12. （8分）已知$a^{m}=3$，$a^{n}=9$，求$a^{3m-2n}$的值.

12. 解：当 $ a^{m} = 3 $，$ a^{n} = 9 $ 时，$ a^{3m - 2n} = a^{3m} ÷ a^{2n} = (a^{m})^{3} ÷ (a^{n})^{2} = 3^{3} ÷ 9^{2} = \frac{1}{3} $。

13. (12分)观察下列各式：
$3^{1}-3^{0}=2× 3^{0}$； ①
$3^{2}-3^{1}=2× 3^{1}$； ②
$3^{3}-3^{2}=2× 3^{2}$； ③
……
探索以上式子的规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式：；
(2)试写出第$n$个等式，并说明第$n$个等式成立；
(3)求$3^{0}+3^{1}+3^{2}+··· +3^{2024}$的值.

13. (1) $ 3^{5} - 3^{4} = 2 × 3^{4} $
(2) 解：第 $ n $ 个等式为 $ 3^{n} - 3^{n - 1} = 2 × 3^{n - 1} $。
理由：左边 $ = 3^{n - 1}(3 - 1) = 2 × 3^{n - 1} = $ 右边，
所以 $ 3^{n} - 3^{n - 1} = 2 × 3^{n - 1} $。
(3) 解：原式 $ = \frac{2 × 3^{0} + 2 × 3^{1} + 2 × 3^{2} + ··· + 2 × 3^{2024}}{2} $
$ = \frac{3^{1} - 3^{0} + 3^{2} - 3^{1} + 3^{3} - 3^{2} + ··· + 3^{2025} - 3^{2024}}{2} $
$ = \frac{3^{2025} - 1}{2} $。

14. （12分）已知$4^{m}=a$，$8^{n}=b$，用含$a$，$b$的式子表示下列代数式的值：
（1）$2^{2m+3n}$；
（2）$2^{4m-6n}$.

14. 解：(1) 因为 $ 4^{m} = a $，$ 8^{n} = b $，
所以 $ 2^{2m} = a $，$ 2^{3n} = b $，所以 $ 2^{2m + 3n} = 2^{2m} · 2^{3n} = ab $。
(2) 因为 $ 2^{2m} = a $，$ 2^{3n} = b $，
所以 $ 2^{4m - 6n} = 2^{4m} ÷ 2^{6n} = (2^{2m})^{2} ÷ (2^{3n})^{2} = \frac{a^{2}}{b^{2}} $。