后得：$2(a^2+b^2)=12$
两边同时除以2，得：$a^2+b^2=6$
2. 求$ab$的值：
将①减去②的左右两边，得：
$(a^2+2ab+b^2) - (a^2-2ab+b^2) = 10 - 2$
化简后得：$4ab=8$
两边同时除以4，得：$ab=2$
【答案】
6；2
【知识点】
完全平方公式；整式加减运算；代数式求值
【点评】
本题是完全平方公式变形应用的典型基础题，核心考查对完全平方公式展开结构的熟悉程度，通过对两个展开式做加减运算消去无关项即可快速求解，熟练掌握完全平方公式的各类变形是解决同类问题的关键。
【难度系数】
0.8

3.已知$ a - c - b = -10 $，$ (a - b) · c = -12 $，求$ (a - b)^2 + c^2 $的值。

3.76

【分析】
解题时先观察已知条件和待求式的结构特征，发现已知中的$a - c - b$可变形为$(a - b) - c$，待求式$(a - b)^2 + c^2$恰好是两个式子平方和的形式，因此可以把$a - b$、$c$分别看作两个整体，借助完全平方公式的变形：$x^2 + y^2 = (x - y)^2 + 2xy$，代入已知数值即可求解，不用单独求出$a、b、c$的具体值。
【解析】
先对已知条件变形：
$a - c - b = (a - b) - c = -10$，
令$x = a - b$，$y = c$，则已知条件可转化为：
$x - y = -10$，$xy = -12$，待求式为$x^2 + y^2$。
根据完全平方公式$(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$，变形得：
$x^2 + y^2 = (x - y)^2 + 2xy$
将$x - y = -10$，$xy = -12$代入上式：
$x^2 + y^2 = (-10)^2 + 2×(-12) = 100 - 24 = 76$
即$(a - b)^2 + c^2 = 76$
【答案】
76
【知识点】
完全平方公式、整体代入法、代数式求值
【点评】
本题是完全平方公式变形应用的典型习题，解题核心是运用整体思想将$a - b$视作整体，将待求式转化为和已知条件直接关联的形式，熟练掌握完全平方公式的各类变形是解决此类代数式求值问题的关键。
【难度系数】
0.7

4.阅读下列材料：
已知实数$m,n$满足$(2m^2 +n^2 +1)(2m^2 +n^2 -1)=80$，试求$2m^2 +n^2$的值.
解:设$2m^2 +n^2 =t$，则原方程变为$(t+1)(t-1)=80$.
整理，得$t^2 -1=80$，$\therefore t^2=81$，解得$t=\pm9$.
$\because 2m^2 +n^2 ≥0$，$\therefore 2m^2 +n^2=9$.
上面这种方法称为换元法，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法.在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化.
根据以上材料内容，解决下列问题:
(1)已知实数$x,y$满足$(2x^2 +2y^2 +3)·(2x^2 +2y^2 -3)=27$，求$x^2 +y^2$的值；若$xy=1$，求$(x+y)^2$和$x-y$的值.
(2)若$x$满足$(2024-x)^2 +(x-2023)^2=2025$，求$(2024-x)(x-2023)$的值.

4.(1)$x^2 + y^2 =3,(x+y)^2 =5,x-y=\pm1$
(2)$-1012$

【分析】
(1) 参照材料中的换元法，观察到等式左侧重复出现$2x^2+2y^2$，可先将其变形为$2(x^2+y^2)$，设$x^2+y^2=s$（$s≥0$，因平方和具有非负性），代入方程求解$s$的值；再根据完全平方公式的变形，代入$xy=1$和求出的$s$，分别计算$(x+y)^2$和$x-y$，注意开平方时结果有正负两个。
(2) 同样使用换元法，设$a=2024-x$，$b=x-2023$，先算出$a+b$的定值，再结合已知$a^2+b^2=2025$，利用完全平方和公式变形，即可求出$ab$也就是所求式子的值。
【解析】
(1) 设$2x^2+2y^2=t$，则原方程变为$(t+3)(t-3)=27$，
整理得$t^2-9=27$，即$t^2=36$，解得$t=\pm6$。
$\because x^2≥0,y^2≥0$，$\therefore 2x^2+2y^2≥0$，即$t≥0$，
$\therefore t=6$，则$2x^2+2y^2=6$，两边除以2得$x^2+y^2=3$。
根据完全平方公式：
$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2=(x^2+y^2)+2xy$，代入$x^2+y^2=3,xy=1$，得$(x+y)^2=3+2×1=5$；
$(x-y)^2=x^2-2xy+y^2=(x^2+y^2)-2xy=3-2×1=1$，$\therefore x-y=\pm\sqrt{1}=\pm1$。
(2) 设$a=2024-x$，$b=x-2023$，则所求式子为$ab$，
且$a+b=(2024-x)+(x-2023)=1$，已知$a^2+b^2=2025$。
根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，代入得：
$1^2=2025+2ab$，
整理得$2ab=1-2025=-2024$，
解得$ab=-1012$，即$(2024-x)(x-2023)=-1012$。
【答案】
(1)$x^2 + y^2 =3$，$(x+y)^2 =5$，$x-y=\pm1$
(2)$-1012$
【知识点】
换元法、完全平方公式、平方的非负性
【点评】
本题是整体思想在代数运算中的典型应用，通过换元将结构复杂的方程简化，结合完全平方公式的变形求解，解题时要注意平方数的非负性，合理舍去不符合题意的解，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7