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1.(2024·云南中考)分解因式:$a^3 -9a=$ (
A.$a(a-3)(a+3)$
B.$a(a^2+9)$
C.$(a-3)(a+3)$
D.$a^2(a-9)$
A
)A.$a(a-3)(a+3)$
B.$a(a^2+9)$
C.$(a-3)(a+3)$
D.$a^2(a-9)$
答案
A 【解析】$a^3-9a=a(a^2-9)=a(a+3)(a-3)$。
2.(2024·广西中考)如果$a+b=3$，$ab=1$，那么$a^3b + 2a^2b^2 + ab^3$的值为（
A.0
B.1
C.4
D.9
D
）A.0
B.1
C.4
D.9
答案
D 【解析】因为 $a + b = 3,ab = 1$, 所以 $a^3b + 2a^2b^2 + ab^3=ab(a^2+2ab+b^2)=ab(a+b)^2=1×3^2=9$。
3. (2024·四川绵阳中考)分解因式：$2x^2 + 8x + 8 =$
2(x+2)²
.答案
$2(x+2)^2$ 【解析】$2x^2+8x+8=2(x^2+4x+4)=2(x+2)^2$。
4. (2024·四川达州中考)分解因式：
$3x^2 - 18x + 27 =$
$3x^2 - 18x + 27 =$
3(x-3)²
.答案
$3(x-3)^2$ 【解析】$3x^2-18x+27=3(x^2-6x+9)=3(x-3)^2$。
5.(2024·北京中考)分解因式：$x^3 -25x =$
x(x+5)(x-5)
答案
$x(x+5)(x-5)$ 【解析】$x^3-25x=x(x^2-25)=x(x+5)(x-5)$。
6.已知$m=5$，$x=y-3$，则代数式$mx^2 - 2mxy + my^2$的值为 （
A.$-15$
B.$25$
C.$-45$
D.$45$
D
）A.$-15$
B.$25$
C.$-45$
D.$45$
答案
D 【解析】因为 $x=y-3$，所以 $x-y=-3$。又 $m=5$，所以 $mx^2-2mxy+my^2=m(x-y)^2=5×(-3)^2=5×9=45$。
7. 分解因式：$-2x^2y + 12xy - 18y =$
-2y(x-3)²
.答案
$-2y(x-3)^2$ 【解析】原式$=-2y(x^2-6x+9)=-2y(x-3)^2$。
8.分解因式$(a - b)(a - 4b) + ab$的结果是
(a-2b)²
答案
$(a-2b)^2$ 【解析】$(a-b)(a-4b)+ab=a^2-5ab+4b^2+ab=a^2-4ab+4b^2=(a-2b)^2$。
9. 分解因式:
(1)$169(a-b)^2 - 196(a+b)^2$;
(2)$8(x^2 - 2y^2) - x(7x + y) + xy$.
(1)$169(a-b)^2 - 196(a+b)^2$;
(2)$8(x^2 - 2y^2) - x(7x + y) + xy$.
答案
【解】(1)原式$=[13(a-b)]^2-[14(a+b)]^2=[13(a-b)+14(a+b)][13(a-b)-14(a+b)]=(27a+b)(-a-27b)=-(27a+b)(a+27b)$。
(2)原式$=8x^2-16y^2-7x^2-xy+xy=x^2-16y^2=(x-4y)(x+4y)$。
(2)原式$=8x^2-16y^2-7x^2-xy+xy=x^2-16y^2=(x-4y)(x+4y)$。
10.“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行因式分解如下.
请在他们解法的启发下解答下列各题.
(1)分解因式:$9x^2 -6xy + y^2 -16$.
(2)若$a,b,c$分别为$△ ABC$三边的长.
①若满足$ac - bc + a^2 -2ab + b^2 =0$,请判断$△ ABC$的形状,并说明理由;
②若满足$a^2 + b^2 =12a +8b -52$,求$c$的取值范围.
请在他们解法的启发下解答下列各题.
(1)分解因式:$9x^2 -6xy + y^2 -16$.
(2)若$a,b,c$分别为$△ ABC$三边的长.
①若满足$ac - bc + a^2 -2ab + b^2 =0$,请判断$△ ABC$的形状,并说明理由;
②若满足$a^2 + b^2 =12a +8b -52$,求$c$的取值范围.
答案
【解】(1)原式$=(9x^2-6xy+y^2)-16=(3x-y)^2-4^2=(3x-y+4)(3x-y-4)$。
(2)①$△ ABC$为等腰三角形,理由如下:
已知 $ac-bc+a^2-2ab+b^2=0$,
变形得$(a-b)c+(a-b)^2=0$,
即$(a-b)(a-b+c)=0$。
因为$a,b,c$分别为$△ ABC$三边的长,
所以$a-b+c＞0$,
所以$a-b=0$,
所以$a=b$,即$△ ABC$为等腰三角形。
②已知$a^2+b^2=12a+8b-52$,
整理得$a^2-12a+36+b^2-8b+16=0$,
即$(a-6)^2+(b-4)^2=0$,
那么$a-6=0,b-4=0$,
解得$a=6,b=4$。
因为$a,b,c$分别为$△ ABC$三边的长,
所以$a-b＜c＜a+b$,即$6-4＜c＜6+4$,
所以$2＜c＜10$,即$c$的取值范围为$2＜c＜10$。
(2)①$△ ABC$为等腰三角形,理由如下:
已知 $ac-bc+a^2-2ab+b^2=0$,
变形得$(a-b)c+(a-b)^2=0$,
即$(a-b)(a-b+c)=0$。
因为$a,b,c$分别为$△ ABC$三边的长,
所以$a-b+c＞0$,
所以$a-b=0$,
所以$a=b$,即$△ ABC$为等腰三角形。
②已知$a^2+b^2=12a+8b-52$,
整理得$a^2-12a+36+b^2-8b+16=0$,
即$(a-6)^2+(b-4)^2=0$,
那么$a-6=0,b-4=0$,
解得$a=6,b=4$。
因为$a,b,c$分别为$△ ABC$三边的长,
所以$a-b＜c＜a+b$,即$6-4＜c＜6+4$,
所以$2＜c＜10$,即$c$的取值范围为$2＜c＜10$。
