一、平移与旋转
注：中心对称属于特殊的旋转变换.
注：中心对称属于特殊的旋转变换.
答案
①旋转中心；②旋转角；
③全等；④$\triangle ABC$；⑤$\triangle DEF$；
⑥平行；
⑦平行；⑧$DE$；⑨$DE$；⑩相等；⑪$\angle DFE$；
⑫全等；⑬$\triangle DEF$；
⑭相等；⑮$OD$；
⑯等于；⑰$\angle BOE$；
⑱相等；⑲$DE$；⑳相等；㉑$\angle BAC$。
③全等；④$\triangle ABC$；⑤$\triangle DEF$；
⑥平行；
⑦平行；⑧$DE$；⑨$DE$；⑩相等；⑪$\angle DFE$；
⑫全等；⑬$\triangle DEF$；
⑭相等；⑮$OD$；
⑯等于；⑰$\angle BOE$；
⑱相等；⑲$DE$；⑳相等；㉑$\angle BAC$。
对点训练 1. 如图,将△ABC沿射线AB方向平移,得到△BDE.
(1)AC与BE的数量关系是
(2)若∠1=55°,∠2=35°,则∠D的度数为
(3)在(2)的条件下,连接CE,则四边形BDEC的形状是
(1)AC与BE的数量关系是
AC=BE
,位置关系是AC//BE
；(2)若∠1=55°,∠2=35°,则∠D的度数为
90°
；(3)在(2)的条件下,连接CE,则四边形BDEC的形状是
矩形
.答案
1. （1）
因为$\triangle ABC$沿射线$AB$方向平移得到$\triangle BDE$，根据平移的性质：平移前后对应线段平行且相等。
$AC$与$BE$是对应线段，所以$AC = BE$，$AC// BE$。
2. （2）
因为$\triangle ABC$沿射线$AB$方向平移得到$\triangle BDE$，所以$\angle A=\angle DBE$，$\angle1 = 55^{\circ}$，则$\angle DBE = 55^{\circ}$。
在$\triangle BDE$中，根据三角形内角和定理$\angle D+\angle DBE+\angle2 = 180^{\circ}$，已知$\angle2 = 35^{\circ}$。
所以$\angle D=180^{\circ}-\angle DBE - \angle2$，把$\angle DBE = 55^{\circ}$，$\angle2 = 35^{\circ}$代入可得：$\angle D=180^{\circ}-55^{\circ}-35^{\circ}=90^{\circ}$。
3. （3）
由平移性质得$BC = DE$，$BC// DE$（平移前后对应线段平行且相等），又因为$AC = BE$，$AC// BE$，$\angle D = 90^{\circ}$。
所以四边形$BDEC$是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），又因为$\angle D = 90^{\circ}$，所以四边形$BDEC$是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。
故答案依次为：（1）$AC = BE$；$AC// BE$；（2）$90^{\circ}$；（3）矩形。
因为$\triangle ABC$沿射线$AB$方向平移得到$\triangle BDE$，根据平移的性质：平移前后对应线段平行且相等。
$AC$与$BE$是对应线段，所以$AC = BE$，$AC// BE$。
2. （2）
因为$\triangle ABC$沿射线$AB$方向平移得到$\triangle BDE$，所以$\angle A=\angle DBE$，$\angle1 = 55^{\circ}$，则$\angle DBE = 55^{\circ}$。
在$\triangle BDE$中，根据三角形内角和定理$\angle D+\angle DBE+\angle2 = 180^{\circ}$，已知$\angle2 = 35^{\circ}$。
所以$\angle D=180^{\circ}-\angle DBE - \angle2$，把$\angle DBE = 55^{\circ}$，$\angle2 = 35^{\circ}$代入可得：$\angle D=180^{\circ}-55^{\circ}-35^{\circ}=90^{\circ}$。
3. （3）
由平移性质得$BC = DE$，$BC// DE$（平移前后对应线段平行且相等），又因为$AC = BE$，$AC// BE$，$\angle D = 90^{\circ}$。
所以四边形$BDEC$是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），又因为$\angle D = 90^{\circ}$，所以四边形$BDEC$是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。
故答案依次为：（1）$AC = BE$；$AC// BE$；（2）$90^{\circ}$；（3）矩形。
2. 如图1,将△ABC绕点B逆时针旋转一定的角度得到△A'BC',点A和点A'是对应点,点C和点C'是对应点.
(1)①若∠ABC=50°,旋转角为30°,则∠A'BA的度数为
②若AB=5,AC=8,则A'B的长为
(2)如图2,当△ABC的顶点A恰好在边A'C'上时.
①△ABA'的形状为
②若∠BA'C'=80°,则∠CBC'的度数为
(1)①若∠ABC=50°,旋转角为30°,则∠A'BA的度数为
30°
,∠ABC'的度数为80°
；②若AB=5,AC=8,则A'B的长为
5
,A'C'的长为8
.(2)如图2,当△ABC的顶点A恰好在边A'C'上时.
①△ABA'的形状为
等腰三角形
；②若∠BA'C'=80°,则∠CBC'的度数为
20°
.答案
$(1)$①
- 旋转角的定义：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
已知旋转角为$30^{\circ}$，所以$\angle A'BA = 30^{\circ}$。
根据旋转的性质：$\angle ABC=\angle A'BC' = 50^{\circ}$，那么$\angle ABC'=\angle A'BC'+\angle A'BA$。
将$\angle A'BA = 30^{\circ}$，$\angle A'BC' = 50^{\circ}$代入可得：$\angle ABC'=50^{\circ}+ 30^{\circ}=80^{\circ}$。
$(1)$②
- 根据旋转的性质：旋转前后对应线段相等。
因为$A$与$A'$是对应点，$B$是旋转中心，所以$A'B = AB$，已知$AB = 5$，则$A'B = 5$。
又因为$AC$与$A'C'$是对应线段，所以$A'C' = AC$，已知$AC = 8$，则$A'C' = 8$。
$(2)$①
- 由旋转的性质可知$AB = A'B$，根据等腰三角形的定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形，所以$\triangle ABA'$是等腰三角形。
$(2)$②
- 设$\angle CBC'=\alpha$，则$\angle ABA'=\alpha$（旋转角相等）。
因为$AB = A'B$，所以$\angle BA'A=\angle BAA'=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\alpha)=90^{\circ}-\frac{1}{2}\alpha$。
又因为$\angle BA'C' = 80^{\circ}$，$\angle BA'C'+\angle BA'A = 180^{\circ}$（邻补角定义），即$80^{\circ}+90^{\circ}-\frac{1}{2}\alpha = 180^{\circ}$。
移项可得：$-\frac{1}{2}\alpha=180^{\circ}-80^{\circ}-90^{\circ}$，$-\frac{1}{2}\alpha = 10^{\circ}$，解得$\alpha = 20^{\circ}$，所以$\angle CBC' = 20^{\circ}$。
综上，答案依次为：$(1)$①$\boldsymbol{30^{\circ}}$；$\boldsymbol{80^{\circ}}$ ②$\boldsymbol{5}$；$\boldsymbol{8}$ $(2)$①等腰三角形 ②$\boldsymbol{20^{\circ}}$ 。
- 旋转角的定义：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
已知旋转角为$30^{\circ}$，所以$\angle A'BA = 30^{\circ}$。
根据旋转的性质：$\angle ABC=\angle A'BC' = 50^{\circ}$，那么$\angle ABC'=\angle A'BC'+\angle A'BA$。
将$\angle A'BA = 30^{\circ}$，$\angle A'BC' = 50^{\circ}$代入可得：$\angle ABC'=50^{\circ}+ 30^{\circ}=80^{\circ}$。
$(1)$②
- 根据旋转的性质：旋转前后对应线段相等。
因为$A$与$A'$是对应点，$B$是旋转中心，所以$A'B = AB$，已知$AB = 5$，则$A'B = 5$。
又因为$AC$与$A'C'$是对应线段，所以$A'C' = AC$，已知$AC = 8$，则$A'C' = 8$。
$(2)$①
- 由旋转的性质可知$AB = A'B$，根据等腰三角形的定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形，所以$\triangle ABA'$是等腰三角形。
$(2)$②
- 设$\angle CBC'=\alpha$，则$\angle ABA'=\alpha$（旋转角相等）。
因为$AB = A'B$，所以$\angle BA'A=\angle BAA'=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\alpha)=90^{\circ}-\frac{1}{2}\alpha$。
又因为$\angle BA'C' = 80^{\circ}$，$\angle BA'C'+\angle BA'A = 180^{\circ}$（邻补角定义），即$80^{\circ}+90^{\circ}-\frac{1}{2}\alpha = 180^{\circ}$。
移项可得：$-\frac{1}{2}\alpha=180^{\circ}-80^{\circ}-90^{\circ}$，$-\frac{1}{2}\alpha = 10^{\circ}$，解得$\alpha = 20^{\circ}$，所以$\angle CBC' = 20^{\circ}$。
综上，答案依次为：$(1)$①$\boldsymbol{30^{\circ}}$；$\boldsymbol{80^{\circ}}$ ②$\boldsymbol{5}$；$\boldsymbol{8}$ $(2)$①等腰三角形 ②$\boldsymbol{20^{\circ}}$ 。
