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1.如图，已知BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F.若DE=6，则DF的长是（
A.2
B.3
C.4
D.6
变式题图
D
）A.2
B.3
C.4
D.6
变式题图
答案
1.D
解析
【分析】
解决这道题首先回忆角平分线的性质定理，先梳理已知条件：BD是∠ABC的角平分线，点D在角平分线上，DE是点D到角的一边AB的垂线段，即点D到AB的距离，DF是点D到角的另一边BC的垂线段，即点D到BC的距离，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此可以直接得到DE和DF相等，代入DE的长度就能求出DF的长。
【解析】
解：
∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得DF=DE，
又
∵DE=6，
∴DF=6。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的性质
【点评】
本题是角平分线性质的基础应用题型，解题的关键是准确识别角平分线上的点到角两边的垂线段，牢记性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
解决这道题首先回忆角平分线的性质定理，先梳理已知条件：BD是∠ABC的角平分线，点D在角平分线上，DE是点D到角的一边AB的垂线段，即点D到AB的距离，DF是点D到角的另一边BC的垂线段，即点D到BC的距离，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此可以直接得到DE和DF相等，代入DE的长度就能求出DF的长。
【解析】
解：
∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得DF=DE，
又
∵DE=6，
∴DF=6。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的性质
【点评】
本题是角平分线性质的基础应用题型，解题的关键是准确识别角平分线上的点到角两边的垂线段，牢记性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
· 条件变式 ·
如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点。若PA=4，则PQ的长最小为（
A.2
B.3
C.4
D.5
如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点。若PA=4，则PQ的长最小为（
C
）A.2
B.3
C.4
D.5
答案
[变式题] C
解析
【分析】
要解决这道题，首先思考动点Q在OM上运动时，PQ什么时候长度最小：根据点到直线的距离中垂线段最短的性质，可知当PQ垂直于OM时，PQ的长度取得最小值。接下来结合已知条件OP是∠MON的角平分线，PA垂直ON且PA=4，联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，此时PQ就是点P到OM的距离，PA是点P到ON的距离，二者相等，即可求出PQ的最小值。
【解析】
解：根据垂线段最短的性质，当PQ⊥OM时，PQ的长度最小。
∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PQ⊥OM，
∴根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，可得PQ=PA。
又
∵PA=4，
∴PQ的最小值为4。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
1.角平分线的性质
2.垂线段最短
3.动点最值求解
【点评】
本题是角平分线性质与垂线段最短结合的典型基础题，解题的关键是先确定PQ取最小值的位置，再利用角平分线的性质进行等量代换得到结果，这类题型是几何基础部分的常考类型，需熟练掌握两个知识点的综合应用。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先思考动点Q在OM上运动时，PQ什么时候长度最小：根据点到直线的距离中垂线段最短的性质，可知当PQ垂直于OM时，PQ的长度取得最小值。接下来结合已知条件OP是∠MON的角平分线，PA垂直ON且PA=4，联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，此时PQ就是点P到OM的距离，PA是点P到ON的距离，二者相等，即可求出PQ的最小值。
【解析】
解：根据垂线段最短的性质，当PQ⊥OM时，PQ的长度最小。
∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PQ⊥OM，
∴根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，可得PQ=PA。
又
∵PA=4，
∴PQ的最小值为4。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
1.角平分线的性质
2.垂线段最短
3.动点最值求解
【点评】
本题是角平分线性质与垂线段最短结合的典型基础题，解题的关键是先确定PQ取最小值的位置，再利用角平分线的性质进行等量代换得到结果，这类题型是几何基础部分的常考类型，需熟练掌握两个知识点的综合应用。
【难度系数】
0.8
2.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，BC=10 cm，点D到AB的距离为4 cm，则BD=
6
cm. 答案
2.6
解析
【分析】
解题时首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。已知AD是∠BAC的角平分线，∠C=90°即DC垂直AC，同时已知点D到AB的距离为4cm，根据性质可直接得到DC的长度，再结合BC的总长度，用BC减去DC即可求出BD的长度。
【解析】
解：
∵AD平分∠BAC，∠ACB=90°（即DC⊥AC），点D到AB的距离为4cm，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴DC = 4cm，
又
∵BC = 10cm，
∴BD = BC - DC = 10 - 4 = 6（cm）。
【答案】
6
【知识点】
1.角平分线的性质
2.线段和差计算
【点评】
本题是角平分线性质的基础应用题型，解题的核心是熟练掌握角平分线的性质，将点D到AB的距离转化为DC的长度，即可快速计算出结果。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。已知AD是∠BAC的角平分线，∠C=90°即DC垂直AC，同时已知点D到AB的距离为4cm，根据性质可直接得到DC的长度，再结合BC的总长度，用BC减去DC即可求出BD的长度。
【解析】
解：
∵AD平分∠BAC，∠ACB=90°（即DC⊥AC），点D到AB的距离为4cm，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴DC = 4cm，
又
∵BC = 10cm，
∴BD = BC - DC = 10 - 4 = 6（cm）。
【答案】
6
【知识点】
1.角平分线的性质
2.线段和差计算
【点评】
本题是角平分线性质的基础应用题型，解题的核心是熟练掌握角平分线的性质，将点D到AB的距离转化为DC的长度，即可快速计算出结果。
【难度系数】
0.8
3.如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，点D在OB上。若PC＝3，OD＝6，则△POD的面积为
9
。答案
3.9
解析
【分析】
解题时首先观察题干条件：OP平分∠AOB，且PC⊥OA，回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。要求△POD的面积，已知底OD的长度，只需求出OD边上的高（即点P到OB的垂线段长度），利用角平分线性质可将该高与已知的PC长度关联，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
过点P作PE⊥OB于点E。
∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PE⊥OB，
∴根据角平分线的性质可得：PE=PC=3。
已知OD=6，△POD以OD为底时，高为PE=3，
∴△POD的面积$S_{△ POD}=\frac{1}{2} × OD × PE = \frac{1}{2} × 6 × 3 = 9$。
【答案】
9
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题是基础类题目，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质，通过作辅助线得到所求三角形的高，结合面积公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察题干条件：OP平分∠AOB，且PC⊥OA，回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。要求△POD的面积，已知底OD的长度，只需求出OD边上的高（即点P到OB的垂线段长度），利用角平分线性质可将该高与已知的PC长度关联，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
过点P作PE⊥OB于点E。
∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PE⊥OB，
∴根据角平分线的性质可得：PE=PC=3。
已知OD=6，△POD以OD为底时，高为PE=3，
∴△POD的面积$S_{△ POD}=\frac{1}{2} × OD × PE = \frac{1}{2} × 6 × 3 = 9$。
【答案】
9
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题是基础类题目，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质，通过作辅助线得到所求三角形的高，结合面积公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
逆向变式
如图，在$△ ABC$中，$AB=5$，$AD$平分$∠ BAC$交$BC$于点$D$，$DE ⊥ AC$，垂足为点$E$。若$△ ABD$的面积为$5$，则$DE$的长为
如图，在$△ ABC$中，$AB=5$，$AD$平分$∠ BAC$交$BC$于点$D$，$DE ⊥ AC$，垂足为点$E$。若$△ ABD$的面积为$5$，则$DE$的长为
2
。答案
[逆向变式] 2
解析
【分析】
首先看到题目中有角平分线和点到角一边的垂线，优先联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。要求DE的长，我们可以过D作AB边上的垂线DF，那么DE和DF相等，只需要求出DF的长度即可。已知△ABD的面积和AB的边长，利用三角形面积公式就能求出DF的长度，进而得到DE的长。
【解析】
过点D作DF⊥AB，垂足为F。
∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴根据角平分线的性质可得：DF = DE。
已知△ABD的面积为5，AB=5，根据三角形面积公式：
$S_{△ ABD}=\frac{1}{2} × AB × DF$
代入数值：$5=\frac{1}{2} × 5 × DF$
解得：DF = 2
∴DE = DF = 2
【答案】
2
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题是角平分线性质的典型应用，解题的关键是合理作辅助线，将未知线段和已知三角形的高建立等量关系，解题思路清晰，属于基础类的几何常考题。
【难度系数】
0.7
首先看到题目中有角平分线和点到角一边的垂线，优先联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。要求DE的长，我们可以过D作AB边上的垂线DF，那么DE和DF相等，只需要求出DF的长度即可。已知△ABD的面积和AB的边长，利用三角形面积公式就能求出DF的长度，进而得到DE的长。
【解析】
过点D作DF⊥AB，垂足为F。
∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴根据角平分线的性质可得：DF = DE。
已知△ABD的面积为5，AB=5，根据三角形面积公式：
$S_{△ ABD}=\frac{1}{2} × AB × DF$
代入数值：$5=\frac{1}{2} × 5 × DF$
解得：DF = 2
∴DE = DF = 2
【答案】
2
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题是角平分线性质的典型应用，解题的关键是合理作辅助线，将未知线段和已知三角形的高建立等量关系，解题思路清晰，属于基础类的几何常考题。
【难度系数】
0.7
4.如图,在$△ ABC$中,AD平分$∠ BAC$,且$BD=CD$,$DE⊥ AB$,$DF⊥ AC$,垂足分别为点$E$,$F$.求证:$BE=CF$.
答案
4.证明:$\because AD$平分$∠ BAC$,$DE⊥ AB$,$DF⊥ AC$,
$\therefore DE=DF$,$∠ BED=∠ DFC=90°$.
在$\mathrm{Rt}△ BDE$和$\mathrm{Rt}△ CDF$中,$\because\begin{cases} BD=CD,\\ DE=DF, \end{cases}$
$\therefore\mathrm{Rt}△ BDE≌\mathrm{Rt}△ CDF$,(HL)$\therefore BE=CF$.
$\therefore DE=DF$,$∠ BED=∠ DFC=90°$.
在$\mathrm{Rt}△ BDE$和$\mathrm{Rt}△ CDF$中,$\because\begin{cases} BD=CD,\\ DE=DF, \end{cases}$
$\therefore\mathrm{Rt}△ BDE≌\mathrm{Rt}△ CDF$,(HL)$\therefore BE=CF$.
解析
【分析】
要证明$BE=CF$，可通过证明两条线段所在的$\mathrm{Rt}△ BDE$和$\mathrm{Rt}△ CDF$全等实现。首先根据角平分线的性质，结合已知$AD$平分$∠ BAC$、$DE⊥ AB$、$DF⊥ AC$，可得$DE=DF$，且两个三角形均为直角三角形；再结合已知$BD=CD$，可通过HL定理判定两个直角三角形全等，最后根据全等三角形对应边相等即可得到结论。
【解析】
证明：$\because AD$平分$∠ BAC$，$DE⊥ AB$，$DF⊥ AC$，
$\therefore DE=DF$，$∠ BED=∠ DFC=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ BDE$和$\mathrm{Rt}△ CDF$中，
$\because\begin{cases} BD=CD,\\ DE=DF, \end{cases}$
$\therefore\mathrm{Rt}△ BDE≌\mathrm{Rt}△ CDF$（HL），
$\therefore BE=CF$。
【答案】
$BE=CF$
【知识点】
角平分线的性质；直角三角形全等的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础证明题，核心是利用角平分线性质得到全等所需的边相等条件，结合HL判定直角三角形全等后得到对应边相等，熟练掌握相关性质和判定定理即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
要证明$BE=CF$，可通过证明两条线段所在的$\mathrm{Rt}△ BDE$和$\mathrm{Rt}△ CDF$全等实现。首先根据角平分线的性质，结合已知$AD$平分$∠ BAC$、$DE⊥ AB$、$DF⊥ AC$，可得$DE=DF$，且两个三角形均为直角三角形；再结合已知$BD=CD$，可通过HL定理判定两个直角三角形全等，最后根据全等三角形对应边相等即可得到结论。
【解析】
证明：$\because AD$平分$∠ BAC$，$DE⊥ AB$，$DF⊥ AC$，
$\therefore DE=DF$，$∠ BED=∠ DFC=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ BDE$和$\mathrm{Rt}△ CDF$中，
$\because\begin{cases} BD=CD,\\ DE=DF, \end{cases}$
$\therefore\mathrm{Rt}△ BDE≌\mathrm{Rt}△ CDF$（HL），
$\therefore BE=CF$。
【答案】
$BE=CF$
【知识点】
角平分线的性质；直角三角形全等的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础证明题，核心是利用角平分线性质得到全等所需的边相等条件，结合HL判定直角三角形全等后得到对应边相等，熟练掌握相关性质和判定定理即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
5.如图，$∠ AOB = 70°$，$QC ⊥ OA$于点$C$，$QD ⊥ OB$于点$D$.若$QC=QD$，则$∠ AOQ$的度数为（
A.$30°$
B.$35°$
C.$40°$
D.$45°$
B
）A.$30°$
B.$35°$
C.$40°$
D.$45°$
答案
5.B
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件：QC垂直OA、QD垂直OB，说明QC、QD分别是点Q到∠AOB两边OA、OB的距离，又已知QC=QD，结合角平分线的判定定理可推出OQ是∠AOB的角平分线，再结合已知∠AOB的度数，就能算出∠AOQ的度数。
【解析】
解：
∵QC⊥OA，QD⊥OB，且QC=QD，
∴根据角平分线的判定定理可得：OQ平分∠AOB，即$∠ AOQ=\frac{1}{2}∠ AOB$，
又
∵$∠ AOB=70°$，
∴$∠ AOQ=\frac{1}{2}×70°=35°$。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的判定；角度计算
【点评】
本题是基础题型，核心考查角平分线判定定理的应用，只要熟练掌握“角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上”这一定理，结合简单的角度运算即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察已知条件：QC垂直OA、QD垂直OB，说明QC、QD分别是点Q到∠AOB两边OA、OB的距离，又已知QC=QD，结合角平分线的判定定理可推出OQ是∠AOB的角平分线，再结合已知∠AOB的度数，就能算出∠AOQ的度数。
【解析】
解：
∵QC⊥OA，QD⊥OB，且QC=QD，
∴根据角平分线的判定定理可得：OQ平分∠AOB，即$∠ AOQ=\frac{1}{2}∠ AOB$，
又
∵$∠ AOB=70°$，
∴$∠ AOQ=\frac{1}{2}×70°=35°$。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的判定；角度计算
【点评】
本题是基础题型，核心考查角平分线判定定理的应用，只要熟练掌握“角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上”这一定理，结合简单的角度运算即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
6.按如图所示的方式移动两块相同的直角三角板，使$PM=PN$，画射线$OP$，$OP$就是$∠ AOB$的平分线，理由是
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上
。答案
6.角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上
解析
【分析】
首先观察图形，直角三角板的直角边分别与∠AOB的两边OA、OB垂直，因此PM是点P到OA的距离，PN是点P到OB的距离。题目给出PM=PN，要推导OP是角平分线，需要对应角平分线的判定定理，据此即可得到结论的理由。
【解析】
由直角三角板的结构特征可知，$PM⊥ OA$，$PN⊥ OB$，因此PM、PN分别是点P到∠AOB两边OA、OB的距离。
已知$PM=PN$，且点P在∠AOB的内部，根据角平分线的判定定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上，可得点P在∠AOB的平分线上，因此射线OP是∠AOB的平分线。
【答案】
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上
【知识点】
角平分线的判定；点到直线的距离
【点评】
本题是角平分线判定定理的实际应用类题目，解题的关键是结合三角板的特征确定PM、PN是点到角两边的距离，再结合已知的距离相等的条件对应判定定理即可，要注意区分角平分线的性质和判定的适用场景。
【难度系数】
0.8
首先观察图形，直角三角板的直角边分别与∠AOB的两边OA、OB垂直，因此PM是点P到OA的距离，PN是点P到OB的距离。题目给出PM=PN，要推导OP是角平分线，需要对应角平分线的判定定理，据此即可得到结论的理由。
【解析】
由直角三角板的结构特征可知，$PM⊥ OA$，$PN⊥ OB$，因此PM、PN分别是点P到∠AOB两边OA、OB的距离。
已知$PM=PN$，且点P在∠AOB的内部，根据角平分线的判定定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上，可得点P在∠AOB的平分线上，因此射线OP是∠AOB的平分线。
【答案】
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上
【知识点】
角平分线的判定；点到直线的距离
【点评】
本题是角平分线判定定理的实际应用类题目，解题的关键是结合三角板的特征确定PM、PN是点到角两边的距离，再结合已知的距离相等的条件对应判定定理即可，要注意区分角平分线的性质和判定的适用场景。
【难度系数】
0.8
7.如图，$BF ⊥ AC$于点$F$，$CE ⊥ AB$于点$E$，$BF$与$CE$相交于点$D$，且$BE = CF$，连接$AD$。求证：$AD$平分$∠ BAC$。
答案
7.证明:$\because CE⊥ AB$,$BF⊥ AC$,$\therefore∠ BED=∠ CFD=90°$.
在$△ BDE$和$△ CDF$中,$\because\begin{cases}∠ BDE=∠ CDF,\\∠ BED=∠ CFD,\\BE=CF,\end{cases}$
$\therefore△ BDE≌△ CDF$.(AAS)$\therefore DE=DF$.
又$\because DE⊥ AB$,$DF⊥ AC$,
$\therefore$点$D$在$∠ BAC$的平分线上,即$AD$平分$∠ BAC$.
在$△ BDE$和$△ CDF$中,$\because\begin{cases}∠ BDE=∠ CDF,\\∠ BED=∠ CFD,\\BE=CF,\end{cases}$
$\therefore△ BDE≌△ CDF$.(AAS)$\therefore DE=DF$.
又$\because DE⊥ AB$,$DF⊥ AC$,
$\therefore$点$D$在$∠ BAC$的平分线上,即$AD$平分$∠ BAC$.
解析
【分析】
要证明AD平分∠BAC，根据角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，因此只需证明点D到AB、AC的垂线段DE与DF相等。观察图形，DE在△BDE中，DF在△CDF中，已知CE⊥AB、BF⊥AC可得∠BED=∠CFD=90°，再结合对顶角∠BDE=∠CDF，以及题给条件BE=CF，可通过AAS判定△BDE≌△CDF，即可得到DE=DF，最终推导得出结论。
【解析】
证明：$\because CE⊥ AB$，$BF⊥ AC$，$\therefore∠ BED=∠ CFD=90°$。
在$△ BDE$和$△ CDF$中，$\because\begin{cases}∠ BDE=∠ CDF,\\∠ BED=∠ CFD,\\BE=CF,\end{cases}$
$\therefore△ BDE≌△ CDF(\mathrm{AAS})$，$\therefore DE=DF$。
又$\because DE⊥ AB$，$DF⊥ AC$，
$\therefore$点$D$在$∠ BAC$的平分线上，即$AD$平分$∠ BAC$。
【答案】
$AD$平分$∠ BAC$
【知识点】
1. 全等三角形AAS判定
2. 角平分线的判定定理
【点评】
本题是几何基础证明题，综合考查全等三角形的判定与角平分线的判定，解题思路清晰，先通过全等得到对应垂线段相等，再结合角平分线判定即可得证，属于常规考查题型。
【难度系数】
0.7
要证明AD平分∠BAC，根据角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，因此只需证明点D到AB、AC的垂线段DE与DF相等。观察图形，DE在△BDE中，DF在△CDF中，已知CE⊥AB、BF⊥AC可得∠BED=∠CFD=90°，再结合对顶角∠BDE=∠CDF，以及题给条件BE=CF，可通过AAS判定△BDE≌△CDF，即可得到DE=DF，最终推导得出结论。
【解析】
证明：$\because CE⊥ AB$，$BF⊥ AC$，$\therefore∠ BED=∠ CFD=90°$。
在$△ BDE$和$△ CDF$中，$\because\begin{cases}∠ BDE=∠ CDF,\\∠ BED=∠ CFD,\\BE=CF,\end{cases}$
$\therefore△ BDE≌△ CDF(\mathrm{AAS})$，$\therefore DE=DF$。
又$\because DE⊥ AB$，$DF⊥ AC$，
$\therefore$点$D$在$∠ BAC$的平分线上，即$AD$平分$∠ BAC$。
【答案】
$AD$平分$∠ BAC$
【知识点】
1. 全等三角形AAS判定
2. 角平分线的判定定理
【点评】
本题是几何基础证明题，综合考查全等三角形的判定与角平分线的判定，解题思路清晰，先通过全等得到对应垂线段相等，再结合角平分线判定即可得证，属于常规考查题型。
【难度系数】
0.7
