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1 新考法[2025天津南开区期中,中]如图,平面直角坐标系中,点O为坐标原点,A(0,3),B(2,3),C(3,2),一条圆弧经过A,B,C三点,则下列说法中正确的是 (
A.这条圆弧所在圆的半径为$\frac{5}{2}$
B.这条圆弧所在圆的圆心坐标为(1,1)
C.原点O(0,0)在这条圆弧所在圆上
D.点M(3,0)在这条圆弧所在圆外
(第1题图) (第2题图)
B
)A.这条圆弧所在圆的半径为$\frac{5}{2}$
B.这条圆弧所在圆的圆心坐标为(1,1)
C.原点O(0,0)在这条圆弧所在圆上
D.点M(3,0)在这条圆弧所在圆外
(第1题图) (第2题图)
答案
1.B 【解析】设这条圆弧所在圆的圆心坐标为 (x,y).
∵ 圆弧经过 A(0,3),B(2,3),C(3,2) 三点,
∴ $\begin{cases}(x-0)^2+(y-3)^2=(x-2)^2+(y-3)^2 \\(x-0)^2+(y-3)^2=(x-3)^2+(y-2)^2 \end{cases}$, 解得 $\begin{cases}x=1 \\ y=1 \end{cases}$,
∴ 这条圆弧所在圆的圆心坐标为 (1,1),故选项 B 正确. 这条圆弧所在圆的半径为 √((1-0)²+(1-3)²)=√5,故选项 A 错误.
∵ 原点 O(0,0) 到圆心 (1,1) 的距离为 √(1²+1²)=√2 ≠ √5,
∴ 原点 O(0,0) 不在这条圆弧所在圆上,故选项 C 错误.
∵ 点 M(3,0) 到圆心 (1,1) 的距离为 √((3-1)²+(0-1)²)=√5,
∴ 点 M(3,0) 在这条圆弧所在圆上,故选项 D 错误. 故选 B.
∵ 圆弧经过 A(0,3),B(2,3),C(3,2) 三点,
∴ $\begin{cases}(x-0)^2+(y-3)^2=(x-2)^2+(y-3)^2 \\(x-0)^2+(y-3)^2=(x-3)^2+(y-2)^2 \end{cases}$, 解得 $\begin{cases}x=1 \\ y=1 \end{cases}$,
∴ 这条圆弧所在圆的圆心坐标为 (1,1),故选项 B 正确. 这条圆弧所在圆的半径为 √((1-0)²+(1-3)²)=√5,故选项 A 错误.
∵ 原点 O(0,0) 到圆心 (1,1) 的距离为 √(1²+1²)=√2 ≠ √5,
∴ 原点 O(0,0) 不在这条圆弧所在圆上,故选项 C 错误.
∵ 点 M(3,0) 到圆心 (1,1) 的距离为 √((3-1)²+(0-1)²)=√5,
∴ 点 M(3,0) 在这条圆弧所在圆上,故选项 D 错误. 故选 B.
2[2026 江苏宿迁调研,较难]如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,P为矩形的边BC上的一动点,点P从点B运动到点C,△PAD的外接圆的圆心运动的路径长为 (
A.$\frac{4}{3}$
B.$\frac{8}{3}$
C.$\frac{5}{3}$
D.$\frac{10}{3}$
B
)A.$\frac{4}{3}$
B.$\frac{8}{3}$
C.$\frac{5}{3}$
D.$\frac{10}{3}$
答案
2.B 【解析】如图,连接 AC,BD 交于点 O'.
∵ 四边形 ABCD 是矩形,AB = 6,BC = 8,
∴ O'A = O'C = O'B = O'D,∠BAD = ∠ADC = ∠ABC = ∠BCD = 90°,CD = AB = 6,AD = BC = 8,
∴ 点 O' 在△PAD 的边 AD 的垂直平分线上. 当点 P 与点 B 或 C 重合时,△PAD 的外接圆的圆心为点 O'. 当点 P 为 BC 的中点,即 PB = PC 时,连接 PO',并延长交 AD 于点 E,设此时△PAD 的外接圆的圆心为点 O,连接 OP,OD,则 OP = OD. 在△ABP 和△DCP 中, $\begin{cases}AB=DC \\∠ABP=∠DCP=90° \\PB=PC \end{cases}$,
∴ △ABP ≅ △DCP (SAS),
∴ PA = PD,
∴ 此时点 P 在△PAD 的边 AD 的垂直平分线上,
∴ PE 垂直平分 AD.
∵ △PAD 的外接圆的圆心一定在 AD 边的垂直平分线上,
∴ 点 O 一定在 PE 上,
∴ 点 P 从点 B 运动到点 C,△PAD 的外接圆的圆心运动的路径是从点 O' 运动到点 O,再从点 O 运动到点 O',其路径长是 2OO' 的长. 在 Rt△ABD 中,AB = 6,AD = 8,
∴ BD = √(AB²+AD²) = 10,
∴ O'D = 5. 又
∵ PE 垂直平分 AD,
∴ DE = 1/2 AD = 4,
∴ O'E = √(O'D²-DE²) = 3.
∵ ∠BAD = ∠ABC = 90°,PE 垂直平分 AD,
∴ 四边形 ABPE 是矩形,
∴ PE = AB = 6. 设 OE = x,则 OD = OP = PE-OE = 6-x. 在 Rt△DOE 中,OE²+DE² = OD²,即 x²+4² = (6-x)²,解得 x = 5/3,
∴ 2OO' = 2(O'E-OE) = 2×(3-5/3) = 8/3,即点 P 从点 B 运动到点 C,△PAD 的外接圆的圆心运动的路径长为 8/3,故选 B.
3[2026江苏南京期末,中]如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点分别为A(-1,0),B(1,0),C(-3,2),⊙P是△ABC的外接圆,若点D(x,y)是其外接圆上任意一点,则x+2y的最大值为
（第3题图）
（第4题图）
$6+5\sqrt{2}$
.（第3题图）
（第4题图）
答案
3.$6+5\sqrt{2}$ 【解析】
∵ ⊙P 是△ABC 的外接圆,
∴ 点 P 在 AB 的垂直平分线上,PC = PB = PA.
∵ A(-1,0),B(1,0),
∴ 点 P 在 y 轴上,
∴ 设 P(0,b),
∴ (-3-0)²+(2-b)² = (0-1)²+(b-0)²,
∴ b = 3,
∴ 点 P 的坐标为 (0,3).
∵ D(x,y) 是其外接圆上任意一点,
∴ (x-0)²+(y-3)² = 1²+3²,
∴ x²+(y-3)² = 10. 设 t = x+2y,则 x = t-2y,
∴ (t-2y)²+(y-3)² = 10,整理得 5y²-(4t+6)y+t²-1 = 0.
∵ y 为实数,
∴ [-(4t+6)]²-4×5(t²-1) ≥ 0,解得 6-5√2 ≤ t ≤ 6+5√2,
∴ x+2y 的最大值为 6+5√2. 故答案为 6+5√2.
∵ ⊙P 是△ABC 的外接圆,
∴ 点 P 在 AB 的垂直平分线上,PC = PB = PA.
∵ A(-1,0),B(1,0),
∴ 点 P 在 y 轴上,
∴ 设 P(0,b),
∴ (-3-0)²+(2-b)² = (0-1)²+(b-0)²,
∴ b = 3,
∴ 点 P 的坐标为 (0,3).
∵ D(x,y) 是其外接圆上任意一点,
∴ (x-0)²+(y-3)² = 1²+3²,
∴ x²+(y-3)² = 10. 设 t = x+2y,则 x = t-2y,
∴ (t-2y)²+(y-3)² = 10,整理得 5y²-(4t+6)y+t²-1 = 0.
∵ y 为实数,
∴ [-(4t+6)]²-4×5(t²-1) ≥ 0,解得 6-5√2 ≤ t ≤ 6+5√2,
∴ x+2y 的最大值为 6+5√2. 故答案为 6+5√2.
4[2025浙江衢州质检,较难]如图是一个含有三个正方形的相框,其中$∠ BCD = ∠ DEF = 90°$,$AB=2$,$CD=3$,$EF=5$,将它镶嵌在一个圆形的金属框上,使$A,G,H$三点刚好在金属框上,则该金属框的半径是
$\frac{5\sqrt{10}}{2}$
.答案
4.$\frac{5\sqrt{10}}{2}$ 【解析】如图,连接 AG,作线段 AG 和线段 HG 的垂直平分线,交于点 O,HG 的垂直平分线交 HG 于点 K,交 EF 于点 M,连接 OG,则 A,G,H 三点刚好在以点 O 为圆心,OG 的长为半径的圆上,易知 A,C,E,G 共线.
∵ ∠BCD = ∠DEF = 90°,四边形 ABCJ、四边形 CDEI、四边形 EFGH 都是正方形,AB = 2,CD = 3,EF = 5,
∴ 易得 AC = 2√2,EC = 3√2,EG = 5√2,
∴ AG = 10√2,AE = EG = 5√2,
∴ 点 E 为线段 AG 的中点.
∵ ∠GEF = 45°,OE ⊥ AG,
∴ ∠OEF = 45°,
∴ 易得△OEM 是等腰直角三角形,
∴ MO = EM = 1/2 EF.
∵ HG = EF = 5,
∴ 易得 KG = 5/2,OK = 5 + 5/2 = 15/2,
∴ OG = √(KG²+OK²) = √((5/2)²+(15/2)²) = 5√10/2. 故答案为 5√10/2.
5[2026浙江宁波北仑区模拟,中]如图,△ABC的外心O关于三边的对称点分别为A',B',C',连接AA',BB',CC'.求证:
(1)AA',BB',CC'交于一点P;
(2)设△ABC三边中点分别为$A_1,B_1,C_1$,则P为$△ A_1B_1C_1$的外心.
刷素养 走向重高
(1)AA',BB',CC'交于一点P;
(2)设△ABC三边中点分别为$A_1,B_1,C_1$,则P为$△ A_1B_1C_1$的外心.
刷素养 走向重高
答案
5.【证明】(1)如图,连接 AO,BO,CO,C'O,OB',AC',BC',B'C,B'A,B'C'.
∵ △ABC 的外心 O 关于三边的对称点分别为 A',B',C',
∴ AB 与 C'O 互相平分,AC 与 B'O 互相平分,
∴ 四边形 AC'BO、四边形 AB'CO 是平行四边形,
∴ BC' = AO = B'C,BC' // AO // B'C,
∴ 四边形 BCB'C' 是平行四边形,
∴ BB' 与 CC' 互相平分,即 BB' 与 CC' 在它们的中点处相交,同理,AA' 与 CC' 互相平分,
∴ AA',BB',CC' 交于一点 P.
(2)连接 PA₁,PB₁,PC₁,如图. 易知 AB' = CO,BO = BC',AO = AC'.
∵ P 为 CC' 中点,A₁ 为 BC 中点,
∴ PA₁ = 1/2 BC' = 1/2 BO,同理 PB₁ = 1/2 AO,PC₁ = 1/2 CO.
∵ AO = BO = CO,
∴ PA₁ = PB₁ = PC₁,
∴ P 是△A₁B₁C₁ 的外心.
6 核心素养推理能力[较难]我们知道,到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.由此,我们可以引入如下新定义:到三角形的两个顶点距离相等的点,叫作此三角形的准外心.
(1)如图(1),点P在线段BC上,∠ABP=∠APD=∠PCD=90°,BP=CD.求证:点P是△APD的准外心;
(2)如图(2),在Rt△ABC中,∠BAC=90°,BC=5,AB=3,△ABC的准外心P在△ABC的直角边上,试求AP的长.
(1)如图(1),点P在线段BC上,∠ABP=∠APD=∠PCD=90°,BP=CD.求证:点P是△APD的准外心;
(2)如图(2),在Rt△ABC中,∠BAC=90°,BC=5,AB=3,△ABC的准外心P在△ABC的直角边上,试求AP的长.
答案
6.(1)【证明】
∵ ∠ABP = ∠APD = ∠PCD = 90°,
∴ ∠APB+∠PAB = 90°,∠APB+∠DPC = 90°,
∴ ∠PAB = ∠DPC. 在△ABP 和△PCD 中, $\begin{cases}∠PAB=∠DPC \\∠ABP=∠PCD \\BP=CD \end{cases}$,
∴ △ABP ≅ △PCD(AAS),
∴ AP = PD,
∴ 点 P 是△APD 的准外心.
(2)【解】
∵ ∠BAC = 90°,BC = 5,AB = 3,
∴ AC = √(5²-3²) = 4. 当 P 点在 AB 上,PA = PB 时,AP = 1/2 AB = 3/2. 当 P 点在 AC 上,PA = PC 时,AP = 1/2 AC = 2. 当 P 点在 AC 上,PB = PC 时,设 AP = t,则 PC = PB = 4-t. 在 Rt△ABP 中,3²+t² = (4-t)²,解得 t = 7/8,即 AP = 7/8. 综上所述,AP 的长为 3/2 或 2 或 7/8.
∵ ∠ABP = ∠APD = ∠PCD = 90°,
∴ ∠APB+∠PAB = 90°,∠APB+∠DPC = 90°,
∴ ∠PAB = ∠DPC. 在△ABP 和△PCD 中, $\begin{cases}∠PAB=∠DPC \\∠ABP=∠PCD \\BP=CD \end{cases}$,
∴ △ABP ≅ △PCD(AAS),
∴ AP = PD,
∴ 点 P 是△APD 的准外心.
(2)【解】
∵ ∠BAC = 90°,BC = 5,AB = 3,
∴ AC = √(5²-3²) = 4. 当 P 点在 AB 上,PA = PB 时,AP = 1/2 AB = 3/2. 当 P 点在 AC 上,PA = PC 时,AP = 1/2 AC = 2. 当 P 点在 AC 上,PB = PC 时,设 AP = t,则 PC = PB = 4-t. 在 Rt△ABP 中,3²+t² = (4-t)²,解得 t = 7/8,即 AP = 7/8. 综上所述,AP 的长为 3/2 或 2 或 7/8.
