登录
11. 已知点$ A(a+1,-1) $与$ B(2,b) $关于原点对称，则$ ab $的值是
-3
。答案
11. -3 解析:
∵A(a+1,-1)与B(2,b)关于原点对称,
∴a+1=-2,b=1,
∴a=-3,
∴ab=-3,故答案为-3.
∵A(a+1,-1)与B(2,b)关于原点对称,
∴a+1=-2,b=1,
∴a=-3,
∴ab=-3,故答案为-3.
解析
【分析】
解题时首先回忆关于原点对称的点的坐标性质：若两个点关于原点对称，则它们的横、纵坐标均互为相反数。结合题目给出的两点坐标，分别对应横、纵坐标列等式求出a、b的值，最后代入计算ab的数值即可。
【解析】
∵点$A(a+1,-1)$与$B(2,b)$关于原点对称，
根据关于原点对称的点的坐标特征，得：
$a+1=-2$，$b=-(-1)=1$，
解得$a=-3$，
∴$ab=(-3)×1=-3$。
【答案】
-3
【知识点】
关于原点对称的点的坐标特征；代数式求值
【点评】
本题是基础题型，重点考查对原点对称坐标变化规律的掌握，熟练掌握相关性质即可快速解题，计算时注意符号不要出错。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆关于原点对称的点的坐标性质：若两个点关于原点对称，则它们的横、纵坐标均互为相反数。结合题目给出的两点坐标，分别对应横、纵坐标列等式求出a、b的值，最后代入计算ab的数值即可。
【解析】
∵点$A(a+1,-1)$与$B(2,b)$关于原点对称，
根据关于原点对称的点的坐标特征，得：
$a+1=-2$，$b=-(-1)=1$，
解得$a=-3$，
∴$ab=(-3)×1=-3$。
【答案】
-3
【知识点】
关于原点对称的点的坐标特征；代数式求值
【点评】
本题是基础题型，重点考查对原点对称坐标变化规律的掌握，熟练掌握相关性质即可快速解题，计算时注意符号不要出错。
【难度系数】
0.9
12. ★★★ 如图,四边形ABCD内接于$\odot O$,PA,PC与$\odot O$分别相切于A,C两点,若$∠ D=70°$,则$∠ P+∠ ABC=$
150
°.答案
12. 150 解析:如图,连接OA,OC.
∵四边形ABCD内接于$\odot O$,
∴∠ABC=180°-∠D=180°-70°=110°,由圆周角定理得,∠AOC=2∠D=140°.
∵PA,PC与$\odot O$分别相切于A,C两点,
∴∠PAO=∠PCO=90°,
∴∠P+∠PAO+∠PCO+∠AOC=360°,
∴∠P=360°-90°-90°-140°=40°,
∴∠P+∠ABC=40°+110°=150°,故答案为150.
解析
【分析】
解题时可按以下思路推导：1. 已知四边形ABCD内接于$\odot O$，$∠ D=70°$，根据圆内接四边形对角互补的性质，可直接求出$∠ ABC$的度数；2. PA、PC是$\odot O$的切线，根据切线的性质，切线垂直于过切点的半径，因此连接OA、OC可得$∠ PAO=∠ PCO=90°$；3. 再根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，求出圆心角$∠ AOC$的度数；4. 最后在四边形PAOC中，利用四边形内角和为$360°$即可求出$∠ P$的度数，将$∠ P$和$∠ ABC$相加得到最终结果。
【解析】
解：如图，连接OA，OC。
∵ 四边形ABCD内接于$\odot O$，
∴ $∠ ABC = 180° - ∠ D = 180° - 70° = 110°$，
由圆周角定理得：$∠ AOC = 2∠ D = 2×70°=140°$。
∵ PA，PC与$\odot O$分别相切于A，C两点，
∴ $∠ PAO = ∠ PCO = 90°$，
∵ 四边形PAOC的内角和为$360°$，
∴ $∠ P + ∠ PAO + ∠ PCO + ∠ AOC = 360°$，
∴ $∠ P = 360° - 90° - 90° - 140° = 40°$，
∴ $∠ P + ∠ ABC = 40° + 110° = 150°$。
【答案】
150
【知识点】
圆内接四边形的性质，切线的性质，圆周角定理
【点评】
本题是圆的性质综合应用题，解题核心是通过作辅助线连接圆心和切点，将已知角度和待求角度关联起来，结合四边形内角和即可求解，熟练掌握圆的基础性质是快速解题的关键。
【难度系数】
0.6
解题时可按以下思路推导：1. 已知四边形ABCD内接于$\odot O$，$∠ D=70°$，根据圆内接四边形对角互补的性质，可直接求出$∠ ABC$的度数；2. PA、PC是$\odot O$的切线，根据切线的性质，切线垂直于过切点的半径，因此连接OA、OC可得$∠ PAO=∠ PCO=90°$；3. 再根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，求出圆心角$∠ AOC$的度数；4. 最后在四边形PAOC中，利用四边形内角和为$360°$即可求出$∠ P$的度数，将$∠ P$和$∠ ABC$相加得到最终结果。
【解析】
解：如图，连接OA，OC。
∵ 四边形ABCD内接于$\odot O$，
∴ $∠ ABC = 180° - ∠ D = 180° - 70° = 110°$，
由圆周角定理得：$∠ AOC = 2∠ D = 2×70°=140°$。
∵ PA，PC与$\odot O$分别相切于A，C两点，
∴ $∠ PAO = ∠ PCO = 90°$，
∵ 四边形PAOC的内角和为$360°$，
∴ $∠ P + ∠ PAO + ∠ PCO + ∠ AOC = 360°$，
∴ $∠ P = 360° - 90° - 90° - 140° = 40°$，
∴ $∠ P + ∠ ABC = 40° + 110° = 150°$。
【答案】
150
【知识点】
圆内接四边形的性质，切线的性质，圆周角定理
【点评】
本题是圆的性质综合应用题，解题核心是通过作辅助线连接圆心和切点，将已知角度和待求角度关联起来，结合四边形内角和即可求解，熟练掌握圆的基础性质是快速解题的关键。
【难度系数】
0.6
13. ★★★ 如图,正六边形ABCDEF的顶点B,C分别在正方形AMNP的边AM,MN上.若AB=4,则CN=
6-2√3
.答案
13. 6-2√3 解析:正六边形每个内角为120°,边长AB=BC=4.点A为正方形顶点,点B在边AM上,所以边AB与边AM在同一直线上.由正六边形内角可知,BC与AM所成锐角为60°,则从B到C的水平距离为4cos60°=2,竖直距离为4sin60°=2√3.故正方形边长MN=AM=AB+2=6,且MC=2√3,所以CN=MN-MC=6-2√3.
解析
【分析】
解题时首先回忆正六边形和正方形的基本性质：正六边形各边相等、每个内角均为120°，正方形各边相等、四个内角均为直角。第一步先根据正六边形内角求出∠CBM的度数，第二步在直角△CBM中利用三角函数或30°直角三角形的边长关系求出BM、CM的长度，第三步根据正方形边长相等求出MN的长度，最后用MN减去CM即可得到CN的长度。
【解析】
∵ 正六边形ABCDEF的内角和为$(6-2)×180°=720°$，
∴ 每个内角的度数为$720°÷6=120°$，且正六边形各边相等，即$AB=BC=4$，$∠ABC=120°$。
∵ 点B在正方形的边AM上，$∠ABM$为平角，
∴ $∠CBM=180°-∠ABC=180°-120°=60°$。
∵ 四边形AMNP是正方形，
∴ $∠M=90°$，$AM=MN$。
在$Rt△CBM$中：
$BM=BC·cos60°=4×\frac{1}{2}=2$，
$CM=BC·sin60°=4×\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$。
∴ 正方形边长$AM=AB+BM=4+2=6$，即$MN=6$，
∴ $CN=MN - CM=6 - 2\sqrt{3}$。
【答案】
$6-2\sqrt{3}$
【知识点】
正多边形的性质；正方形的性质；解直角三角形
【点评】
本题是多边形性质的综合应用题，解题关键是结合正六边形和正方形的角度特征构造直角三角形，找到待求线段和已知线段的数量关系。
【难度系数】
0.6
解题时首先回忆正六边形和正方形的基本性质：正六边形各边相等、每个内角均为120°，正方形各边相等、四个内角均为直角。第一步先根据正六边形内角求出∠CBM的度数，第二步在直角△CBM中利用三角函数或30°直角三角形的边长关系求出BM、CM的长度，第三步根据正方形边长相等求出MN的长度，最后用MN减去CM即可得到CN的长度。
【解析】
∵ 正六边形ABCDEF的内角和为$(6-2)×180°=720°$，
∴ 每个内角的度数为$720°÷6=120°$，且正六边形各边相等，即$AB=BC=4$，$∠ABC=120°$。
∵ 点B在正方形的边AM上，$∠ABM$为平角，
∴ $∠CBM=180°-∠ABC=180°-120°=60°$。
∵ 四边形AMNP是正方形，
∴ $∠M=90°$，$AM=MN$。
在$Rt△CBM$中：
$BM=BC·cos60°=4×\frac{1}{2}=2$，
$CM=BC·sin60°=4×\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$。
∴ 正方形边长$AM=AB+BM=4+2=6$，即$MN=6$，
∴ $CN=MN - CM=6 - 2\sqrt{3}$。
【答案】
$6-2\sqrt{3}$
【知识点】
正多边形的性质；正方形的性质；解直角三角形
【点评】
本题是多边形性质的综合应用题，解题关键是结合正六边形和正方形的角度特征构造直角三角形，找到待求线段和已知线段的数量关系。
【难度系数】
0.6
14. 如图,在边长为2的正方形ABCD中,动点F在边CD上,在射线BF上取一点G,使$∠ AGB=30°$,当动点F从点C出发向终点D运动时,点G的运动路径长为
π
,线段BG的最大值为4
.答案
14. π 4 解析:以AB为边,在AB右侧构造等边三角形AOB.
∵△AOB为等边三角形,
∴∠AOB=60°,OA=OB=AB=2.
∵∠AGB=30°,
∴∠AGB=$\frac{1}{2}∠AOB$,则点G在以点O为圆心,2为半径的$\odot O$上运动.假设当点F与点C重合时,点G在点$G_1$处,当点F与点D重合时,点G在点$G_2$处.
∵四边形ABCD为正方形,
∴∠$G_2BG_1$=45°,
∴∠$G_2OG_1$=2∠$G_2BG_1$=90°,
∴$\overset{\frown}{G_1G_2}=\frac{90πr}{180}=\frac{90π×2}{180}=π$,当BG经过点O时,BG取最大值,此时BG=2BO=4.
∵△AOB为等边三角形,
∴∠AOB=60°,OA=OB=AB=2.
∵∠AGB=30°,
∴∠AGB=$\frac{1}{2}∠AOB$,则点G在以点O为圆心,2为半径的$\odot O$上运动.假设当点F与点C重合时,点G在点$G_1$处,当点F与点D重合时,点G在点$G_2$处.
∵四边形ABCD为正方形,
∴∠$G_2BG_1$=45°,
∴∠$G_2OG_1$=2∠$G_2BG_1$=90°,
∴$\overset{\frown}{G_1G_2}=\frac{90πr}{180}=\frac{90π×2}{180}=π$,当BG经过点O时,BG取最大值,此时BG=2BO=4.
解析
【分析】
首先观察到定边AB长度固定为2，且动点G满足∠AGB=30°为定值，符合“定角对定边”的特征，可结合圆周角定理判断G的运动轨迹为圆弧：定角为圆周角时，对应的圆心角为其2倍即60°，因此以AB为边构造等边△AOB，O即为圆弧所在圆的圆心，半径等于AB长2。接下来确定动点F从C到D运动时，对应G点的起止位置，计算起止点间的圆心角即可求出路径长；求BG的最大值时，根据圆外一点到圆上点的最大距离为该点到圆心的距离加半径，当BG过圆心时取最大值。
【解析】
解：以AB为边，在AB右侧构造等边三角形AOB。
∵△AOB为等边三角形，
∴∠AOB=60°，OA=OB=AB=2。
∵∠AGB=30°，即$∠ AGB=\frac{1}{2}∠ AOB$，
根据圆周角定理，可知点G在以点O为圆心，2为半径的$\odot O$上运动。
当点F与点C重合时，点G在点$G_1$处；当点F与点D重合时，点G在点$G_2$处。
∵四边形ABCD为正方形，
∴$∠ G_2BG_1=45°$，
根据圆周角定理，同弧所对圆心角是圆周角的2倍，得$∠ G_2OG_1=2∠ G_2BG_1=90°$，
∴弧$\overset{\frown}{G_1G_2}$的长为$\frac{nπ r}{180}=\frac{90π×2}{180}=π$，即点G的运动路径长为$π$。
当BG经过圆心O时，BG取最大值，此时$BG=OB+OG=2+2=4$。
【答案】
$π$；$4$
【知识点】
圆周角定理；弧长计算；圆的最值问题
【点评】
本题是典型的动态几何轨迹问题，解题核心是通过“定角对定边”的特征判断出动点的轨迹为圆弧，将动态运动路径转化为圆弧长度计算，最值问题结合圆的性质求解，能有效考查几何综合分析能力。
【难度系数】
0.3
首先观察到定边AB长度固定为2，且动点G满足∠AGB=30°为定值，符合“定角对定边”的特征，可结合圆周角定理判断G的运动轨迹为圆弧：定角为圆周角时，对应的圆心角为其2倍即60°，因此以AB为边构造等边△AOB，O即为圆弧所在圆的圆心，半径等于AB长2。接下来确定动点F从C到D运动时，对应G点的起止位置，计算起止点间的圆心角即可求出路径长；求BG的最大值时，根据圆外一点到圆上点的最大距离为该点到圆心的距离加半径，当BG过圆心时取最大值。
【解析】
解：以AB为边，在AB右侧构造等边三角形AOB。
∵△AOB为等边三角形，
∴∠AOB=60°，OA=OB=AB=2。
∵∠AGB=30°，即$∠ AGB=\frac{1}{2}∠ AOB$，
根据圆周角定理，可知点G在以点O为圆心，2为半径的$\odot O$上运动。
当点F与点C重合时，点G在点$G_1$处；当点F与点D重合时，点G在点$G_2$处。
∵四边形ABCD为正方形，
∴$∠ G_2BG_1=45°$，
根据圆周角定理，同弧所对圆心角是圆周角的2倍，得$∠ G_2OG_1=2∠ G_2BG_1=90°$，
∴弧$\overset{\frown}{G_1G_2}$的长为$\frac{nπ r}{180}=\frac{90π×2}{180}=π$，即点G的运动路径长为$π$。
当BG经过圆心O时，BG取最大值，此时$BG=OB+OG=2+2=4$。
【答案】
$π$；$4$
【知识点】
圆周角定理；弧长计算；圆的最值问题
【点评】
本题是典型的动态几何轨迹问题，解题核心是通过“定角对定边”的特征判断出动点的轨迹为圆弧，将动态运动路径转化为圆弧长度计算，最值问题结合圆的性质求解，能有效考查几何综合分析能力。
【难度系数】
0.3
三、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)
15. 如图,在由边长为1个单位的小正方形组成的网格中,点A,B均为格点(网格线的交点).
(1)画出线段AB关于直线l对称的线段$A_{1}B_{1}$;
(2)画出线段AB绕着点B顺时针旋转$90°$得到的线段$A_{2}B$;
(3)在(2)的条件下求出点A运动的路径长.
15. 如图,在由边长为1个单位的小正方形组成的网格中,点A,B均为格点(网格线的交点).
(1)画出线段AB关于直线l对称的线段$A_{1}B_{1}$;
(2)画出线段AB绕着点B顺时针旋转$90°$得到的线段$A_{2}B$;
(3)在(2)的条件下求出点A运动的路径长.
答案
15. (1)如图,$A_1B_1$即为所求.
(2)如图,$A_2B$即为所求.
(3)由图易得,$AB=\sqrt{5^2+2^2}=\sqrt{29}$,
∴点A运动的路径长为$\frac{90π×\sqrt{29}}{180}=\frac{\sqrt{29}}{2}π$.
解析
【分析】
(1) 作线段关于直线的对称线段，依据轴对称的性质：对应点的连线被对称轴垂直平分，先确定点A、B关于直线l的对称点A₁、B₁，再连接两点即可得到对称线段。
(2) 作旋转后的线段，依据旋转的性质：旋转前后对应线段长度相等，旋转角相等，将线段BA绕点B顺时针旋转90°，结合网格特征找到点A的对应点A₂，连接BA₂即可。
(3) 点A的运动路径是一段圆弧，圆心为点B，半径为AB的长度，圆心角为旋转角90°，因此先利用勾股定理求出AB的长，再代入弧长公式计算路径长即可。
【解析】
(1) 分别过点A、B作直线l的垂线，在垂线上取与原点点到直线l距离相等的点，得到A的对称点A₁，B的对称点B₁，连接A₁B₁，即为所求对称线段。
(2) 绕点B顺时针旋转90°，根据网格中垂直且等长的特征，确定点A旋转后的对应点A₂，连接BA₂，即为所求旋转后的线段。
(3) 首先由网格特征，利用勾股定理计算AB的长度：AB横向间隔2个单位，纵向间隔5个单位，因此$AB=\sqrt{2^2+5^2}=\sqrt{29}$。
点A绕点B顺时针旋转90°，运动路径为圆心角90°、半径为$\sqrt{29}$的圆弧，根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（其中n为圆心角度数，r为半径），代入数据得：
路径长$=\frac{90π×\sqrt{29}}{180}=\frac{\sqrt{29}}{2}π$。
【答案】
(1) 如图,$A_1B_1$即为所求.
(2) 如图,$A_2B$即为所求.
(3) 点A运动的路径长为$\frac{\sqrt{29}}{2}π$。
【知识点】
轴对称作图，旋转作图，弧长计算
【点评】
本题结合网格考查图形变换作图与弧长计算，核心是掌握轴对称、旋转的性质来找准对应点，计算路径长时要先明确运动轨迹的类型，再结合对应公式求解，属于基础类综合题。
【难度系数】
0.7
(1) 作线段关于直线的对称线段，依据轴对称的性质：对应点的连线被对称轴垂直平分，先确定点A、B关于直线l的对称点A₁、B₁，再连接两点即可得到对称线段。
(2) 作旋转后的线段，依据旋转的性质：旋转前后对应线段长度相等，旋转角相等，将线段BA绕点B顺时针旋转90°，结合网格特征找到点A的对应点A₂，连接BA₂即可。
(3) 点A的运动路径是一段圆弧，圆心为点B，半径为AB的长度，圆心角为旋转角90°，因此先利用勾股定理求出AB的长，再代入弧长公式计算路径长即可。
【解析】
(1) 分别过点A、B作直线l的垂线，在垂线上取与原点点到直线l距离相等的点，得到A的对称点A₁，B的对称点B₁，连接A₁B₁，即为所求对称线段。
(2) 绕点B顺时针旋转90°，根据网格中垂直且等长的特征，确定点A旋转后的对应点A₂，连接BA₂，即为所求旋转后的线段。
(3) 首先由网格特征，利用勾股定理计算AB的长度：AB横向间隔2个单位，纵向间隔5个单位，因此$AB=\sqrt{2^2+5^2}=\sqrt{29}$。
点A绕点B顺时针旋转90°，运动路径为圆心角90°、半径为$\sqrt{29}$的圆弧，根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（其中n为圆心角度数，r为半径），代入数据得：
路径长$=\frac{90π×\sqrt{29}}{180}=\frac{\sqrt{29}}{2}π$。
【答案】
(1) 如图,$A_1B_1$即为所求.
(2) 如图,$A_2B$即为所求.
(3) 点A运动的路径长为$\frac{\sqrt{29}}{2}π$。
【知识点】
轴对称作图，旋转作图，弧长计算
【点评】
本题结合网格考查图形变换作图与弧长计算，核心是掌握轴对称、旋转的性质来找准对应点，计算路径长时要先明确运动轨迹的类型，再结合对应公式求解，属于基础类综合题。
【难度系数】
0.7
16. 如图，$\odot O$的直径AB为10 cm，弦BC为8 cm，$∠ ACB$的平分线交$\odot O$于点D，连接AD，BD，求四边形ACBD的面积。
答案
16.
∵AB为$\odot O$的直径,
∴∠ADB=90°.又
∵CD平分∠ACB,即∠ACD=∠BCD,
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$,
∴AD=BD.在Rt△ABD中,AD=BD,
∴$AD=BD=\frac{\sqrt{2}}{2}AB=5\sqrt{2}$ cm,
∴$S_{△ABD}=\frac{1}{2}AD·BD=\frac{1}{2}×5\sqrt{2}×5\sqrt{2}=25(\mathrm{cm}^2)$.在Rt△ABC中,$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6(\mathrm{cm})$,
∴$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AC·BC=\frac{1}{2}×6×8=24(\mathrm{cm}^2)$,
∴$S_{四边形ACBD}=S_{△ABD}+S_{△ABC}=25+24=49(\mathrm{cm}^2)$.
∵AB为$\odot O$的直径,
∴∠ADB=90°.又
∵CD平分∠ACB,即∠ACD=∠BCD,
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$,
∴AD=BD.在Rt△ABD中,AD=BD,
∴$AD=BD=\frac{\sqrt{2}}{2}AB=5\sqrt{2}$ cm,
∴$S_{△ABD}=\frac{1}{2}AD·BD=\frac{1}{2}×5\sqrt{2}×5\sqrt{2}=25(\mathrm{cm}^2)$.在Rt△ABC中,$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6(\mathrm{cm})$,
∴$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AC·BC=\frac{1}{2}×6×8=24(\mathrm{cm}^2)$,
∴$S_{四边形ACBD}=S_{△ABD}+S_{△ABC}=25+24=49(\mathrm{cm}^2)$.
解析
【分析】
解题时首先观察到AB是圆的直径，根据圆周角定理可直接得到△ACB和△ADB都是直角三角形；接下来看CD是∠ACB的平分线，根据同圆中相等的圆周角所对的弧相等，可得弧AD=弧BD，进一步推出AD=BD，即△ABD是等腰直角三角形，可先计算它的面积；再在Rt△ABC中用勾股定理求出AC的长度，计算△ABC的面积，最后两个三角形面积相加就是四边形ACBD的面积。
【解析】
解：
∵AB为$\odot O$的直径，
∴$∠ ACB=∠ ADB=90°$，
∵CD平分$∠ ACB$，即$∠ ACD=∠ BCD$，
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$，
∴$AD=BD$，
在Rt△ABD中，$AD=BD$，$AB=10\mathrm{cm}$，
∴$AD=BD=\frac{\sqrt{2}}{2}AB=5\sqrt{2}\mathrm{cm}$，
∴$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}AD· BD=\frac{1}{2}×5\sqrt{2}×5\sqrt{2}=25(\mathrm{cm}^2)$，
在Rt△ABC中，$AB=10\mathrm{cm}$，$BC=8\mathrm{cm}$，
由勾股定理得$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6(\mathrm{cm})$，
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}×6×8=24(\mathrm{cm}^2)$，
∴$S_{四边形ACBD}=S_{△ ABD}+S_{△ ABC}=25+24=49(\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
$49\mathrm{cm}^2$
【知识点】
圆周角定理，弧与弦的关系，勾股定理
【点评】
本题将圆的性质与直角三角形的计算相结合，解题的核心是利用直径的性质得到两个直角三角形，再结合角平分线的性质判断出△ABD为等腰直角三角形，分别计算两个三角形面积后求和即可，属于圆的基础综合题。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察到AB是圆的直径，根据圆周角定理可直接得到△ACB和△ADB都是直角三角形；接下来看CD是∠ACB的平分线，根据同圆中相等的圆周角所对的弧相等，可得弧AD=弧BD，进一步推出AD=BD，即△ABD是等腰直角三角形，可先计算它的面积；再在Rt△ABC中用勾股定理求出AC的长度，计算△ABC的面积，最后两个三角形面积相加就是四边形ACBD的面积。
【解析】
解：
∵AB为$\odot O$的直径，
∴$∠ ACB=∠ ADB=90°$，
∵CD平分$∠ ACB$，即$∠ ACD=∠ BCD$，
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$，
∴$AD=BD$，
在Rt△ABD中，$AD=BD$，$AB=10\mathrm{cm}$，
∴$AD=BD=\frac{\sqrt{2}}{2}AB=5\sqrt{2}\mathrm{cm}$，
∴$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}AD· BD=\frac{1}{2}×5\sqrt{2}×5\sqrt{2}=25(\mathrm{cm}^2)$，
在Rt△ABC中，$AB=10\mathrm{cm}$，$BC=8\mathrm{cm}$，
由勾股定理得$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6(\mathrm{cm})$，
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}×6×8=24(\mathrm{cm}^2)$，
∴$S_{四边形ACBD}=S_{△ ABD}+S_{△ ABC}=25+24=49(\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
$49\mathrm{cm}^2$
【知识点】
圆周角定理，弧与弦的关系，勾股定理
【点评】
本题将圆的性质与直角三角形的计算相结合，解题的核心是利用直径的性质得到两个直角三角形，再结合角平分线的性质判断出△ABD为等腰直角三角形，分别计算两个三角形面积后求和即可，属于圆的基础综合题。
【难度系数】
0.7
四、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
17. 如图，在$△ AOB$中，$AB = 16$，$OA = OB$，$∠ AOB = 106°$，点$C$在边$AB$上，$\odot O$经过点$C$，分别交$OA$，$OB$于点$E$，$F$，且$\overset{\frown}{CE} = \overset{\frown}{CF}$.
（1）求证：$AB$为$\odot O$的切线；
（2）求图中阴影部分的面积.（结果保留$π$，$\sin 37° \approx 0.6$，$\cos 37° \approx 0.8$，$\tan 37° \approx 0.75$）
17. 如图，在$△ AOB$中，$AB = 16$，$OA = OB$，$∠ AOB = 106°$，点$C$在边$AB$上，$\odot O$经过点$C$，分别交$OA$，$OB$于点$E$，$F$，且$\overset{\frown}{CE} = \overset{\frown}{CF}$.
（1）求证：$AB$为$\odot O$的切线；
（2）求图中阴影部分的面积.（结果保留$π$，$\sin 37° \approx 0.6$，$\cos 37° \approx 0.8$，$\tan 37° \approx 0.75$）
答案
17. (1)如图,连接OC.
∵$\overset{\frown}{CE}=\overset{\frown}{CF}$,
∴∠AOC=∠BOC.
∵OA=OB,
∴OC⊥AB.又
∵OC是$\odot O$的半径,点C在边AB上,
∴AB为$\odot O$的切线.
(2)
∵OA=OB,∠AOB=106°,
∴∠A=∠B=(180°-106°)÷2=37°.
∵OC⊥AB,OA=OB,
∴$AC=BC=\frac{1}{2}AB=8$,
∴$\tan A=\frac{OC}{AC}=\frac{OC}{8}≈0.75$,OC=6,
∴图中阴影部分的面积=$S_{△AOB}-S_{扇形EOF}=\frac{1}{2}×16×6-\frac{106×π×6^2}{360}=48-\frac{53}{5}π$.
解析
【分析】
(1) 要证明AB是$\odot O$的切线，根据切线判定定理，需证明AB垂直于过切点的半径。已知$\odot O$经过点C，因此连接OC，只需证$OC⊥ AB$即可。由$\overset{\frown}{CE}=\overset{\frown}{CF}$可得圆心角$∠ AOC=∠ BOC$，结合$OA=OB$，$△ AOB$是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质，即可得到$OC⊥ AB$，完成切线证明。
(2) 阴影部分面积可通过“整体减空白”的思路求解，即$S_{阴影}=S_{△ AOB}-S_{扇形EOF}$。首先由等腰三角形性质求出$∠ A=37°$、$AC=8$，再利用$\tan37°$求出半径OC的长度，分别计算$△ AOB$和扇形$EOF$的面积，作差即可得到阴影面积。
【解析】
(1) 证明：如图，连接OC。
∵$\overset{\frown}{CE}=\overset{\frown}{CF}$，同圆中等弧所对的圆心角相等，
∴$∠ AOC=∠ BOC$。
又
∵$OA=OB$，$△ AOB$为等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质，
∴$OC⊥ AB$。
∵OC是$\odot O$的半径，且点C在AB上，
∴AB为$\odot O$的切线。
(2) 解：
∵$OA=OB$，$∠ AOB=106°$，
∴$∠ A=∠ B=(180°-∠ AOB)÷2=(180°-106°)÷2=37°$。
∵$OC⊥ AB$，$OA=OB$，
∴C为AB中点，$AC=BC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×16=8$。
在$Rt△ AOC$中，$\tan A=\frac{OC}{AC}$，代入$\tan37°\approx0.75$，$AC=8$，
得$OC=AC·\tan A\approx8×0.75=6$。
∴$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}× AB× OC=\frac{1}{2}×16×6=48$，
扇形$EOF$的圆心角为$∠ AOB=106°$，半径$r=OC=6$，
∴$S_{扇形EOF}=\frac{nπ r^2}{360}=\frac{106×π×6^2}{360}=\frac{53}{5}π$。
∴阴影部分面积=$S_{△ AOB}-S_{扇形EOF}=48-\frac{53}{5}π$。
【答案】
(1) AB为$\odot O$的切线，证明见解析；
(2) $\boldsymbol{48-\dfrac{53}{5}π}$
【知识点】
切线的判定；等腰三角形的性质；扇形面积计算
【点评】
本题是圆与三角形结合的常考题型，解题核心是连接OC构造辅助线，既可以结合等弧性质和等腰三角形性质证明切线，也能得到计算面积所需的半径长度，熟练掌握相关判定定理和面积公式即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明AB是$\odot O$的切线，根据切线判定定理，需证明AB垂直于过切点的半径。已知$\odot O$经过点C，因此连接OC，只需证$OC⊥ AB$即可。由$\overset{\frown}{CE}=\overset{\frown}{CF}$可得圆心角$∠ AOC=∠ BOC$，结合$OA=OB$，$△ AOB$是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质，即可得到$OC⊥ AB$，完成切线证明。
(2) 阴影部分面积可通过“整体减空白”的思路求解，即$S_{阴影}=S_{△ AOB}-S_{扇形EOF}$。首先由等腰三角形性质求出$∠ A=37°$、$AC=8$，再利用$\tan37°$求出半径OC的长度，分别计算$△ AOB$和扇形$EOF$的面积，作差即可得到阴影面积。
【解析】
(1) 证明：如图，连接OC。
∵$\overset{\frown}{CE}=\overset{\frown}{CF}$，同圆中等弧所对的圆心角相等，
∴$∠ AOC=∠ BOC$。
又
∵$OA=OB$，$△ AOB$为等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质，
∴$OC⊥ AB$。
∵OC是$\odot O$的半径，且点C在AB上，
∴AB为$\odot O$的切线。
(2) 解：
∵$OA=OB$，$∠ AOB=106°$，
∴$∠ A=∠ B=(180°-∠ AOB)÷2=(180°-106°)÷2=37°$。
∵$OC⊥ AB$，$OA=OB$，
∴C为AB中点，$AC=BC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×16=8$。
在$Rt△ AOC$中，$\tan A=\frac{OC}{AC}$，代入$\tan37°\approx0.75$，$AC=8$，
得$OC=AC·\tan A\approx8×0.75=6$。
∴$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}× AB× OC=\frac{1}{2}×16×6=48$，
扇形$EOF$的圆心角为$∠ AOB=106°$，半径$r=OC=6$，
∴$S_{扇形EOF}=\frac{nπ r^2}{360}=\frac{106×π×6^2}{360}=\frac{53}{5}π$。
∴阴影部分面积=$S_{△ AOB}-S_{扇形EOF}=48-\frac{53}{5}π$。
【答案】
(1) AB为$\odot O$的切线，证明见解析；
(2) $\boldsymbol{48-\dfrac{53}{5}π}$
【知识点】
切线的判定；等腰三角形的性质；扇形面积计算
【点评】
本题是圆与三角形结合的常考题型，解题核心是连接OC构造辅助线，既可以结合等弧性质和等腰三角形性质证明切线，也能得到计算面积所需的半径长度，熟练掌握相关判定定理和面积公式即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
