8. 如图，$∠ APD=90°$，$AP=PB=BC=CD$，则下列结论成立的是（）


A.$△ PAB ∽ △ PCA$
B.$△ PAB ∽ △ PDA$
C.$△ ABC ∽ △ DBA$
D.$△ ABC ∽ △ DCA$

8. C 解析: $\because ∠ APD=90°$, 而 $∠ PAB ≠ ∠ PCA$, $∠ PBA ≠ ∠ PAC$,$\therefore$ 无法判定$△ PAB$ 与$△ PCA$ 相似,故 A 错误;同理,无法判定$△ PAB$ 与$△ PDA$,$△ ABC$ 与$△ DCA$ 相似,故 B,D 错误;$\because ∠ APD=90°$,$AP=PB=BC=CD$,$\therefore AB=\sqrt{2} PA$,$BD=2PA$,$\therefore \frac{AB}{DB}=\frac{\sqrt{2} PA}{2 PA}=\frac{\sqrt{2}}{2}$,$\frac{BC}{BA}=\frac{PA}{\sqrt{2} PA}=\frac{\sqrt{2}}{2}$,$\therefore \frac{AB}{DB}=\frac{BC}{BA}$.又$\because ∠ ABC=∠ DBA$,$\therefore △ ABC ∽ △ DBA$,故 C 正确.故选 C.

【分析】
要解决这道相似三角形判定的题目，可按以下思路思考：第一步，设参数简化计算，题目给出$AP=PB=BC=CD$，我们可以设每条相等线段的长度为$a$，方便后续用勾股定理计算各三角形的边长；第二步，逐个分析选项：先判断两个三角形的角是否存在相等关系（比如公共角），再计算对应边的比值，验证是否满足相似三角形的判定条件（两边成比例且夹角相等、两角相等、三边成比例），不符合的直接排除，符合的即为正确选项。
【解析】
设$AP=PB=BC=CD=a$，
$\because ∠ APD=90°$，
$\therefore$ 在$Rt△ APB$中，由勾股定理得：$AB=\sqrt{AP^2+PB^2}=\sqrt{a^2+a^2}=\sqrt{2}a$，$BD=BC+CD=2a$。
逐一分析选项：
选项A：$△ PAB$是等腰直角三角形，$∠ PBA=45°$，而$△ PCA$中$∠ PCA＜45°$，对应角不相等，无法判定相似，故A错误；
选项B：$△ PAB$中$∠ PAB=45°$，$△ PDA$中$\tan∠ PDA=\frac{AP}{PD}=\frac{1}{3}$，显然$∠ PDA≠45°$，对应角不相等，无法判定相似，故B错误；
选项C：在$△ ABC$和$△ DBA$中，
$\frac{AB}{DB}=\frac{\sqrt{2}a}{2a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{BC}{BA}=\frac{a}{\sqrt{2}a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，即$\frac{AB}{DB}=\frac{BC}{BA}$，
又$\because ∠ ABC=∠ DBA$（公共角），
$\therefore$ 根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得$△ ABC ∽ △ DBA$，故C正确；
选项D：$△ ABC$和$△ DCA$的对应边比值不相等，对应角也不相等，无法判定相似，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；相似三角形的判定
【点评】
这道题结合了勾股定理和相似三角形判定的知识点，通过设参数的方法可快速计算出各边长度，再结合相似三角形的判定定理逐一验证选项，排除法是解决这类选择题的常用技巧。
【难度系数】
0.6

9. |分类讨论思想 已知$△ ABC$的三边长分别为20 cm,50 cm,60 cm,现要利用长度分别为30 cm和60 cm的细木条各一根,做一个三角形木架与$△ ABC$相似,要求以其中一根为一边,将另一根截成两段(允许有余料)作为另外两边,那么另外两边的长度(单位:cm)分别为 ()

A.10,25
B.10,36或12,36
C.12,36
D.10,25或12,36

9. D 解析: (1)当以 30 cm 的一根为边时.①30 cm 的边与$△ ABC$ 中的 20 cm 是对应边时,根据相似三角形的对应边成比例,可求得另两边长是 75 cm 和 90 cm,它们的和大于60 cm,应舍去.②30 cm 的边与$△ ABC$ 中的 50 cm 是对应边时,根据相似三角形的对应边成比例,可求得另两边长是12 cm 和 36 cm,它们的和小于 60 cm,符合条件.③30 cm 的边与$△ ABC$ 中的 60 cm 是对应边时,根据相似三角形的对应边成比例,可求得另两边长是 10 cm 和 25 cm,它们的和小于60 cm,符合条件.(2)当以 60 cm 的一根为边时,不论与哪一条边是对应边都不满足条件.故选 D.

【分析】
本题需结合相似三角形对应边成比例的性质，采用分类讨论思想求解。首先明确两种讨论大前提：一是以30cm木条为三角形的一边，将60cm木条截为两段；二是以60cm木条为三角形的一边，将30cm木条截为两段。再针对每种前提，分3种对应边的情况计算另外两边的长度，最后根据“截成的两段和不大于原木条长度”“三角形两边之和大于第三边”两个条件筛选符合的结果即可。
【解析】
我们分两种大情况讨论：
1. 当以60cm的细木条为一边时：
即使60cm的边与原△ABC最长边60cm对应，相似比为1，另外两边需为20cm和50cm，二者之和为70cm＞30cm，无法用30cm的木条截得，故该类情况全部排除。
2. 当以30cm的细木条为一边时，分3种对应情况：
① 若30cm的边与原△ABC的20cm边对应：相似比为$\frac{30}{20}=\frac{3}{2}$，则另外两边长为$50×\frac{3}{2}=75$cm，$60×\frac{3}{2}=90$cm，二者之和为165cm＞60cm，不符合要求，舍去；
② 若30cm的边与原△ABC的50cm边对应：相似比为$\frac{30}{50}=\frac{3}{5}$，则另外两边长为$20×\frac{3}{5}=12$cm，$60×\frac{3}{5}=36$cm，二者之和为48cm＜60cm，且12+36＞30，符合三角形三边关系，符合要求；
③ 若30cm的边与原△ABC的60cm边对应：相似比为$\frac{30}{60}=\frac{1}{2}$，则另外两边长为$20×\frac{1}{2}=10$cm，$50×\frac{1}{2}=25$cm，二者之和为35cm＜60cm，且10+25＞30，符合三角形三边关系，符合要求。
综上，另外两边的长度为10,25或12,36。
【答案】D
【知识点】相似三角形的性质；分类讨论思想；三角形三边关系
【点评】本题解题的关键是明确分类讨论的标准，做到不重不漏，同时要注意结合截木条的余料要求和三角形三边关系对计算结果进行筛选，避免出现理论上相似但实际无法制作的错误。
【难度系数】0.6

10. △ABC的边长分别为$a,b,c$,△$A_1B_1C_1$的边长分别为$\sqrt{a},\sqrt{b},\sqrt{c}$,则△ABC与△$A_1B_1C_1$(选填“一定”“不一定”“一定不”)相似.

10. 不一定 解析: $\because △ ABC$ 的边长分别为 $a,b,c$,$△ A_1 B_1 C_1$的边长分别$\sqrt{a},\sqrt{b},\sqrt{c}$,$\therefore$ 两个三角形对应边的比分别为$\frac{a}{\sqrt{a}}=\sqrt{a}$,$\frac{b}{\sqrt{b}}=\sqrt{b}$,$\frac{c}{\sqrt{c}}=\sqrt{c}$,当 $a=b=c$ 时,$\frac{a}{\sqrt{a}}=\frac{b}{\sqrt{b}}=\frac{c}{\sqrt{c}}$,这两个三角形相似,当 $a ≠ b ≠ c$ 时,$\frac{a}{\sqrt{a}} ≠ \frac{b}{\sqrt{b}} ≠ \frac{c}{\sqrt{c}}$,这两个三角形不相似,$\therefore △ ABC$ 与$△ A_1 B_1 C_1$ 不一定相似.故答案为不一定.

【分析】
要判断两个三角形是否相似，依据相似三角形的判定定理：三边对应成比例的两个三角形相似。首先计算两个三角形对应边的比值，化简后得到三个比值分别为$\sqrt{a}$、$\sqrt{b}$、$\sqrt{c}$。接下来分情况讨论：若原△ABC是等边三角形，即a=b=c，此时三个比值相等，两三角形相似；若原△ABC不是等边三角形，三个比值不相等，两三角形不相似。结合两种不同情况的结果，即可得出最终结论。
【解析】
已知△ABC的边长分别为$a,b,c$，△$A_1B_1C_1$的边长分别为$\sqrt{a},\sqrt{b},\sqrt{c}$，
则两个三角形对应边的比分别为：$\frac{a}{\sqrt{a}}=\sqrt{a}$，$\frac{b}{\sqrt{b}}=\sqrt{b}$，$\frac{c}{\sqrt{c}}=\sqrt{c}$。
当$a=b=c$时，$\sqrt{a}=\sqrt{b}=\sqrt{c}$，即两个三角形三边对应成比例，此时两三角形相似；
当$a、b、c$不全相等时，$\sqrt{a}、\sqrt{b}、\sqrt{c}$不全相等，即三边对应比不相等，此时两三角形不相似。
因此△ABC与△$A_1B_1C_1$不一定相似。
【答案】
不一定
【知识点】
相似三角形的判定、二次根式化简、分类讨论
【点评】
本题围绕相似三角形的判定设置，需要结合分类讨论思想分析特殊、一般两种情况，易错点是容易忽略等边三角形的特殊情形，直接误判为一定不相似。
【难度系数】
0.7

11. ★★★（昆明中考）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫作格点三角形.如图，△ABC是格点三角形，在图中的6×6正方形网格中作出格点三角形△ADE（不含△ABC），使得△ADE∽△ABC（同一位置的格点三角形△ADE只算一个），这样的格点三角形一共有个.

11. 6 解析: 如图,
所以使得$△ ADE ∽ △ ABC$ 的格点三角形一共有 6 个.

【分析】
要解决本题，首先需运用相似三角形的判定定理3（三边对应成比例的两个三角形相似）：第一步设每个小正方形边长为1，计算出△ABC三边的长度，得到三边的比值；接下来在6×6网格中，以格点为顶点，寻找所有三边长度比值与△ABC三边比值相等的格点三角形，注意排除原△ABC本身，最后统计符合条件的三角形总数即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，计算可得△ABC的三边长分别为：$BC=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，$AB=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$，$AC=\sqrt{3^2+4^2}=5$，即△ABC的三边比值为$2\sqrt{2}:2\sqrt{5}:5$。
根据“三边对应成比例的两个三角形相似”，在网格中寻找满足上述三边比值的格点三角形，排除△ABC本身，作图如下：

经计数，符合条件的格点三角形共有6个。
【答案】
6
【知识点】
相似三角形的判定，格点图形计数
【点评】
本题结合网格考查相似三角形的判定，需要学生熟练掌握相似三角形的判定定理，同时具备一定的作图能力和分类计数意识，解题时易出现漏数、重复计数的错误。
【难度系数】
0.4

12. 如图,点B,D,E在一条直线上,BE与AC相交于点F,$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}=\frac{AC}{AE}$。
(1)求证:$∠ BAD=∠ CAE$；
(2)若$∠ BAD=21°$,求$∠ EBC$的度数；
(3)连接EC,求证:$△ ABD ∽ △ ACE$。

12. (1) $\because \frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}=\frac{AC}{AE}$,$\therefore △ ABC ∽ △ ADE$,$\therefore ∠ BAC=∠ DAE$,$\therefore ∠ BAC-∠ DAF=∠ DAE-∠ DAF$,即$∠ BAD=∠ CAE$.
(2) $\because △ ABC ∽ △ ADE$,$\therefore ∠ ABC=∠ ADE$. $\because ∠ ABC=∠ ABE+∠ EBC$,$∠ ADE=∠ ABE+∠ BAD$,$\therefore ∠ EBC=∠ BAD=21°$.
(3) 由 (1) 得 $∠ BAD=∠ CAE$. $\because \frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$,$\therefore \frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$,$\therefore △ ABD ∽ △ ACE$.

【分析】
(1) 要证∠BAD=∠CAE，首先根据已知的三组边对应成比例，利用“三边对应成比例的两个三角形相似”证明△ABC∽△ADE，得到对应角∠BAC=∠DAE，两个角同时减去公共角∠DAF，即可推出待证的等角关系。
(2) 求∠EBC的度数时，仍借助△ABC∽△ADE的性质得到∠ABC=∠ADE，再结合三角形外角的性质，将两个角拆分后做等量代换，即可得到∠EBC和已知∠BAD的等量关系，代入数值计算即可。
(3) 要证△ABD∽△ACE，已由(1)得到夹角∠BAD=∠CAE，将已知的边的比例式变形，得到两组对应边成比例，即可根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”完成证明。
【解析】
(1) 证明：$\because \frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}=\frac{AC}{AE}$，
$\therefore △ ABC ∽ △ ADE$，
$\therefore ∠ BAC=∠ DAE$，
$\therefore ∠ BAC-∠ DAF=∠ DAE-∠ DAF$，
即$∠ BAD=∠ CAE$。
(2) 解：$\because △ ABC ∽ △ ADE$，
$\therefore ∠ ABC=∠ ADE$，
$\because ∠ ABC=∠ ABE+∠ EBC$，$∠ ADE=∠ ABE+∠ BAD$，
$\therefore ∠ EBC=∠ BAD=21°$。
(3) 证明：由 (1) 得 $∠ BAD=∠ CAE$，
$\because \frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$，
$\therefore \frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$，
$\therefore △ ABD ∽ △ ACE$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) $\boldsymbol{21°}$；(3) 证明见上述解析
【知识点】
相似三角形判定、相似三角形性质、三角形外角性质
【点评】
本题是相似三角形的常见综合题型，核心考查相似三角形的判定与性质的灵活运用，解题时要能根据已知的边成比例条件快速判定相似，再结合角的和差关系、比例式变形推导所需结论，对逻辑推理能力有一定的基础要求。
【难度系数】
0.7

13. 如图,在$△ ABC$和$△ A'B'C'$中,$D,D'$分别是$AB,A'B'$上的一点,$\frac{AD}{AB}=\frac{A'D'}{A'B'}$.
(1)当$\frac{CD}{C'D'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{AB}{A'B'}$时,求证$△ ABC ∽ △ A'B'C'$.
证明途径可用下面的框图表示,请填写其中的空格.

(2)当$\frac{CD}{C'D'}=\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}$时,判断$△ ABC$与$△ A'B'C'$是否相似,并说明理由.

13. (1) $\frac{CD}{C' D'}=\frac{AC}{A' C'}=\frac{AD}{A' D'}$ $∠ A=∠ A'$ 解析: $\because \frac{AD}{AB}=\frac{A' D'}{A' B'}$,$\therefore \frac{AB}{A' B'}=\frac{AD}{A' D'}$.$\because \frac{CD}{C' D'}=\frac{AC}{A' C'}=\frac{AB}{A' B'}$,$\therefore \frac{CD}{C' D'}=\frac{AC}{A' C'}=\frac{AD}{A' D'}$,$\therefore △ ADC ∽ △ A' D' C'$,$\therefore ∠ A=∠ A'$. $\because \frac{AC}{A' C'}=\frac{AB}{A' B'}$,$\therefore △ ABC ∽ △ A' B' C'$. 故答案为 $\frac{CD}{C' D'}=\frac{AC}{A' C'}=\frac{AD}{A' D'}$;$∠ A=∠ A'$.
(2) $△ ABC$ 与 $△ A' B' C'$ 相似,理由如下: $\because \frac{AD}{AB}=\frac{A' D'}{A' B'}$,$\therefore \frac{AB-AD}{AB}=\frac{A' B'-A' D'}{A' B'}$, 即 $\frac{BD}{AB}=\frac{B' D'}{A' B'}$,$\therefore \frac{BD}{B' D'}=\frac{AB}{A' B'}$.又$\because \frac{CD}{C' D'}=\frac{AB}{A' B'}=\frac{BC}{B' C'}$,$\therefore \frac{CD}{C' D'}=\frac{BD}{B' D'}=\frac{BC}{B' C'}$,$\therefore △ BDC ∽ △ B' D' C'$,$\therefore ∠ DBC=∠ D' B' C'$. 又 $\because \frac{BC}{B' C'}=\frac{AB}{A' B'}$,$\therefore △ ABC ∽ △ A' B' C'$.

【分析】
(1) 要证明$△ ABC ∽ △ A'B'C'$，已知$\frac{AC}{A'C'}=\frac{AB}{A'B'}$，只需证明两边的夹角$∠ A=∠ A'$即可。先利用已知的$\frac{AD}{AB}=\frac{A'D'}{A'B'}$推导出$\frac{AD}{A'D'}=\frac{AB}{A'B'}$，结合给出的$\frac{CD}{C'D'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{AB}{A'B'}$，可得到$△ ADC$和$△ A'D'C'$三边对应成比例，从而证明两个小三角形相似，得到$∠ A=∠ A'$，即可完成大三角形相似的证明。
(2) 要判断$△ ABC$和$△ A'B'C'$是否相似，已知$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}$，只需证明两边的夹角$∠ B=∠ B'$即可。先由$\frac{AD}{AB}=\frac{A'D'}{A'B'}$推导得$\frac{BD}{B'D'}=\frac{AB}{A'B'}$，结合已知的$\frac{CD}{C'D'}=\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}$，可证$△ BDC$和$△ B'D'C'$三边对应成比例，得到$∠ B=∠ B'$，即可判断两个大三角形相似。
【解析】
(1) $\because \frac{AD}{AB}=\frac{A'D'}{A'B'}$，$\therefore \frac{AB}{A'B'}=\frac{AD}{A'D'}$。
$\because \frac{CD}{C'D'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{AB}{A'B'}$，$\therefore \frac{CD}{C'D'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{AD}{A'D'}$，
$\therefore △ ADC ∽ △ A'D'C'$，$\therefore ∠ A=∠ A'$。
又$\because \frac{AC}{A'C'}=\frac{AB}{A'B'}$，$\therefore △ ABC ∽ △ A'B'C'$。
(2) $△ ABC$与$△ A'B'C'$相似，理由如下：
$\because \frac{AD}{AB}=\frac{A'D'}{A'B'}$，$\therefore \frac{AB-AD}{AB}=\frac{A'B'-A'D'}{A'B'}$，即$\frac{BD}{AB}=\frac{B'D'}{A'B'}$，
$\therefore \frac{BD}{B'D'}=\frac{AB}{A'B'}$。
又$\because \frac{CD}{C'D'}=\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}$，$\therefore \frac{CD}{C'D'}=\frac{BD}{B'D'}=\frac{BC}{B'C'}$，
$\therefore △ BDC ∽ △ B'D'C'$，$\therefore ∠ DBC=∠ D'B'C'$。
又$\because \frac{BC}{B'C'}=\frac{AB}{A'B'}$，$\therefore △ ABC ∽ △ A'B'C'$。
【答案】
(1) $\frac{CD}{C' D'}=\frac{AC}{A' C'}=\frac{AD}{A' D'}$；$∠ A=∠ A'$
(2) $△ ABC$与$△ A'B'C'$相似，理由见解析
【知识点】
比例的性质、相似三角形的判定
【点评】
本题考查相似三角形判定的综合运用，解题核心是对已知比例关系进行合理转化，通过证明小三角形相似得到所需等角，再推导大三角形相似，可有效锻炼逻辑推理和比例代换能力。
【难度系数】
0.6