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1. (2024·河南中考)如图,在$□ ABCD$中,对角线AC,BD相交于点O,点E为OC的中点,EF//AB交BC于点F.若AB=4,则EF的长为 (
A.$\frac{1}{2}$
B.1
C.$\frac{4}{3}$
D.2
B
)A.$\frac{1}{2}$
B.1
C.$\frac{4}{3}$
D.2
答案
∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ $OC=\frac{1}{2}AC$.
∵ 点 E 为 OC 的中点,
∴ $CE=\frac{1}{2}OC=\frac{1}{4}AC$.
∵ $EF// AB$,
∴ $△ CEF∽ △ CAB,\therefore \frac{EF}{AB}=\frac{CE}{CA}$,即$\frac{EF}{4}=\frac{1}{4},\therefore EF=1$.故选 B.
2. 如图,在平行四边形ABCD中,E为CD上一点,连接AE,BE,BD,且AE,BD交于点F,$S_{△ DEF}:S_{△ ABF}=4:25$,则$DE:EC=(\ )$
A.$2:3$
B.$2:5$
C.$3:5$
D.$3:2$
A.$2:3$
B.$2:5$
C.$3:5$
D.$3:2$
答案
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,
∴ $AB// CD$,
∴ $∠EAB=∠DEF$.又
∵ $∠AFB=∠DFE,\therefore △ DEF∽ △ BAF$.
∵ $S_{△ DEF}:S_{△ ABF}=4:25,\therefore \frac{DE}{AB}=\frac{2}{5}.\because AB=CD,\therefore DE:$
$EC=2:3$.故选 A.
3. 如图, 在$□ ABCD$中, 对角线AC与BD相交于点O, 在DC的延长线上取一点E,连接OE交BC于点F. 已知AB = 4, BC = 6, CE = 2, 则CF的长为
1.5
.答案
过点 O 作 $OM// BC$ 交 CD 于点 M.
∵ 在$□ ABCD$
中,$BO=DO,CD=AB=4,AD=BC=6,\therefore CM=\frac{1}{2}CD=2,OM=$
$\frac{1}{2}BC=3.\because OM// CF,\therefore △ CFE∽ △ MOE,\therefore \frac{CF}{OM}=\frac{CE}{EM}$,即
$\frac{CF}{3}=\frac{2}{2+2},\therefore CF=1.5$.
∵ 在$□ ABCD$
中,$BO=DO,CD=AB=4,AD=BC=6,\therefore CM=\frac{1}{2}CD=2,OM=$
$\frac{1}{2}BC=3.\because OM// CF,\therefore △ CFE∽ △ MOE,\therefore \frac{CF}{OM}=\frac{CE}{EM}$,即
$\frac{CF}{3}=\frac{2}{2+2},\therefore CF=1.5$.
4. 如图,在$□ ABCD$中,过点A作$AE ⊥ DC$,垂足为E,连接BE,F为BE上一点,且$∠ AFE = ∠ D$.
(1)求证:$△ ABF ∽ △ BEC$;
(2)若$AD=5,AB=8,AE=4$,求AF的长.
(1)求证:$△ ABF ∽ △ BEC$;
(2)若$AD=5,AB=8,AE=4$,求AF的长.
答案
(1) $\because$ 四边形 ABCD 是平行四边形, $\therefore AB// CD,AD//$
$BC,AD=BC,\therefore ∠D+∠C=180^{\circ },∠ABF=∠BEC.\because ∠AFE+$
$∠AFE=180^{\circ },∠AFE=∠D,\therefore ∠C=∠AFB,\therefore △ ABF∽ △ BEC$.
(2) $\because AE⊥ DC,AB// DC,\therefore ∠AED=∠BAE=90^{\circ }$.在 $Rt△ ABE$
中, 根据勾股定理得 $BE=\sqrt {AE^{2}+AB^{2}}=\sqrt {4^{2}+8^{2}}=4\sqrt {5}$.
$\because BC=AD=5$, 由 (1) 得 $△ ABF∽ △ BEC,\therefore \frac {AF}{BC}=\frac {AB}{BE}$, 即 $\frac {AF}{5}=$
$\frac {8}{4\sqrt {5}}$, 解得 $AF=2\sqrt {5}$.
$BC,AD=BC,\therefore ∠D+∠C=180^{\circ },∠ABF=∠BEC.\because ∠AFE+$
$∠AFE=180^{\circ },∠AFE=∠D,\therefore ∠C=∠AFB,\therefore △ ABF∽ △ BEC$.
(2) $\because AE⊥ DC,AB// DC,\therefore ∠AED=∠BAE=90^{\circ }$.在 $Rt△ ABE$
中, 根据勾股定理得 $BE=\sqrt {AE^{2}+AB^{2}}=\sqrt {4^{2}+8^{2}}=4\sqrt {5}$.
$\because BC=AD=5$, 由 (1) 得 $△ ABF∽ △ BEC,\therefore \frac {AF}{BC}=\frac {AB}{BE}$, 即 $\frac {AF}{5}=$
$\frac {8}{4\sqrt {5}}$, 解得 $AF=2\sqrt {5}$.
5. 如图,在菱形ABCD中,$AB=12$,点E为AD上一点,BE交AC于点F,若$\frac{AF}{FC}=\frac{1}{3}$,则AE的长为（
A.3
B.4
C.5
D.6
B
）A.3
B.4
C.5
D.6
答案
∵ 四边形 ABCD 为菱形,
∴ $AD// BC,\therefore △ AEF∽$
$△ CBF,\therefore \frac {AF}{FC}=\frac {AE}{BC}=\frac {1}{3}.\because AB=BC=12,\therefore AE=4$.故选 B.
6. 如图, 在菱形 ABCD 中, 点 M,N 在 AC 上, $ME ⊥ AD$, $NF ⊥ AB$, 垂足分别为 E, F, 若 $NF=NM=2$, $ME=3$, 则 AN 的长度为
4
.答案
设 $AN=x$,
∵ 四边形 ABCD 是菱形,
∴ $∠MAE=∠NAF$.
又
∵ $∠AEM=∠AFN=90^{\circ },\therefore △ MAE∽ △ NAF,\therefore \frac {EM}{FN}=\frac {AM}{AN}$,
$\therefore \frac {3}{2}=\frac {x+2}{x}$, 解得 $x=4$, 经检验, $x=4$ 是方程的解. $\therefore AN=4$.
∵ 四边形 ABCD 是菱形,
∴ $∠MAE=∠NAF$.
又
∵ $∠AEM=∠AFN=90^{\circ },\therefore △ MAE∽ △ NAF,\therefore \frac {EM}{FN}=\frac {AM}{AN}$,
$\therefore \frac {3}{2}=\frac {x+2}{x}$, 解得 $x=4$, 经检验, $x=4$ 是方程的解. $\therefore AN=4$.
7. (2024·淄博中考)如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E在BC延长线上，OE与CD相交于点F。若∠ACD=2∠OEC，$\frac{OF}{FE}=\frac{5}{6}$，则菱形ABCD的面积为
96
。答案
如图,过点 O 作 $OH// BC$ 交 CD 于点 H,则$△ DOH∽ △ DBC$.
∵ 四边
形 ABCD 是边长为 10 的菱形, 对角
线 AC,BD 相交于点 O,
∴ $BC=10$,
$OD=OB=\frac {1}{2}BD,OA=OC,AC⊥ BD$,
$\therefore \frac {OH}{BC}=\frac {OD}{BD}=\frac {1}{2},∠BOC=90^{\circ },\therefore OH=\frac {1}{2}BC=5.\because OH// BC$,
$\therefore △ OFH∽ △ EFC,\therefore \frac {OH}{EC}=\frac {OF}{FE}=\frac {5}{6},\therefore EC=\frac {6}{5}OH=\frac {6}{5}×5=$
6.
∵ 四边形 ABCD 是菱形,且 $∠ACD=2∠OEC,\therefore ∠ACB=$
$∠ACD=2∠OEC=∠COE+∠OEC,\therefore ∠OEC=∠COE$,
$\therefore OC=EC=6,\therefore OB=\sqrt {BC^{2}-OC^{2}}=\sqrt {10^{2}-6^{2}}=8$,
$\therefore BD=2OB=16,AC=2OC=12,\therefore S_{菱形ABCD}=\frac {1}{2}BD· AC=$
$\frac {1}{2}×16×12=96$.故答案为 96.
8.已知:如图,在菱形ABCD中,点E在边BC上,点F在BA的延长线上,BE=AF,CF//AE,CF与边AD相交于点G.
求证:(1)$FD=CG$;
(2)$CG^2=FG· FC$.
求证:(1)$FD=CG$;
(2)$CG^2=FG· FC$.
答案
(1)
∵ 在菱形 ABCD 中, $AD// BC,\therefore ∠FAD=∠B$. 在 $△ ADF$
与 $△ BAE$ 中,
∵ $AF=BE,∠FAD=∠B,AD=BA,\therefore △ ADF≌$
$△ BAE,\therefore FD=EA.\because CF// AE,AG// CE,\therefore$ 四边形 AECG 是平
行四边形, $\therefore EA=CG,\therefore FD=CG$.
(2)
∵ 在菱形 ABCD 中, $CD// AB,\therefore ∠DCF=∠BFC$.
$\because CF// AE,\therefore ∠BAE=∠BFC,\therefore ∠DCF=∠BAE.\because △ ADF≌$
$△ BAE,\therefore ∠BAE=∠FDA.\therefore ∠DCF=∠FDA$.又
∵ $∠DFG=$
$∠CFD,\therefore △ FDG∽ △ FCD,\therefore \frac {FD}{FC}=\frac {FG}{FD},\therefore FD^{2}=FG· FC$.
$\because FD=CG,\therefore CG^{2}=FG· FC$.
∵ 在菱形 ABCD 中, $AD// BC,\therefore ∠FAD=∠B$. 在 $△ ADF$
与 $△ BAE$ 中,
∵ $AF=BE,∠FAD=∠B,AD=BA,\therefore △ ADF≌$
$△ BAE,\therefore FD=EA.\because CF// AE,AG// CE,\therefore$ 四边形 AECG 是平
行四边形, $\therefore EA=CG,\therefore FD=CG$.
(2)
∵ 在菱形 ABCD 中, $CD// AB,\therefore ∠DCF=∠BFC$.
$\because CF// AE,\therefore ∠BAE=∠BFC,\therefore ∠DCF=∠BAE.\because △ ADF≌$
$△ BAE,\therefore ∠BAE=∠FDA.\therefore ∠DCF=∠FDA$.又
∵ $∠DFG=$
$∠CFD,\therefore △ FDG∽ △ FCD,\therefore \frac {FD}{FC}=\frac {FG}{FD},\therefore FD^{2}=FG· FC$.
$\because FD=CG,\therefore CG^{2}=FG· FC$.
