典例3 已知关于$x$的一元二次方程
$x^2 - (n + 3)x + 3n = 0$.
(1)求证:此方程总有两个实数根；
(2)若此方程有两个相等的实数根,写出这个方程,并求出此时方程的根.

(1) 证明：
在一元二次方程$x^2-(n+3)x+3n=0$中，
$a=1$，$b=-(n+3)$，$c=3n$，
判别式$\Delta = b^2-4ac$
$=[-(n+3)]^2 - 4×1×3n$
$=n^2+6n+9-12n$
$=n^2-6n+9$
$=(n-3)^2$。
∵ 对任意实数$n$，都有$(n-3)^2≥0$，即$\Delta≥0$，
∴ 此方程总有两个实数根。
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(2) 解：
∵ 方程有两个相等的实数根，
∴ $\Delta=(n-3)^2=0$，
解得$n=3$。
将$n=3$代入原方程，得此时方程为：
$x^2-6x+9=0$，
因式分解得$(x-3)^2=0$，
解得$x_1=x_2=3$。

典例4 设$m$是不小于$-1$的实数，关于$x$的方程$x^2 + 2(m-2)x + m^2 - 3m + 3 = 0$有两个不相等的实数根$x_1, x_2$。
(1)若$x_1^2 + x_2^2 = 6$，求$m$的值；
(2)令$T = \dfrac{mx_1}{1 - x_1} + \dfrac{mx_2}{1 - x_2}(m ≠ 0)$，求$T$的取值范围。

解：
∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ=[2(m-2)]² - 4(m²-3m+3) = -4m + 4 ＞ 0，
解得m ＜ 1，
又∵m是不小于-1的实数，
∴-1 ≤ m ＜ 1。
由韦达定理得：$x_1+x_2=4-2m$，$x_1x_2=m^2-3m+3$。
(1)
∵$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=6$，
代入得：$(4-2m)^2 - 2(m^2-3m+3)=6$，
整理得：$m^2-5m+2=0$，
解得：$m_1=\frac{5+\sqrt{17}}{2}$，$m_2=\frac{5-\sqrt{17}}{2}$。
∵$-1 ≤ m ＜ 1$，
∴$m=\frac{5+\sqrt{17}}{2}$不符合条件，舍去，
∴$m=\frac{5-\sqrt{17}}{2}$。
(2)
化简T：
$\begin{aligned}T&=\frac{mx_1}{1-x_1}+\frac{mx_2}{1-x_2}\\&=\frac{m[x_1(1-x_2)+x_2(1-x_1)]}{(1-x_1)(1-x_2)}\\&=\frac{m[(x_1+x_2)-2x_1x_2]}{1-(x_1+x_2)+x_1x_2}\end{aligned}$
将$x_1+x_2=4-2m$，$x_1x_2=m^2-3m+3$代入：
分子：$m[(4-2m)-2(m^2-3m+3)]=-2m(m-1)^2$，
分母：$1-(4-2m)+m^2-3m+3=m^2-m=m(m-1)$，
∵$m≠0$，$m＜1$即$m-1≠0$，
约分后得：$T=\frac{-2m(m-1)^2}{m(m-1)}=-2m+2$。
∵$-1 ≤ m ＜ 1$且$m≠0$，
∴$0 ＜ -2m+2 ≤ 4$，且$-2m+2≠2$，
即$0 ＜ T ≤ 4$且$T≠2$。
综上，(1) $m$的值为$\frac{5-\sqrt{17}}{2}$；(2) $T$的取值范围是$0＜T≤4$且$T≠2$。