4[中]已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F。
(1)当∠MBN绕B点旋转到AE=CF时（如图(1)），AE，CF，EF之间的数量关系为。
(2)当E在AD上，F在DC上，但AE≠CF（如图(2)）时，(1)中结论是否成立？请说明理由。
(3)当E在AD延长线上，F在DC延长线上（如图(3)）时，(1)中结论是否成立？若不成立，线段AE，CF，EF之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想。


母题学大招12 费马点模型

4.【解】(1)
∵ AB ⊥ AD, BC ⊥ CD,
∴ ∠A = ∠C = 90°.
∵ AB = BC, AE = CF,
∴ △ABE ≌ △CBF(SAS),
∴ ∠ABE = ∠CBF,BE = BF.
∵ ∠ABC = 120°, ∠MBN = 60°,
∴ ∠ABE = ∠CBF = 30°,
∴ AE = $\frac{1}{2}$BE, CF = $\frac{1}{2}$BF.
∵ ∠MBN=60°,BE = BF,
∴ △BEF是等边三角形,
∴ AE+CF = $\frac{1}{2}$BE+$\frac{1}{2}$BF = BE = EF.
故答案为 AE+CF = EF.
(2)(1)中结论成立,理由如下:延长 FC 到 H,使 CH=AE,连接 BH,如图(1).
∵ AB ⊥ AD, BC ⊥ CD,
∴ ∠A = ∠BCH = 90°. 又
∵ AB=BC,
∴ △BCH≌△BAE(SAS),
∴ BH=BE,∠CBH=∠ABE.
∵ ∠ABC = 120°, ∠MBN = 60°,
∴ ∠ABE+∠CBF = 120°-60° = 60°,
∴ ∠HBC+∠CBF = 60°,
∴ ∠HBF = ∠EBF. 又
∵ BF = BF,
∴ △HBF ≌ △EBF(SAS),
∴ HF = EF.
∵ HF = HC+CF = AE+CF,
∴ EF = AE+CF.
思路分析
(2)如图(1),延长 FC 到 H,使 CH=AE,连接 BH,根据题意可得△BCH≌△BAE,则有BH=BE,∠CBH=∠ABE,进而可证△HBF≌△EBF,推出HF=EF,最后根据线段的等量关系可得结论;
(3)如图(2),在 AE 上截取 AQ=CF,连接 BQ,根据题意易得△BCF≌△BAQ,则有BF = BQ,∠CBF = ∠ABQ,进而可证△FBE≌△QBE,推出 EF = QE,即可得出结论.
(3)(1)中的结论不成立,AE=EF+CF.
在 AE 上截取 AQ = CF,连接 BQ,如图(2).
∵ AB ⊥ AD, BC ⊥ CD,
∴ ∠A = ∠BCF = 90°.
∵ AB=BC,
∴ △BCF≌△BAQ(SAS),
∴ BF=BQ,∠CBF=∠ABQ.
∵ ∠MBN=60°=∠CBF+∠CBE,
∴ ∠CBE + ∠ABQ = 60°.
∵ ∠ABC = 120°,
∴ ∠QBE=120°-60°=60°=∠MBN,
∴ ∠FBE=∠QBE. 又
∵ BE=BE,
∴ △FBE≌△QBE(SAS),
∴ EF=QE,
∴ AE=QE+AQ=EF+CF.

5 [2026 陕西西安碑林区校级质检,较难]将几何图形按照某种法则或规则变换成另一种几何图形的过程叫作几何变换.旋转变换是几何变换的一种基本模型.经过旋转,往往能使图形的几
何性质明白显现.题设和结论中的元素由分散变为集中,相互之间的关系清楚明了,从而将求解问题灵活转化.
问题提出:如图(1),$△ ABC$是边长为1的等边三角形,P为$△ ABC$内部一点,连接PA,PB,PC,求$PA+PB+PC$的最小值.
方法分析:通过转化,把由三角形内一点发出的三条线段转化为两定点之间的折线,再利用“两点之间线段最短”求最小值.
问题解决:如图(2),将$△ BPA$绕点B逆时针旋转$60°$至$△ BP'A'$,连接$PP',A'C$,记$A'C$与AB交于点D,易知$BA'=BA=BC=1$,$PA=P'A'$,$∠ A'BC=∠ A'BA+∠ ABC=120°$.由$BP'=BP$,$∠ P'BP=60°$,可知$△ P'BP$为等边三角形,则$PB=P'P$.
故$PA+PB+PC=A'P'+P'P+PC≥ A'C=\sqrt{3}$.因此,当$A',P',P,C$共线时,$PA+PB+PC$有最小值,是$\sqrt{3}$.
学以致用:
(1)如图(3),在$△ ABC$中,$∠ BAC=30°$,$AB=4$,$CA=3$,P为$△ ABC$内部一点,连接PA,PB,PC,则$PA+PB+PC$的最小值是.
(2)如图(4),在$△ ABC$中,$∠ BAC=45°$,$AB=2\sqrt{2}$,$CA=3$,P为$△ ABC$内部一点,连接PA,PB,PC,求$\sqrt{2}PA+PB+PC$的最小值.

5.【解】(1)如图(1),将△APC绕点A逆时针旋转60°得到△AFE,连接PF,BE,
∴ AE=AC=3,CP=EF,AP=AF,∠PAF=∠CAE=60°,
∴ △AFP是等边三角形, ∠EAB = 90°,
∴ PF = AP. 在Rt△EAB中, $BE=\sqrt{AE^2+AB^2}=5$.
∵ PA+PB+PC=FP+PB+EF≥BE,
∴ 当E,F,P,B共线时,PA+PB+PC有最小值,为5. 故答案为5.
(2)如图(2),将△APB绕点A逆时针旋转90°得到△AFE,连接PF,CE,
∴ AE = AB = $2\sqrt{2}$, AF = AP, EF = PB, ∠FAP = ∠BAE = 90°,
∴ △AFP是等腰直角三角形, ∠EAC = 135°,
∴ 易得 PF = $\sqrt{2}PA$. 过点E作EH ⊥ CA交CA的延长线于H.
在Rt△EAH中, ∠H = 90°, ∠EAH = 180° - ∠EAC = 45°, AE = $2\sqrt{2}$,
∴ EH = AH = 2,
∴ HC = 5,
∴ 在Rt△EHC中, EC = $\sqrt{2^2+5^2}=\sqrt{29}$.
∵ $\sqrt{2}PA+PB+PC = FP+EF+PC ≥ CE$,
∴ $\sqrt{2}PA+PB+PC$的最小值为$\sqrt{29}$.
关键点拨
认真阅读材料,掌握辅助线的作法是解题的关键.