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三、解答题(50分)
11[2025江苏苏州期中]先化简,再求值:$x^2y - 2(\frac{1}{4}xy^2 - 3x^2y) + (-\frac{1}{2}xy^2 - x^2y)$,其中 $x = \frac{3}{2}$,
$y = -2$
11[2025江苏苏州期中]先化简,再求值:$x^2y - 2(\frac{1}{4}xy^2 - 3x^2y) + (-\frac{1}{2}xy^2 - x^2y)$,其中 $x = \frac{3}{2}$,
$y = -2$
答案
11.【解】$x^2y-2(\frac{1}{4}xy^2-3x^2y)+(-\frac{1}{2}xy^2-x^2y)=x^2y-\frac{1}{2}xy^2+6x^2y-\frac{1}{2}xy^2-x^2y=6x^2y-xy^2$. 当 $x=\frac{3}{2},y=-2$ 时,原式$=6×(\frac{3}{2})^2×(-2)-\frac{3}{2}×(-2)^2=-33$.
12[2026河南信阳期末]定义:若$m+n=2$,则称$m$与$n$是关于2的平衡数.
(1)3与
(2)若$A=2x^2-3(x^2+x)+4$,$B=2x-[3x-(4x+x^2)-2]$,判断$A$与$B$是否为关于2的平衡数,并说明理由.
(1)3与
-1
是关于2的平衡数;$5-x$与$x-3$
(用含$x$的整式表示)是关于2的平衡数.(2)若$A=2x^2-3(x^2+x)+4$,$B=2x-[3x-(4x+x^2)-2]$,判断$A$与$B$是否为关于2的平衡数,并说明理由.
答案
12.【解】(1)设 3 与 $a$ 是关于 2 的平衡数,则 $3+a=2$,解得 $a=-1$;设 $5-x$ 与 $b$ 是关于 2 的平衡数,则 $5-x+b=2$,解得 $b=x-3$,故答案为 $-1,x-3$.
(2)$A$ 与 $B$ 不是关于 2 的平衡数. 理由如下:因为 $A=2x^2-3(x^2+x)+4$,$B=2x-[3x-(4x+x^2)-2]$,所以 $A+B=2x^2-3(x^2+x)+4+2x-[3x-(4x+x^2)-2]=2x^2-3x^2-3x+4+2x-3x+4x+x^2+2=6$,所以 $A$ 与 $B$ 不是关于 2 的平衡数.
(2)$A$ 与 $B$ 不是关于 2 的平衡数. 理由如下:因为 $A=2x^2-3(x^2+x)+4$,$B=2x-[3x-(4x+x^2)-2]$,所以 $A+B=2x^2-3(x^2+x)+4+2x-[3x-(4x+x^2)-2]=2x^2-3x^2-3x+4+2x-3x+4x+x^2+2=6$,所以 $A$ 与 $B$ 不是关于 2 的平衡数.
13 新考法[2026江苏盐城调研]如图,在一个水平的“气垫导轨”上做小球碰撞实验.轨道上有三个大小、质量完全相同的小球A,B,C,轨道两端各有一个挡板M和N,挡板间的距离为210 cm.其中C到左挡板M的距离为30 cm,B到右挡板N的距离为90 cm,A,C两球相距50 cm.现以轨道所在直线画数轴,A球在原点,B球表示的数为40,解答下列问题:
(1)C球表示的数为
(2)碰撞实验中(小球大小、相撞时间不计),小球始终做匀速直线运动,当一小球以一速度撞向另一静止小球时,这个小球停留在被撞小球的位置,被撞小球则以同样的速度向这个小球运动的方向运动,若小球撞到左右挡板,则以相同的速度向相反方向运动.假设A,B两球同时开始运动,运动时间为t秒(t＞0).若A球以每秒10 cm的速度向左运动,B球以每秒15 cm的速度向右运动,当A,B两球相撞时,两球均停止运动.
①当B球撞到挡板N时,t=
②令$m=2AM+BN$,其中,AM表示点A,M之间的距离,BN表示点B,N之间的距离.请探究在运动过程中,m与t的数量关系;
③当三个球运动的路程和为300 cm时,求此时正在运动的球表示的数是什么.
小心踩坑鸭
(1)C球表示的数为
-50
,左挡板M表示的数为-80
;(2)碰撞实验中(小球大小、相撞时间不计),小球始终做匀速直线运动,当一小球以一速度撞向另一静止小球时,这个小球停留在被撞小球的位置,被撞小球则以同样的速度向这个小球运动的方向运动,若小球撞到左右挡板,则以相同的速度向相反方向运动.假设A,B两球同时开始运动,运动时间为t秒(t＞0).若A球以每秒10 cm的速度向左运动,B球以每秒15 cm的速度向右运动,当A,B两球相撞时,两球均停止运动.
①当B球撞到挡板N时,t=
6
;②令$m=2AM+BN$,其中,AM表示点A,M之间的距离,BN表示点B,N之间的距离.请探究在运动过程中,m与t的数量关系;
③当三个球运动的路程和为300 cm时,求此时正在运动的球表示的数是什么.
小心踩坑鸭
答案
13.【解】(1)由题意得 $AC=50$ cm,$AM=AC+CM=50+30=80(\mathrm{cm})$. 因为 A 球在原点,所以 C 球表示的数为-50,左挡板 M 表示的数为-80. 故答案为-50,-80.
(2)①因为 B 球以每秒 15 cm 的速度向右运动,$BN=90$ cm,所以 $t=\frac{90}{15}=6$. 故答案为 6.
②由题意可得,左挡板 M 表示的数为-80,C 球表示的数为-50,A 球表示的数为 0,B 球表示的数为 40,右挡板 N 表示的数为 130,当 A,B 两球相撞时,$t=\frac{210+210-40}{10+15}=15.2$,此时 A,B 两球均停止运动. 当 $0＜t＜5$ 时,A 球以每秒 10 cm 的速度向左运动,B 球以每秒 15 cm 的速度向右运动,所以 $AM=(80-10t)\mathrm{cm}$,$BN=(90-15t)\mathrm{cm}$. 因为 $m=2AM+BN$,所以 $m=2(80-10t)+(90-15t)=(250-35t)\mathrm{cm}$. 当 $5≤t＜6$ 时,A 球撞 C 球后 A 球停止运动,C 球以每秒 10 cm 的速度向左运动,B 球以每秒 15 cm 的速度向右运动,所以 $AM=30$ cm,$BN=(90-15t)\mathrm{cm}$. 因为 $m=2AM+BN$,所以 $m=2×30+(90-15t)=(150-15t)\mathrm{cm}$. 当 $6≤t＜11$ 时,A 球静止不动,B 球撞右挡板 N 后返回,以每秒 15 cm 的速度向左运动,所以 $AM=30$ cm,$BN=15(t-6)=(15t-90)\mathrm{cm}$. 因为 $m=2AM+BN$,所以 $m=2×30+(15t-90)=(15t-30)\mathrm{cm}$. 当 $11≤t≤15.2$ 时,C 球撞 A 球后 C 球停止运动,A 球以每秒 10 cm 的速度向右运动,B 球继续以每秒 15 cm 的速度向左运动,所以 $AM=30+10(t-11)=(10t-80)\mathrm{cm}$,$BN=15(t-6)=(15t-90)\mathrm{cm}$. 因为 $m=2AM+BN$,所以 $m=2(10t-80)+(15t-90)=(35t-250)\mathrm{cm}$.
综上所述,$m=\begin{cases}250-35t(0＜t＜5), \\150-15t(5≤ t＜6), \\15t-30(6≤ t＜11), \\35t-250(11≤ t≤ 15.2).\end{cases}$
③当三个球运动的路程和为 300 cm 时,$t=\frac{300}{10+15}=12$,此时 C 球静止不动,A 球向右运动,B 球向左运动. 由②得此时 $AM=(10t-80)\mathrm{cm}$,$BN=(15t-90)\mathrm{cm}$,所以 $AM=10×12-80=40(\mathrm{cm})$,$BN=15×12-90=90(\mathrm{cm})$,所以 A 球表示的数为-40,B 球表示的数为 40.
(2)①因为 B 球以每秒 15 cm 的速度向右运动,$BN=90$ cm,所以 $t=\frac{90}{15}=6$. 故答案为 6.
②由题意可得,左挡板 M 表示的数为-80,C 球表示的数为-50,A 球表示的数为 0,B 球表示的数为 40,右挡板 N 表示的数为 130,当 A,B 两球相撞时,$t=\frac{210+210-40}{10+15}=15.2$,此时 A,B 两球均停止运动. 当 $0＜t＜5$ 时,A 球以每秒 10 cm 的速度向左运动,B 球以每秒 15 cm 的速度向右运动,所以 $AM=(80-10t)\mathrm{cm}$,$BN=(90-15t)\mathrm{cm}$. 因为 $m=2AM+BN$,所以 $m=2(80-10t)+(90-15t)=(250-35t)\mathrm{cm}$. 当 $5≤t＜6$ 时,A 球撞 C 球后 A 球停止运动,C 球以每秒 10 cm 的速度向左运动,B 球以每秒 15 cm 的速度向右运动,所以 $AM=30$ cm,$BN=(90-15t)\mathrm{cm}$. 因为 $m=2AM+BN$,所以 $m=2×30+(90-15t)=(150-15t)\mathrm{cm}$. 当 $6≤t＜11$ 时,A 球静止不动,B 球撞右挡板 N 后返回,以每秒 15 cm 的速度向左运动,所以 $AM=30$ cm,$BN=15(t-6)=(15t-90)\mathrm{cm}$. 因为 $m=2AM+BN$,所以 $m=2×30+(15t-90)=(15t-30)\mathrm{cm}$. 当 $11≤t≤15.2$ 时,C 球撞 A 球后 C 球停止运动,A 球以每秒 10 cm 的速度向右运动,B 球继续以每秒 15 cm 的速度向左运动,所以 $AM=30+10(t-11)=(10t-80)\mathrm{cm}$,$BN=15(t-6)=(15t-90)\mathrm{cm}$. 因为 $m=2AM+BN$,所以 $m=2(10t-80)+(15t-90)=(35t-250)\mathrm{cm}$.
综上所述,$m=\begin{cases}250-35t(0＜t＜5), \\150-15t(5≤ t＜6), \\15t-30(6≤ t＜11), \\35t-250(11≤ t≤ 15.2).\end{cases}$
③当三个球运动的路程和为 300 cm 时,$t=\frac{300}{10+15}=12$,此时 C 球静止不动,A 球向右运动,B 球向左运动. 由②得此时 $AM=(10t-80)\mathrm{cm}$,$BN=(15t-90)\mathrm{cm}$,所以 $AM=10×12-80=40(\mathrm{cm})$,$BN=15×12-90=90(\mathrm{cm})$,所以 A 球表示的数为-40,B 球表示的数为 40.
