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7. (2025·南通海安期末)中国古代数学著作《增删算法统宗》中记载的“绳索量竿”问题,大意是:现有一根竿子和一条绳索,用绳索去量竿子,绳索比竿子长5尺;若将绳索对折去量竿子,绳索就比竿子短5尺,问绳索、竿子各有多长?甲、乙两人所列方程如下,下列选项判断正确的是(
甲:设竿子长为 $ x $ 尺,根据题意可列方程为
$x - \frac{x + 5}{2} = 5;$
乙:设绳索长为 $ x $ 尺,根据题意可列方程为
$(x - 5) - \frac{x}{2} = 5.$
A.甲对乙错
B.甲错乙对
C.甲、乙都对
D.甲、乙都错
C
).甲:设竿子长为 $ x $ 尺,根据题意可列方程为
$x - \frac{x + 5}{2} = 5;$
乙:设绳索长为 $ x $ 尺,根据题意可列方程为
$(x - 5) - \frac{x}{2} = 5.$
A.甲对乙错
B.甲错乙对
C.甲、乙都对
D.甲、乙都错
答案
甲:设竿子长为x尺,根据“若将绳索对折去量竿子,绳索就比竿子短5尺”可列方程为$x-\frac{x+5}{2}=5$;
乙:设绳索长为x尺,根据“若将绳索对折去量竿子,绳索就比竿子短5尺”可列方程为$(x-5)-\frac{x}{2}=5$,
∴甲、乙都对.故选C.
乙:设绳索长为x尺,根据“若将绳索对折去量竿子,绳索就比竿子短5尺”可列方程为$(x-5)-\frac{x}{2}=5$,
∴甲、乙都对.故选C.
8. (2025·连云港东海期末)程大位是我国珠算发明家，他完成的杰作《直指算法统宗》是东方古代数学名著，在书中记载了一道趣题：一百个馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁？意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，试问大、小和尚各多少人？如果设大和尚有$x$人，根据题意可列方程为(
A.$3x=100-\dfrac{1}{3}x$
B.$\dfrac{1}{3}x+100-3x=100$
C.$3x+\dfrac{1}{3}(100-x)=100$
D.$\dfrac{1}{3}x+3(100-x)=100$
C
).A.$3x=100-\dfrac{1}{3}x$
B.$\dfrac{1}{3}x+100-3x=100$
C.$3x+\dfrac{1}{3}(100-x)=100$
D.$\dfrac{1}{3}x+3(100-x)=100$
答案
C
9. 某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗:我问开店李三公,众客都来到店中,一房七客多七客,一房九客一房空.诗中后两句的意思是:如果每一间客房住7人,那么有7人无房可住;如果每一间客房住9人,那么就空出一间房.
(1)该店有客房多少间?房客多少人?
(2)假设店主李三公将客房进行改造后,房间数大大增加.每间客房收费20钱,且每间客房最多入住4人,一次性定客房18间以上(含18间),房费按8折优惠.若诗中“众客”再次一起入住,他们如何订房更划算?请写出你做出这种决策的理由.
(1)该店有客房多少间?房客多少人?
(2)假设店主李三公将客房进行改造后,房间数大大增加.每间客房收费20钱,且每间客房最多入住4人,一次性定客房18间以上(含18间),房费按8折优惠.若诗中“众客”再次一起入住,他们如何订房更划算?请写出你做出这种决策的理由.
答案
(1)设客房有x间.
根据题意,得7x+7=9x-9,
解得x=8,所以房客为7×8+7=63(人).
故该店有客房8间,房客63人.
(2)如果每4人一个房间,需要$63÷4=15\frac{3}{4}≈16$间客房,
总费用为16×20=320(钱).
若定18间,则总费用为18×20×0.8=288(钱)＜320钱.
故他们再次入住定18间房时更划算.
归纳总结 本题考查了一元一次方程的应用,熟练掌握一元一次方程的解题方法是解题的关键.
根据题意,得7x+7=9x-9,
解得x=8,所以房客为7×8+7=63(人).
故该店有客房8间,房客63人.
(2)如果每4人一个房间,需要$63÷4=15\frac{3}{4}≈16$间客房,
总费用为16×20=320(钱).
若定18间,则总费用为18×20×0.8=288(钱)＜320钱.
故他们再次入住定18间房时更划算.
归纳总结 本题考查了一元一次方程的应用,熟练掌握一元一次方程的解题方法是解题的关键.
10. (2025·徐州三十六中期末)如图,一束平行光线照射平面镜后反射,若入射光线与平面镜夹角$∠ 1=50°$,则反射光线与平面镜夹角$∠ 4$的度数为
50°
.答案
50°
11. (2025·连云港月考)我们知道乌鸦喝水的故事.现在来做一个道理相同的游戏.如图,在圆柱形玻璃桶里已有定量的水,将大小相同的围棋棋子一个个慢慢投入其中.显然,在有水溢出之前,每投入一个棋子,桶里水位的高度都会有变化. 根据如图信息,解答下列各题:
(1)投入第1个围棋子后,水位上升了
(2)设投入了$n$个围棋子,没有水溢出.用$n$表示此时桶里水的高度.
(3)小亮认为投入72个围棋子,正好可使水位达到桶的高度.你同意他的观点吗?说说理由.
(1)投入第1个围棋子后,水位上升了
0.25
cm,此时桶里的水位高度达到了12.25
cm.(2)设投入了$n$个围棋子,没有水溢出.用$n$表示此时桶里水的高度.
(3)小亮认为投入72个围棋子,正好可使水位达到桶的高度.你同意他的观点吗?说说理由.
答案
(1)0.25 12.25 [解析]无棋子时,水位为12 cm,投入12个围棋子时,水位增长了3 cm,所以每增加一个棋子,水位上升3÷12=0.25(cm).故投入第1个围棋子后,水位上升了0.25 cm,此时桶里的水位高度达到了12.25 cm.
(2)由(1)知,每增加一个围棋子,水位上升0.25 cm.
故桶里水的高度为(0.25n+12) cm.
(3)同意.理由如下:
∵当n=72时,0.25n+12=30,
∴正好可使水位达到桶的高度.
(2)由(1)知,每增加一个围棋子,水位上升0.25 cm.
故桶里水的高度为(0.25n+12) cm.
(3)同意.理由如下:
∵当n=72时,0.25n+12=30,
∴正好可使水位达到桶的高度.
