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3. 如图,在$△ ABC$中,$∠ A=90°$.
（1）请你画一个半圆使得圆心O在边BC上,并与AB,AC都相切(保留画图痕迹);
（2）已知$AB=4$,$AC=3$,求(1)中所画圆的半径.
（1）请你画一个半圆使得圆心O在边BC上,并与AB,AC都相切(保留画图痕迹);
（2）已知$AB=4$,$AC=3$,求(1)中所画圆的半径.
答案
3.（1）图略,提示:作$∠ A$的平分线 （2）$\frac{12}{7}$
解析
【分析】
（1）要作满足条件的半圆，核心是确定圆心位置：根据切线的性质，圆心到AB、AC的距离相等（均等于半径），结合角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”，可知圆心在∠BAC的角平分线上，又因为圆心在BC上，因此∠BAC的角平分线与BC的交点即为圆心O，过O作AB的垂线段即为半径，据此即可画出半圆。
（2）求半径可采用面积法：△ABC的面积等于△AOB与△AOC的面积之和，设半径为r，分别表示出三个三角形的面积，列方程即可求解。
【解析】
（1）作图步骤：
① 作∠BAC的角平分线，交BC于点O；
② 过点O作OD⊥AB，垂足为D；
③ 以O为圆心，OD的长为半径作半圆，该半圆即为所求（作图保留角平分线、垂线的辅助线痕迹即可）。
（2）解：设所画圆的半径为r。
∵ 半圆与AB、AC都相切，
∴ 圆心O到AB、AC的距离都等于r。
已知∠A=90°，AB=4，AC=3，
则$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AB × AC = \frac{1}{2} × 4 × 3 = 6$。
又
∵ $S_{△ ABC}=S_{△ AOB}+S_{△ AOC}$，
其中$S_{△ AOB}=\frac{1}{2} × AB × r = \frac{1}{2} × 4 × r = 2r$，
$S_{△ AOC}=\frac{1}{2} × AC × r = \frac{1}{2} × 3 × r = \frac{3}{2}r$，
代入得：$2r + \frac{3}{2}r = 6$，
合并得$\frac{7}{2}r=6$，解得$r=\frac{12}{7}$。
【答案】
（1）作图略（作∠A的平分线与BC交于圆心即可）；（2）$\frac{12}{7}$
【知识点】
角平分线的性质，切线的性质，面积法计算
【点评】
本题将尺规作图与几何计算结合，考查了相切的核心特征、角平分线的性质，计算部分选择面积法可大幅简化运算，是几何基础应用的典型习题，有助于学生理解几何性质的实际运用。
【难度系数】
0.7
（1）要作满足条件的半圆，核心是确定圆心位置：根据切线的性质，圆心到AB、AC的距离相等（均等于半径），结合角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”，可知圆心在∠BAC的角平分线上，又因为圆心在BC上，因此∠BAC的角平分线与BC的交点即为圆心O，过O作AB的垂线段即为半径，据此即可画出半圆。
（2）求半径可采用面积法：△ABC的面积等于△AOB与△AOC的面积之和，设半径为r，分别表示出三个三角形的面积，列方程即可求解。
【解析】
（1）作图步骤：
① 作∠BAC的角平分线，交BC于点O；
② 过点O作OD⊥AB，垂足为D；
③ 以O为圆心，OD的长为半径作半圆，该半圆即为所求（作图保留角平分线、垂线的辅助线痕迹即可）。
（2）解：设所画圆的半径为r。
∵ 半圆与AB、AC都相切，
∴ 圆心O到AB、AC的距离都等于r。
已知∠A=90°，AB=4，AC=3，
则$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AB × AC = \frac{1}{2} × 4 × 3 = 6$。
又
∵ $S_{△ ABC}=S_{△ AOB}+S_{△ AOC}$，
其中$S_{△ AOB}=\frac{1}{2} × AB × r = \frac{1}{2} × 4 × r = 2r$，
$S_{△ AOC}=\frac{1}{2} × AC × r = \frac{1}{2} × 3 × r = \frac{3}{2}r$，
代入得：$2r + \frac{3}{2}r = 6$，
合并得$\frac{7}{2}r=6$，解得$r=\frac{12}{7}$。
【答案】
（1）作图略（作∠A的平分线与BC交于圆心即可）；（2）$\frac{12}{7}$
【知识点】
角平分线的性质，切线的性质，面积法计算
【点评】
本题将尺规作图与几何计算结合，考查了相切的核心特征、角平分线的性质，计算部分选择面积法可大幅简化运算，是几何基础应用的典型习题，有助于学生理解几何性质的实际运用。
【难度系数】
0.7
4. 为检测生产的一种铁球的大小是否符合要求，工人设计了一个工件槽，工件槽的两个底角均为$90°$，尺寸如图所示(单位:cm).将形状规则的铁球放入槽内，若同时在图中的点A，B，E处与工件槽接触，则该球大小符合要求.请结合图中数据，计算符合要求的铁球直径.
答案
4. 20 cm
解析
【分析】
要计算符合要求的铁球直径，需先求铁球半径，可结合圆的垂径定理构造直角三角形求解：首先设铁球的圆心为O，半径为r，连接OA，过O作AB的垂线，由垂径定理可得该垂线平分AB，得到半弦长为8cm；结合工件槽的高度可知，圆心到AB的距离为(r-4)cm，最后在直角三角形中利用勾股定理列方程即可求出半径，进一步得到直径。
【解析】
设铁球的圆心为O，半径为$ r\ \mathrm{cm} $。
连接$ OA $，过点$ O $作$ OM ⊥ AB $于点$ M $，根据垂径定理，$ M $是$ AB $的中点，因此：
$ AM = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 16 = 8\ \mathrm{cm} $
由题意可知，$ E $是铁球与槽底的接触点，$ OE = r\ \mathrm{cm} $，工件槽高度为4cm，因此圆心到$ AB $的距离$ OM = r - 4\ \mathrm{cm} $。
在$ \mathrm{Rt}△ OAM $中，根据勾股定理$ OA^2 = AM^2 + OM^2 $，代入得：
$ r^2 = 8^2 + (r - 4)^2 $
展开化简：
$ r^2 = 64 + r^2 - 8r + 16 $
$ 8r = 80 $
解得$ r = 10 $
因此铁球的直径为$ 2r = 2 × 10 = 20\ \mathrm{cm} $。
【答案】
20 cm
【知识点】
垂径定理，勾股定理
【点评】
本题结合实际生产场景考查几何知识的应用，解题核心是将实际问题转化为圆的弦长计算问题，通过构造直角三角形建立方程求解，是方程思想和几何性质结合的典型题型。
【难度系数】
0.7
要计算符合要求的铁球直径，需先求铁球半径，可结合圆的垂径定理构造直角三角形求解：首先设铁球的圆心为O，半径为r，连接OA，过O作AB的垂线，由垂径定理可得该垂线平分AB，得到半弦长为8cm；结合工件槽的高度可知，圆心到AB的距离为(r-4)cm，最后在直角三角形中利用勾股定理列方程即可求出半径，进一步得到直径。
【解析】
设铁球的圆心为O，半径为$ r\ \mathrm{cm} $。
连接$ OA $，过点$ O $作$ OM ⊥ AB $于点$ M $，根据垂径定理，$ M $是$ AB $的中点，因此：
$ AM = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 16 = 8\ \mathrm{cm} $
由题意可知，$ E $是铁球与槽底的接触点，$ OE = r\ \mathrm{cm} $，工件槽高度为4cm，因此圆心到$ AB $的距离$ OM = r - 4\ \mathrm{cm} $。
在$ \mathrm{Rt}△ OAM $中，根据勾股定理$ OA^2 = AM^2 + OM^2 $，代入得：
$ r^2 = 8^2 + (r - 4)^2 $
展开化简：
$ r^2 = 64 + r^2 - 8r + 16 $
$ 8r = 80 $
解得$ r = 10 $
因此铁球的直径为$ 2r = 2 × 10 = 20\ \mathrm{cm} $。
【答案】
20 cm
【知识点】
垂径定理，勾股定理
【点评】
本题结合实际生产场景考查几何知识的应用，解题核心是将实际问题转化为圆的弦长计算问题，通过构造直角三角形建立方程求解，是方程思想和几何性质结合的典型题型。
【难度系数】
0.7
5. 如图,在正方形ABCD中,点O在对角线AC上,以点O为圆心,OA的长为半径的$\odot O$与BC相切于点M,与AB,AD分别相交于点E,F.
(1) 求证:CD是$\odot O$的切线.
(2) 已知正方形ABCD的边长为1,求$\odot O$的半径.
(1) 求证:CD是$\odot O$的切线.
(2) 已知正方形ABCD的边长为1,求$\odot O$的半径.
答案
5.（1）提示:连接OM,作$ON⊥ CD$,垂足为N,证明$ON=OM$即可 （2）$2-\sqrt{2}$
解析
【分析】
（1）要证明CD是$\odot O$的切线，可依据切线的判定思路：对于未知切点的直线，只需证明圆心到直线的距离等于半径。已知$\odot O$与BC相切于M，可得$OM⊥ BC$且OM是半径，结合正方形对角线AC是$∠ BCD$的角平分线，过O作$ON⊥ CD$，利用角平分线的性质即可证得$ON=OM=$半径，从而证明CD是切线。
（2）求$\odot O$的半径，先根据正方形边长求出对角线AC的长度，设半径为r，用r表示出OC的长度，再结合$△ OMC$是等腰直角三角形的边角关系列方程求解即可。
【解析】
（1）证明：连接OM，过点O作$ON⊥ CD$，垂足为N。
$\because \odot O$与BC相切于点M，$\therefore OM⊥ BC$，且$OM=OA$（均为$\odot O$的半径）。
$\because$四边形ABCD是正方形，AC是对角线，$\therefore AC$平分$∠ BCD$。
又$\because OM⊥ BC$，$ON⊥ CD$，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得$OM=ON$。
$\therefore ON=OA$，即ON是$\odot O$的半径，又$\because ON⊥ CD$，$\therefore CD$是$\odot O$的切线。
（2）解：$\because$正方形ABCD的边长为1，$∠ B=90°$，$\therefore$对角线$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。
设$\odot O$的半径为r，则$OA=OM=r$，$\therefore OC=AC-OA=\sqrt{2}-r$。
$\because OM⊥ BC$，$∠ ACB=45°$，$\therefore △ OMC$是等腰直角三角形，$\therefore OC=\sqrt{2}· OM$。
代入得：$\sqrt{2}-r=\sqrt{2}r$，
移项整理得：$r(\sqrt{2}+1)=\sqrt{2}$，
解得：$r=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1}=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}=2-\sqrt{2}$。
【答案】
（1）证明见解析；（2）$\boxed{2-\sqrt{2}}$
【知识点】
切线的判定、角平分线的性质、正方形的性质
【点评】
本题是圆与正方形结合的常规综合题，解题核心是灵活运用角平分线性质、切线判定定理和等腰直角三角形的边角关系，通过建立方程求解半径，对几何辅助线的构造能力有一定要求，是圆章节的典型题型。
【难度系数】
0.6
（1）要证明CD是$\odot O$的切线，可依据切线的判定思路：对于未知切点的直线，只需证明圆心到直线的距离等于半径。已知$\odot O$与BC相切于M，可得$OM⊥ BC$且OM是半径，结合正方形对角线AC是$∠ BCD$的角平分线，过O作$ON⊥ CD$，利用角平分线的性质即可证得$ON=OM=$半径，从而证明CD是切线。
（2）求$\odot O$的半径，先根据正方形边长求出对角线AC的长度，设半径为r，用r表示出OC的长度，再结合$△ OMC$是等腰直角三角形的边角关系列方程求解即可。
【解析】
（1）证明：连接OM，过点O作$ON⊥ CD$，垂足为N。
$\because \odot O$与BC相切于点M，$\therefore OM⊥ BC$，且$OM=OA$（均为$\odot O$的半径）。
$\because$四边形ABCD是正方形，AC是对角线，$\therefore AC$平分$∠ BCD$。
又$\because OM⊥ BC$，$ON⊥ CD$，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得$OM=ON$。
$\therefore ON=OA$，即ON是$\odot O$的半径，又$\because ON⊥ CD$，$\therefore CD$是$\odot O$的切线。
（2）解：$\because$正方形ABCD的边长为1，$∠ B=90°$，$\therefore$对角线$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。
设$\odot O$的半径为r，则$OA=OM=r$，$\therefore OC=AC-OA=\sqrt{2}-r$。
$\because OM⊥ BC$，$∠ ACB=45°$，$\therefore △ OMC$是等腰直角三角形，$\therefore OC=\sqrt{2}· OM$。
代入得：$\sqrt{2}-r=\sqrt{2}r$，
移项整理得：$r(\sqrt{2}+1)=\sqrt{2}$，
解得：$r=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1}=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}=2-\sqrt{2}$。
【答案】
（1）证明见解析；（2）$\boxed{2-\sqrt{2}}$
【知识点】
切线的判定、角平分线的性质、正方形的性质
【点评】
本题是圆与正方形结合的常规综合题，解题核心是灵活运用角平分线性质、切线判定定理和等腰直角三角形的边角关系，通过建立方程求解半径，对几何辅助线的构造能力有一定要求，是圆章节的典型题型。
【难度系数】
0.6
6. 如图①,②,③,…,ⓝ,在$\odot O$的内接正三角形ABC、正四边形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDE…中,点M,N分别在边AB,BC上,且$BM=CN$,连接OM,ON.
(1) 图①中的$∠ O=$
(2) 图②中的$∠ O=$
(3) 试探究$∠ O$的度数与正n边形的边数n之间的关系(直接写出答案).
(1) 图①中的$∠ O=$
120
°;(2) 图②中的$∠ O=$
90
°,图③中的$∠ O=$ 72
°;(3) 试探究$∠ O$的度数与正n边形的边数n之间的关系(直接写出答案).
答案
6.（1）120 （2）90,72 （3）$\frac{360°}{n}$
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以通过连接正多边形的半径OB、OC，利用正多边形内接于圆的性质得到相等的边和角，再结合已知BM=CN证明△OBM≌△OCN，将∠MON转化为正多边形的中心角∠BOC，最后结合正多边形中心角的计算公式即可求解。正n边形的中心角为$\frac{360°}{n}$，我们只需要将对应图形的边数n代入公式，就能得到对应∠MON的度数。
【解析】
先进行通用推导：
连接OB、OC。
∵ 正n边形内接于$\odot O$，
∴ OB=OC（同圆的半径相等），
$∠ BOC=\frac{360°}{n}$（正n边形的中心角公式），
$∠ OBM=∠ OCN$（正多边形的半径平分内角，且各内角相等，故对应角相等）。
又
∵ BM=CN，
∴ $△ OBM ≌ △ OCN$（SAS），
∴ $∠ BOM=∠ CON$，
∴ $∠ MON=∠ BOM+∠ BON=∠ CON+∠ BON=∠ BOC=\frac{360°}{n}$。
(1) 图①是正三角形，n=3，代入得$∠ MON=\frac{360°}{3}=120°$；
(2) 图②是正四边形，n=4，代入得$∠ MON=\frac{360°}{4}=90°$；图③是正五边形，n=5，代入得$∠ MON=\frac{360°}{5}=72°$；
(3) 由上述推导可得∠MON与正n边形边数n的关系。
【答案】
(1) 120；(2) 90，72；(3) $\frac{360°}{n}$
【知识点】
正多边形和圆；全等三角形的判定与性质；正多边形中心角
【点评】
本题通过从特殊正多边形到一般正n边形的探究，考查了正多边形与圆的相关性质，解题的关键是构造全等三角形，将待求角转化为正多边形的中心角，渗透了从特殊到一般的数学思想。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们可以通过连接正多边形的半径OB、OC，利用正多边形内接于圆的性质得到相等的边和角，再结合已知BM=CN证明△OBM≌△OCN，将∠MON转化为正多边形的中心角∠BOC，最后结合正多边形中心角的计算公式即可求解。正n边形的中心角为$\frac{360°}{n}$，我们只需要将对应图形的边数n代入公式，就能得到对应∠MON的度数。
【解析】
先进行通用推导：
连接OB、OC。
∵ 正n边形内接于$\odot O$，
∴ OB=OC（同圆的半径相等），
$∠ BOC=\frac{360°}{n}$（正n边形的中心角公式），
$∠ OBM=∠ OCN$（正多边形的半径平分内角，且各内角相等，故对应角相等）。
又
∵ BM=CN，
∴ $△ OBM ≌ △ OCN$（SAS），
∴ $∠ BOM=∠ CON$，
∴ $∠ MON=∠ BOM+∠ BON=∠ CON+∠ BON=∠ BOC=\frac{360°}{n}$。
(1) 图①是正三角形，n=3，代入得$∠ MON=\frac{360°}{3}=120°$；
(2) 图②是正四边形，n=4，代入得$∠ MON=\frac{360°}{4}=90°$；图③是正五边形，n=5，代入得$∠ MON=\frac{360°}{5}=72°$；
(3) 由上述推导可得∠MON与正n边形边数n的关系。
【答案】
(1) 120；(2) 90，72；(3) $\frac{360°}{n}$
【知识点】
正多边形和圆；全等三角形的判定与性质；正多边形中心角
【点评】
本题通过从特殊正多边形到一般正n边形的探究，考查了正多边形与圆的相关性质，解题的关键是构造全等三角形，将待求角转化为正多边形的中心角，渗透了从特殊到一般的数学思想。
【难度系数】
0.7
