高铁票价中的数学密码
活动
高铁出行已成为中国人常用的交通方式. 我们发现:不同高铁线路的票价并不完全与里程成正比——有的线路每公里单价高,有的低;有的线路有“递远递减”的规律(坐得越远,每公里均价越便宜).高铁公司是如何定价的? 是否存在一个数学模型可以描述票价与里程的关系? 如何根据这个模型选择最划算的购票方式? 下面我们将通过收集真实高铁票价数据,建立函数模型,并运用模型做出消费决策.
活动准备
利用网络查询几条典型高铁线路的里程数据以及“铁路12306”或其他票务网站的高铁票价;准备坐标纸、直尺、计算器;同学们自愿结合,组成活动小组.
任务
任务一:数据收集与初探
每组选择一条高铁线路(例如:京沪高铁、京广高铁、沪昆高铁等),查询该线路上从起点到沿途各站的二等座票价和铁路里程,记录至少8至10个数据点(包括起点、中途各站及全程).
要求:数据必须真实,记录下查询日期(票价可能微调,但不影响整体规律).
任务二:描点与猜想
以里程为横轴、票价为纵轴,在坐标纸上描出所有数据点.
观察点的分布趋势,这些点是否大致在一条直线上? 如果是,是否说明票价与里程成正比例或一次函数关系? 计算每公里的平均单价(票价/里程),看看不同区间的单价是否相同.如果不同,有什么规律?(通常短途单价高,长途单价低,即“递远递减”).尝试用一条直线(或两条线段构成的分段函数)来拟合这些点.
对于一次函数模型:求出解析式$y=kx+b$,其中常数$k$和$b$的含义是什么? 如果是分段函数模型呢?
任务三:模型验证与揭秘
各组展示自己拟合的函数解析式(例如:$y=kx+b$).思考:为什么$b$通常不为0? 这代表了什么? 不同线路的常数$k$一样吗? 为什么? 是否存在“倒挂”现象?(更远的区间反而单价更低)?
任务四:设计你的定价方案
如果你是高铁公司定价部门主管,要设计一条新线路(全长800 km):要求:全程票价
不超过400元,体现“递远递减”原则(可以设计分段函数),保证公司收入合理,同时吸引短途乘客.写出你的定价函数解析式,并说明理由.
小组之间可以互相评价:是否公平? 是否盈利? 是否有数学漏洞?
附:研究报告参考
报告主题
年级班组 报告时间:
1.活动名称
2.研究小组成员与分工
3.研究的内容及意义
4.实施过程
5.研究结果
6.收获与体会
7.对此报告的评价(由评价小组或教师填写)

开放性试题答案略.

【分析】
这是一道结合生活场景的综合实践类开放题，解题需围绕函数模型的搭建与应用展开思考：首先要明确活动核心是用已学的一次函数、分段函数知识刻画票价与里程的关系，第一步先通过正规渠道收集真实的票价、里程数据获得研究素材；其次描点后观察数据分布特征，结合“递远递减”的规律选择适配的函数模型（一次函数或分段一次函数）拟合，拟合时要对应函数参数的实际意义推导；最后设计定价方案时要同时满足“全程票价≤400元”“递远递减”“吸引短途乘客、保障运营收益”三个核心要求，分段设计时保证每段的斜率逐段减小，且分段端点处函数值连续合理即可。
【解析】
本题为开放性实践题，各环节参考思路如下：
1. 数据收集阶段：可选择任意一条公开运营的高铁线路，在12306官网查询对应站点的二等座票价与官方公布的里程数，记录查询日期，确保至少收集10组有效数据。
2. 描点拟合阶段：以里程$x$（单位：km）为横轴，票价$y$（单位：元）为纵轴描点，若点大致呈直线趋势可拟合一次函数$y=kx+b$：其中$k$表示每公里的浮动票价，$b$表示票价中包含的固定运营成本（如站台服务、基础调度成本等），因此$b$通常不为0；若存在明显的单价递减特征，可拟合分段一次函数，每段的$k$值随里程增大而减小，符合“递远递减”规律。
3. 定价方案示例（满足要求即可）：
设里程为$x$ km，票价为$y$元，设计分段函数如下：
① 当$0≤ x≤200$时，$y=0.5x$，短途单价为0.5元/km，票价较低，可吸引短途乘客；
② 当$200＜ x≤800$时，$y=0.38x+24$，验证端点：$x=200$时，$y=0.38×200+24=100$元，与第一段端点值一致，保证定价连续；全程$x=800$时，$y=0.38×800+24=328$元，小于400元符合要求，此时长途每公里均价为$328÷800=0.41$元，低于短途单价，满足递远递减原则，同时两段定价均可覆盖对应里程的运营成本，保障公司合理收入。
（注：方案不唯一，满足所有要求即可）
【答案】
略
【知识点】
一次函数应用，分段函数，函数建模
【点评】
本题紧密结合生活实际，将数学函数知识与高铁定价的真实场景结合，既考查了对一次函数、分段函数性质的掌握，也锻炼了数据收集、模型建立、实际问题解决的综合实践能力，兼具趣味性与实用性。
【难度系数】
0.6