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7. 在$△ ABC$中，$D,E$分别是$△ ABC$的$AB,AC$边上的点，$AD=4$，$AB=12$，$AC=18$且$△ ADE$与$△ ABC$相似，则$AE=$
$6或\frac{8}{3}$
.答案
7. 6或$\frac{8}{3}$
解析
【分析】
题目仅说明△ADE与△ABC相似，但未明确对应顶点的对应关系，因此需分两种情况讨论：①△ADE∽△ABC，公共角∠A的对应边为AD对应AB、AE对应AC；②△ADE∽△ACB，公共角∠A的对应边为AD对应AC、AE对应AB。再根据相似三角形对应边成比例的性质，代入已知边长计算即可得到AE的长度。
【解析】
∵△ADE与△ABC相似，且∠A为两个三角形的公共角，分两种情况讨论：
1. 当△ADE∽△ABC时，对应边成比例：
$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$
将AD=4，AB=12，AC=18代入得：
$\frac{4}{12}=\frac{AE}{18}$
解得：$AE=\frac{4×18}{12}=6$
2. 当△ADE∽△ACB时，对应边成比例：
$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$
代入已知边长得：
$\frac{4}{18}=\frac{AE}{12}$
解得：$AE=\frac{4×12}{18}=\frac{8}{3}$
综上，AE的长为6或$\frac{8}{3}$。
【答案】
6或$\frac{8}{3}$
【知识点】
相似三角形性质，分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略相似三角形未明确对应顶点时存在多种对应情况，仅计算出其中一个解。解题时遇到没有标注对应顶点的相似三角形问题，要结合公共角等条件分析所有可能的对应关系，避免漏解。
【难度系数】
0.6
题目仅说明△ADE与△ABC相似，但未明确对应顶点的对应关系，因此需分两种情况讨论：①△ADE∽△ABC，公共角∠A的对应边为AD对应AB、AE对应AC；②△ADE∽△ACB，公共角∠A的对应边为AD对应AC、AE对应AB。再根据相似三角形对应边成比例的性质，代入已知边长计算即可得到AE的长度。
【解析】
∵△ADE与△ABC相似，且∠A为两个三角形的公共角，分两种情况讨论：
1. 当△ADE∽△ABC时，对应边成比例：
$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$
将AD=4，AB=12，AC=18代入得：
$\frac{4}{12}=\frac{AE}{18}$
解得：$AE=\frac{4×18}{12}=6$
2. 当△ADE∽△ACB时，对应边成比例：
$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$
代入已知边长得：
$\frac{4}{18}=\frac{AE}{12}$
解得：$AE=\frac{4×12}{18}=\frac{8}{3}$
综上，AE的长为6或$\frac{8}{3}$。
【答案】
6或$\frac{8}{3}$
【知识点】
相似三角形性质，分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略相似三角形未明确对应顶点时存在多种对应情况，仅计算出其中一个解。解题时遇到没有标注对应顶点的相似三角形问题，要结合公共角等条件分析所有可能的对应关系，避免漏解。
【难度系数】
0.6
8. 如图,在边长为9的正三角形ABC中,BD=3,∠ADE=60°,则AE的长为
（第8题）（第9题）
$7$
。（第8题）（第9题）答案
8. 7
解析
【分析】
解题时先从等边三角形的性质入手，首先明确等边三角形三边相等、三个内角均为60°，先求出DC的长度。再通过角的和差关系推导得到相等的角：∠ADE=60°，因此∠ADB与∠EDC的和为120°，结合三角形内角和可知△ABD中∠BAD与∠ADB的和也为120°，等量代换可得∠BAD=∠CDE，结合∠B=∠C=60°即可判定△ABD和△DCE相似，最后利用相似三角形对应边成比例求出CE的长度，用AC长度减去CE长度即可得到AE的长。
【解析】
解：
∵△ABC是边长为9的正三角形，
∴∠B=∠C=60°，AB=BC=AC=9，
∵BD=3，
∴DC=BC-BD=9-3=6，
∵∠ADE=60°，
∴∠ADB+∠EDC=180°-∠ADE=120°，
又
∵在△ABD中，∠BAD+∠ADB=180°-∠B=120°，
∴∠BAD=∠CDE，
又
∵∠B=∠C=60°，
∴△ABD∽△DCE（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{AB}{DC}=\frac{BD}{CE}$，
代入数值可得$\frac{9}{6}=\frac{3}{CE}$，
解得CE=2，
∴AE=AC-CE=9-2=7。
【答案】
7
【知识点】
等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何基础综合题，解题核心是通过角的等量代换证明三角形相似，再借助相似的性质求解线段长度，能够很好地考查学生对基础几何性质的应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时先从等边三角形的性质入手，首先明确等边三角形三边相等、三个内角均为60°，先求出DC的长度。再通过角的和差关系推导得到相等的角：∠ADE=60°，因此∠ADB与∠EDC的和为120°，结合三角形内角和可知△ABD中∠BAD与∠ADB的和也为120°，等量代换可得∠BAD=∠CDE，结合∠B=∠C=60°即可判定△ABD和△DCE相似，最后利用相似三角形对应边成比例求出CE的长度，用AC长度减去CE长度即可得到AE的长。
【解析】
解：
∵△ABC是边长为9的正三角形，
∴∠B=∠C=60°，AB=BC=AC=9，
∵BD=3，
∴DC=BC-BD=9-3=6，
∵∠ADE=60°，
∴∠ADB+∠EDC=180°-∠ADE=120°，
又
∵在△ABD中，∠BAD+∠ADB=180°-∠B=120°，
∴∠BAD=∠CDE，
又
∵∠B=∠C=60°，
∴△ABD∽△DCE（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{AB}{DC}=\frac{BD}{CE}$，
代入数值可得$\frac{9}{6}=\frac{3}{CE}$，
解得CE=2，
∴AE=AC-CE=9-2=7。
【答案】
7
【知识点】
等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何基础综合题，解题核心是通过角的等量代换证明三角形相似，再借助相似的性质求解线段长度，能够很好地考查学生对基础几何性质的应用能力。
【难度系数】
0.7
9. 将三角形纸片($△ ABC$)按如图所示的方式折叠,使点$B$落在边$AC$上,记为点$B'$,折痕为$EF$.已知$AB=AC=3$,$BC=4$,若以点$B'$,$F$,$C$为顶点的三角形与$△ ABC$相似,那么$BF$的长度是
$2或\frac{12}{7}$
.答案
9. 2或$\frac{12}{7}$
解析
【分析】
解题首先利用折叠的性质得到BF=B'F，设BF的长度为x，即可表示出FC的长度。由于题目仅说明△B'FC与△ABC相似，未明确对应顶点，因此需要分两种相似情况讨论，结合相似三角形对应边成比例的性质列方程求解，最后检验解是否符合题意即可。
【解析】
解：设$BF=x$，由折叠的性质可得$B'F=BF=x$。
$\because BC=4$，$\therefore FC=BC-BF=4-x$。
已知$AB=AC=3$，故$△ ABC$为等腰三角形，$∠ B=∠ C$。
$△ B'FC$与$△ ABC$相似分两种情况：
① 当$△ B'FC ∽ △ ABC$时，对应边成比例：$\frac{B'F}{AB}=\frac{FC}{BC}$，
代入得：$\frac{x}{3}=\frac{4-x}{4}$，
交叉相乘得：$4x=3(4-x)$，
解得：$x=\frac{12}{7}$；
② 当$△ FB'C ∽ △ ABC$时，对应边成比例：$\frac{B'F}{AB}=\frac{FC}{AC}$，
代入得：$\frac{x}{3}=\frac{4-x}{3}$，
解得：$x=2$。
经检验，两种情况的解均符合题意。
【答案】
2或$\frac{12}{7}$
【知识点】
折叠的性质；相似三角形的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于易错题，解题的关键是明确相似三角形对应顶点未确定时，需要分情况讨论，避免因漏解导致失分，同时要注意验证所得解是否符合几何图形的实际要求。
【难度系数】
0.6
解题首先利用折叠的性质得到BF=B'F，设BF的长度为x，即可表示出FC的长度。由于题目仅说明△B'FC与△ABC相似，未明确对应顶点，因此需要分两种相似情况讨论，结合相似三角形对应边成比例的性质列方程求解，最后检验解是否符合题意即可。
【解析】
解：设$BF=x$，由折叠的性质可得$B'F=BF=x$。
$\because BC=4$，$\therefore FC=BC-BF=4-x$。
已知$AB=AC=3$，故$△ ABC$为等腰三角形，$∠ B=∠ C$。
$△ B'FC$与$△ ABC$相似分两种情况：
① 当$△ B'FC ∽ △ ABC$时，对应边成比例：$\frac{B'F}{AB}=\frac{FC}{BC}$，
代入得：$\frac{x}{3}=\frac{4-x}{4}$，
交叉相乘得：$4x=3(4-x)$，
解得：$x=\frac{12}{7}$；
② 当$△ FB'C ∽ △ ABC$时，对应边成比例：$\frac{B'F}{AB}=\frac{FC}{AC}$，
代入得：$\frac{x}{3}=\frac{4-x}{3}$，
解得：$x=2$。
经检验，两种情况的解均符合题意。
【答案】
2或$\frac{12}{7}$
【知识点】
折叠的性质；相似三角形的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于易错题，解题的关键是明确相似三角形对应顶点未确定时，需要分情况讨论，避免因漏解导致失分，同时要注意验证所得解是否符合几何图形的实际要求。
【难度系数】
0.6
10.如图，D是AC上一点，BE//AC，BE=AD，AE分别交BD，BC于点F，G，∠1=∠2，探索线段BF，FG，EF之间的关系，并说明理由。
答案
10. $BF^2 = FG · EF$,理由略
解析
【分析】
要探索三条线段BF、FG、EF的数量关系，这类线段乘积、平方类的关系，可先将待推导的等积式转化为比例式，确定需要证明的相似三角形。首先利用平行线的性质得到角相等，结合已知的∠1=∠2推导相等角，再找公共角证明对应三角形相似，最后利用相似三角形的性质得到比例式，变形即可得到结论。
【解析】
解：线段关系为$\boldsymbol{BF^2 = FG · EF}$，理由如下：
1. $\because BE// AC$，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠ 1=∠ E$。
2. 又$\because ∠ 1=∠ 2$（已知），通过等量代换得$∠ 2=∠ E$。
3. 在$△ BFG$和$△ EFB$中：
$\begin{cases} ∠ 2=∠ E \quad (\mathrm{已证}) \\ ∠ BFG=∠ EFB \quad (\mathrm{公共角}) \end{cases}$
$\therefore △ BFG ∽ △ EFB$（两角对应相等的两个三角形相似）。
4. 根据相似三角形的性质，对应边成比例，可得$\frac{BF}{EF}=\frac{FG}{BF}$。
5. 交叉相乘变形得：$BF^2=FG·EF$。
【答案】
$BF^2 = FG · EF$
【知识点】
相似三角形的判定与性质；平行线的性质；等积式与比例式转化
【点评】
本题属于几何线段关系证明的常规题型，解题核心是将等积式转化为比例式，准确找到需要证明的相似三角形，再结合已知角的关系和平行线性质推导角相等，完成相似的证明即可得到结论，对学生的逻辑推导能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
要探索三条线段BF、FG、EF的数量关系，这类线段乘积、平方类的关系，可先将待推导的等积式转化为比例式，确定需要证明的相似三角形。首先利用平行线的性质得到角相等，结合已知的∠1=∠2推导相等角，再找公共角证明对应三角形相似，最后利用相似三角形的性质得到比例式，变形即可得到结论。
【解析】
解：线段关系为$\boldsymbol{BF^2 = FG · EF}$，理由如下：
1. $\because BE// AC$，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠ 1=∠ E$。
2. 又$\because ∠ 1=∠ 2$（已知），通过等量代换得$∠ 2=∠ E$。
3. 在$△ BFG$和$△ EFB$中：
$\begin{cases} ∠ 2=∠ E \quad (\mathrm{已证}) \\ ∠ BFG=∠ EFB \quad (\mathrm{公共角}) \end{cases}$
$\therefore △ BFG ∽ △ EFB$（两角对应相等的两个三角形相似）。
4. 根据相似三角形的性质，对应边成比例，可得$\frac{BF}{EF}=\frac{FG}{BF}$。
5. 交叉相乘变形得：$BF^2=FG·EF$。
【答案】
$BF^2 = FG · EF$
【知识点】
相似三角形的判定与性质；平行线的性质；等积式与比例式转化
【点评】
本题属于几何线段关系证明的常规题型，解题核心是将等积式转化为比例式，准确找到需要证明的相似三角形，再结合已知角的关系和平行线性质推导角相等，完成相似的证明即可得到结论，对学生的逻辑推导能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
11. 如图，在$5×5$的方格纸中，我们把像$△ ABC$这样的顶点在小正方形的顶点的三角形叫做格点三角形.(1)在另外四个$5×5$的方格纸中各画出一个与$△ ABC$相似且互不全等的格点三角形.(2)直接写出在一个$6×6$的方格纸中可以画出与$△ ABC$相似的不同格点三角形的个数.
答案
11.(1)图略 (2)7个
解析
【分析】
首先需要借助勾股定理计算原△ABC的三边长度，得到三边的比值，相似三角形的三边比需与该比值完全相等。
对于第(1)问，将原三角形三边按不同的比例放大，保证放大后的三角形顶点均在格点上，且四个三角形互不全等即可。
对于第(2)问，分类讨论所有符合三边比例的三角形，判断其能否在6×6方格纸中画出，统计所有不全等的符合条件的三角形个数即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，用勾股定理计算△ABC的三边长：
$AB=1$，$BC=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$AC=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，因此△ABC的三边比为$1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$，所有和它相似的三角形都满足该三边比。
(1) 可分别取相似比为$\sqrt{2}$、2、$\sqrt{5}$、3，画出对应格点三角形，三边分别为$\sqrt{2},2,\sqrt{10}$、$2,2\sqrt{2},2\sqrt{5}$、$\sqrt{5},\sqrt{10},5$、$3,3\sqrt{2},3\sqrt{5}$即可，四个三角形互不全等且与△ABC相似，作图略。
(2) 在6×6方格纸中按最短边的不同分类统计不全等的符合条件的三角形：
①最短边为1，对应三边$1,\sqrt{2},\sqrt{5}$，可画出；
②最短边为$\sqrt{2}$，对应三边$\sqrt{2},2,\sqrt{10}$，可画出；
③最短边为2，对应三边$2,2\sqrt{2},2\sqrt{5}$，可画出；
④最短边为$\sqrt{5}$，对应三边$\sqrt{5},\sqrt{10},5$，可画出；
⑤最短边为$2\sqrt{2}$，对应三边$2\sqrt{2},4,2\sqrt{10}$，可画出；
⑥最短边为3，对应三边$3,3\sqrt{2},3\sqrt{5}$，可画出；
⑦最短边为$\sqrt{10}$，对应三边$\sqrt{10},2\sqrt{5},5\sqrt{2}$，可画出；
综上共7个符合条件的不同格点三角形。
【答案】
(1) 作图略；(2) 7个
【知识点】
勾股定理，相似三角形的判定，格点作图
【点评】
本题结合格点背景考查相似三角形的相关知识，需要先通过勾股定理确定原三角形的三边比例，再按比例寻找符合要求的格点三角形，计数时需要用到分类讨论思想，避免漏数或者多数。
【难度系数】
0.5
首先需要借助勾股定理计算原△ABC的三边长度，得到三边的比值，相似三角形的三边比需与该比值完全相等。
对于第(1)问，将原三角形三边按不同的比例放大，保证放大后的三角形顶点均在格点上，且四个三角形互不全等即可。
对于第(2)问，分类讨论所有符合三边比例的三角形，判断其能否在6×6方格纸中画出，统计所有不全等的符合条件的三角形个数即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，用勾股定理计算△ABC的三边长：
$AB=1$，$BC=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$AC=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，因此△ABC的三边比为$1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$，所有和它相似的三角形都满足该三边比。
(1) 可分别取相似比为$\sqrt{2}$、2、$\sqrt{5}$、3，画出对应格点三角形，三边分别为$\sqrt{2},2,\sqrt{10}$、$2,2\sqrt{2},2\sqrt{5}$、$\sqrt{5},\sqrt{10},5$、$3,3\sqrt{2},3\sqrt{5}$即可，四个三角形互不全等且与△ABC相似，作图略。
(2) 在6×6方格纸中按最短边的不同分类统计不全等的符合条件的三角形：
①最短边为1，对应三边$1,\sqrt{2},\sqrt{5}$，可画出；
②最短边为$\sqrt{2}$，对应三边$\sqrt{2},2,\sqrt{10}$，可画出；
③最短边为2，对应三边$2,2\sqrt{2},2\sqrt{5}$，可画出；
④最短边为$\sqrt{5}$，对应三边$\sqrt{5},\sqrt{10},5$，可画出；
⑤最短边为$2\sqrt{2}$，对应三边$2\sqrt{2},4,2\sqrt{10}$，可画出；
⑥最短边为3，对应三边$3,3\sqrt{2},3\sqrt{5}$，可画出；
⑦最短边为$\sqrt{10}$，对应三边$\sqrt{10},2\sqrt{5},5\sqrt{2}$，可画出；
综上共7个符合条件的不同格点三角形。
【答案】
(1) 作图略；(2) 7个
【知识点】
勾股定理，相似三角形的判定，格点作图
【点评】
本题结合格点背景考查相似三角形的相关知识，需要先通过勾股定理确定原三角形的三边比例，再按比例寻找符合要求的格点三角形，计数时需要用到分类讨论思想，避免漏数或者多数。
【难度系数】
0.5
