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1. 下面是某月份的日历，由如图所示的框任意框出三个数 $ a,b,c $，则 $ a + b + c $ 的值不可能是（
A.63
B.66
C.69
D.72
D
）A.63
B.66
C.69
D.72
答案
提示:根据图示知,$a+8=b,b+8=c$,所以$c=a+16$,所以$a+b+c=a+a+8+a+16=3a+24$. 当$3a+24=63$时,解得$a=13$,故选项A不符合题意;当$3a+24=66$时,解得$a=14$,故选项B不符合题意;当$3a+24=69$时,解得$a=15$,故选项C不符合题意;当$3a+24=72$时,解得$a=16$,当$a=16$时,$c=a+16=32$,不可能,故选项D符合题意.
解析
【分析】
我们先观察日历的数字排布特点：日历中同一行相邻数差1，同一列相邻数差7。再看三个阴影块的位置：b在a的下一行右侧一列，相当于比a大7+1=8，同理c在b的下一行右侧一列，比b大8，也就是c比a大16。这样就可以把三个数的和用仅含a的代数式表示，之后把四个选项的数值分别代入，解出对应的a，再验证得到的c是否符合月份日期最大不超过31的实际规则，就能判断出不可能的选项。
【解析】
解：根据日历数字规律和阴影块位置可得：
$b = a + 8$，$c = b + 8 = a + 16$
因此三个数的总和为：
$a+b+c = a+(a+8)+(a+16) = 3a+24$
逐个验证选项：
1. 当$3a+24=63$时，解得$a=13$，此时$b=21$，$c=29$，均为合法日期，符合要求；
2. 当$3a+24=66$时，解得$a=14$，此时$b=22$，$c=30$，均为合法日期，符合要求；
3. 当$3a+24=69$时，解得$a=15$，此时$b=23$，$c=31$，均为合法日期，符合要求；
4. 当$3a+24=72$时，解得$a=16$，此时$c=a+16=32$，一个月最多只有31天，不存在32号，不符合实际，该情况不可能。
【答案】D
【知识点】日历数字规律，一元一次方程应用
【点评】本题结合日历场景考察代数式与方程的实际应用，核心是先根据阴影块的位置推导出三个数的代数关系，易错点是解出方程后容易忽略日期的最大取值限制，忘记验证结果是否符合日历的排布规则。
【难度系数】0.6
我们先观察日历的数字排布特点：日历中同一行相邻数差1，同一列相邻数差7。再看三个阴影块的位置：b在a的下一行右侧一列，相当于比a大7+1=8，同理c在b的下一行右侧一列，比b大8，也就是c比a大16。这样就可以把三个数的和用仅含a的代数式表示，之后把四个选项的数值分别代入，解出对应的a，再验证得到的c是否符合月份日期最大不超过31的实际规则，就能判断出不可能的选项。
【解析】
解：根据日历数字规律和阴影块位置可得：
$b = a + 8$，$c = b + 8 = a + 16$
因此三个数的总和为：
$a+b+c = a+(a+8)+(a+16) = 3a+24$
逐个验证选项：
1. 当$3a+24=63$时，解得$a=13$，此时$b=21$，$c=29$，均为合法日期，符合要求；
2. 当$3a+24=66$时，解得$a=14$，此时$b=22$，$c=30$，均为合法日期，符合要求；
3. 当$3a+24=69$时，解得$a=15$，此时$b=23$，$c=31$，均为合法日期，符合要求；
4. 当$3a+24=72$时，解得$a=16$，此时$c=a+16=32$，一个月最多只有31天，不存在32号，不符合实际，该情况不可能。
【答案】D
【知识点】日历数字规律，一元一次方程应用
【点评】本题结合日历场景考察代数式与方程的实际应用，核心是先根据阴影块的位置推导出三个数的代数关系，易错点是解出方程后容易忽略日期的最大取值限制，忘记验证结果是否符合日历的排布规则。
【难度系数】0.6
2. 对于有理数$a , b$，定义$G(a , b)$的计算方式为: 当$a ≤ b$时，$G(a,b)=a-b$，当$a＞b$时，$G(a,b)=a+b$. 例如:$G(1,3)=1-$$3=-2$；$G(1,0)=1+0=1$. 已知$A , B$是数轴上的两个点，分别表示有理数$a$和$b$，且线段$AB$的长为 3. 若数$a$满足$G(a^{2}+$$1,-1)=0$，设代数式$Q=G(1,a+b)+$$G(2,a+2b)+G(3,a+3b)+G(100,a+$$100b)$，则$Q$的值为
-212
.答案
提示:因为$a^{2}+1≥1$,所以$a^{2}+1＞-1$,所以$G(a^{2}+1,-1)=(a^{2}+1)+(-1)=a^{2}=0$,故$a=0$. 由线段$AB$的长为 3,得$|a-b|=3$,即$|b|=3$,所以$b=3$或$b=-3$. 当$b=3$时,对于每个$k(1≤k≤100)$,有$k＜kb$,所以$G(k,a+kb)=G(k,0+3k)=k-3k=-2k$;当$b=-3$时,对于每个$k$,有$k＞kb$,故$G(k,a+kb)=G(k,0-3k)=k+(-3k)=-2k$. 所以无论$b=3$或$b=-3$,均有$G(k,a+kb)=-2k$. 所以代数式$Q=G(1,a+b)+G(2,a+2b)+G(3,a+3b)+G(100,a+100b)=-2×1+(-2)×2+(-2)×3+(-2)×100=-2×(1+2+3+100)=-2×106=-212$.
解析
【分析】
这是一道新定义运算结合数轴的综合题，解题思路按三步推进：第一步，先利用平方的非负性判断$a^2+1$和$-1$的大小关系，匹配对应的G运算规则，直接求出a的取值；第二步，根据数轴上线段AB的长度为3，利用数轴两点距离公式$|a-b|=3$，算出b的两个可能取值；第三步，分别代入b的两个取值，逐一判断每个G运算中前后两个数的大小，匹配对应运算规则，发现两种b的取值下所有对应G的运算结果完全一致，最后代入Q的表达式求和即可得到最终结果。
【解析】
1. 求有理数a的值
由平方的非负性可知，对任意有理数a，都有$a^2≥0$，因此$a^2+1≥1$，显然$a^2+1 ＞ -1$。
根据定义，当$a＞b$时$G(a,b)=a+b$，因此：
$G(a^2+1,-1)=(a^2+1)+(-1)=a^2$
已知$G(a^2+1,-1)=0$，因此$a^2=0$，解得$a=0$。
2. 求有理数b的值
线段AB的长为3，数轴上两点A、B的距离满足$|a-b|=3$，将$a=0$代入得$|b|=3$，因此$b=3$或$b=-3$。
3. 分类讨论对应G运算的结果
对Q中出现的$k=1、2、3、100$，分别计算$G(k,a+kb)$：
当$b=3$时，$a+kb=0+3k=3k$，对任意$k\in\{1,2,3,100\}$，都有$k＜3k$，即$k≤ a+kb$，根据定义此时$G(k,a+kb)=k-3k=-2k$；
当$b=-3$时，$a+kb=0-3k=-3k$，对任意$k\in\{1,2,3,100\}$，都有$k＞-3k$，即$k＞ a+kb$，根据定义此时$G(k,a+kb)=k+(-3k)=-2k$。
因此无论b取3还是-3，所有对应G的运算结果都为$-2k$。
4. 计算Q的值
将上述结果代入Q：
$\begin{aligned}Q&=G(1,a+b)+G(2,a+2b)+G(3,a+3b)+G(100,a+100b)\\&=-2×1 + (-2)×2 + (-2)×3 + (-2)×100\\&=-2×(1+2+3+100)\\&=-2×106\\&=-212\end{aligned}$
【答案】
-212
【知识点】
新定义运算，数轴两点距离，有理数运算
【点评】
本题属于新定义综合题型，核心突破口是先利用平方的非负性直接确定a的取值，避免了复杂的分类讨论，后续对b的两种可能取值验证后发现运算结果完全统一，降低了多解的复杂度，解题时要注意仔细核对Q的组成项，不要误将其当成1到100的所有项求和导致计算错误。
【难度系数】
0.3
这是一道新定义运算结合数轴的综合题，解题思路按三步推进：第一步，先利用平方的非负性判断$a^2+1$和$-1$的大小关系，匹配对应的G运算规则，直接求出a的取值；第二步，根据数轴上线段AB的长度为3，利用数轴两点距离公式$|a-b|=3$，算出b的两个可能取值；第三步，分别代入b的两个取值，逐一判断每个G运算中前后两个数的大小，匹配对应运算规则，发现两种b的取值下所有对应G的运算结果完全一致，最后代入Q的表达式求和即可得到最终结果。
【解析】
1. 求有理数a的值
由平方的非负性可知，对任意有理数a，都有$a^2≥0$，因此$a^2+1≥1$，显然$a^2+1 ＞ -1$。
根据定义，当$a＞b$时$G(a,b)=a+b$，因此：
$G(a^2+1,-1)=(a^2+1)+(-1)=a^2$
已知$G(a^2+1,-1)=0$，因此$a^2=0$，解得$a=0$。
2. 求有理数b的值
线段AB的长为3，数轴上两点A、B的距离满足$|a-b|=3$，将$a=0$代入得$|b|=3$，因此$b=3$或$b=-3$。
3. 分类讨论对应G运算的结果
对Q中出现的$k=1、2、3、100$，分别计算$G(k,a+kb)$：
当$b=3$时，$a+kb=0+3k=3k$，对任意$k\in\{1,2,3,100\}$，都有$k＜3k$，即$k≤ a+kb$，根据定义此时$G(k,a+kb)=k-3k=-2k$；
当$b=-3$时，$a+kb=0-3k=-3k$，对任意$k\in\{1,2,3,100\}$，都有$k＞-3k$，即$k＞ a+kb$，根据定义此时$G(k,a+kb)=k+(-3k)=-2k$。
因此无论b取3还是-3，所有对应G的运算结果都为$-2k$。
4. 计算Q的值
将上述结果代入Q：
$\begin{aligned}Q&=G(1,a+b)+G(2,a+2b)+G(3,a+3b)+G(100,a+100b)\\&=-2×1 + (-2)×2 + (-2)×3 + (-2)×100\\&=-2×(1+2+3+100)\\&=-2×106\\&=-212\end{aligned}$
【答案】
-212
【知识点】
新定义运算，数轴两点距离，有理数运算
【点评】
本题属于新定义综合题型，核心突破口是先利用平方的非负性直接确定a的取值，避免了复杂的分类讨论，后续对b的两种可能取值验证后发现运算结果完全统一，降低了多解的复杂度，解题时要注意仔细核对Q的组成项，不要误将其当成1到100的所有项求和导致计算错误。
【难度系数】
0.3
3. (1) 教材第 201 页有这样一道习题:如图1,将长方形纸片 $ABCD$ 沿着 $EF$ 折叠后,点 $D,C$ 分别落在点 $D',C'$ 的位置, $ED'$ 的延长线交 $BC$ 于点 $G$,$∠ EFG=68°$,求 $∠ 1,∠ 2$ 的大小.
(2) 解决折纸问题的关键是抓住长方形纸片中的平行关系以及折叠所带来的等角关系,小明又进行了以下探究活动.
①在(1)的条件下,求图 1 中 $∠ GFC'$的度数.
②如图 2,将长方形纸片沿着 $EF$ 折叠,$ED$ 交边 $BC$ 于点 $G$; 再将图 2中的纸片沿着 $BF$ 折叠成图 3; 再将图 3 中的纸片沿着 $EF$ 折叠成图 4;再将图 4 中的纸片沿着 $BF$ 折叠,此时 $FC$ 恰好与 $FE$ 重叠,则$∠ FEG$ 的度数是多少?
(3) 如图 5,有一张足够长的长方形纸条,点 $E,F$ 分别在 $AD,BC$ 上, $∠ EFC$是一个度数为 $x°$ 的锐角. 如图 6,将纸条折叠,使得 $FC$ 与 $FE$ 重合,打开铺平,得到折痕 $FG_1$; 如图 7,再将纸条折叠,使得 $FC$ 与 $FG_1$ 重合,打开铺平,得到折痕 $FG_2······$ 如此反复操作.若第 5 次操作时,所得的 $∠ AG_5D=$$175°$, 请求出 $x$ 的值.
(2) 解决折纸问题的关键是抓住长方形纸片中的平行关系以及折叠所带来的等角关系,小明又进行了以下探究活动.
①在(1)的条件下,求图 1 中 $∠ GFC'$的度数.
②如图 2,将长方形纸片沿着 $EF$ 折叠,$ED$ 交边 $BC$ 于点 $G$; 再将图 2中的纸片沿着 $BF$ 折叠成图 3; 再将图 3 中的纸片沿着 $EF$ 折叠成图 4;再将图 4 中的纸片沿着 $BF$ 折叠,此时 $FC$ 恰好与 $FE$ 重叠,则$∠ FEG$ 的度数是多少?
(3) 如图 5,有一张足够长的长方形纸条,点 $E,F$ 分别在 $AD,BC$ 上, $∠ EFC$是一个度数为 $x°$ 的锐角. 如图 6,将纸条折叠,使得 $FC$ 与 $FE$ 重合,打开铺平,得到折痕 $FG_1$; 如图 7,再将纸条折叠,使得 $FC$ 与 $FG_1$ 重合,打开铺平,得到折痕 $FG_2······$ 如此反复操作.若第 5 次操作时,所得的 $∠ AG_5D=$$175°$, 请求出 $x$ 的值.
答案
解:(1) 如图 1,因为四边形 $ABCD$ 是长方形,所以 $AD // BC$,所以 $∠DEF = ∠EFG=68°$. 由折叠的性质可知,$∠D'EF=∠DEF=68°$,因为$∠1+∠D'EF+∠DEF=180°$,所以$∠1=180°-68°-68°=44°$. 因为$AD// BC$,所以$∠2+∠1=180°$,所以$∠2=180°-∠1=136°$.
① 如图 1,$∠EFC=180°-∠EFG=112°$. 由折叠的性质可知,$∠EFC'=∠EFC=112°$,因为$∠GFC'=∠EFC'-∠EFG$,所以$∠GFC'=112°-68°=44°$.
② 设$∠FEG=x$. 如图 2,由折叠可知,$∠DEF=∠FEG=x$. 因为$AD// BC$,所以$∠EFG=∠DEF=x$. 因为$D_1E// C_1F$,所以$∠EFC_1=180°-∠FEG=180°-x$,所以$∠GFC_1=∠EFC_1-∠EFG=180°-2x$. 如图 3,由折叠可知,$∠GFC_2=∠GFC_1=180°-2x$,所以$∠EFC_2=∠GFC_2-∠EFG=180°-3x$. 如图 4,由折叠可知,$∠EFC_3=∠EFC_2=180°-3x$,所以$∠BFC_3=∠EFC_3-∠EFG=180°-4x$. 由题意,得$∠BFC_3=∠EFG$,即$180°-4x=x$,解得$x=36°$,所以$∠FEG=36°$.
(3) 如图 5,由折叠可知,$∠EFG_1=∠G_1FC=\frac{1}{2}x°$. 如图 6,由折叠可知,$∠G_1FG_2=∠G_2FC=\frac{1}{2}∠G_1FC=\frac{1}{4}x°=\frac{1}{2^2}x°$,所以$∠EG_2F=∠G_2FC=\frac{1}{4}x°$. 同理可得$∠G_2FG_3=\frac{1}{2}×\frac{1}{4}x°=\frac{1}{8}x°=\frac{1}{2^3}x°$,按此规律,$∠G_4FG_5=\frac{1}{2^5}x°=\frac{1}{32}x°$,如图 7,所以$∠CFG_5=∠G_4FG_5=\frac{1}{32}x°$. 因为$AD// BC$,所以$∠AG_5F=∠CFG_5=\frac{1}{32}x°$,所以$∠FG_5D_5=∠AG_5F+∠AG_5D_5=\frac{1}{32}x°+175°$. 因为$FC_5// D_5G_5$,所以$∠G_4FG_5+∠FG_5D_5=180°$,即$\frac{1}{32}x°+\frac{1}{32}x°+175°=180°$,解得$x=80$.
① 如图 1,$∠EFC=180°-∠EFG=112°$. 由折叠的性质可知,$∠EFC'=∠EFC=112°$,因为$∠GFC'=∠EFC'-∠EFG$,所以$∠GFC'=112°-68°=44°$.
② 设$∠FEG=x$. 如图 2,由折叠可知,$∠DEF=∠FEG=x$. 因为$AD// BC$,所以$∠EFG=∠DEF=x$. 因为$D_1E// C_1F$,所以$∠EFC_1=180°-∠FEG=180°-x$,所以$∠GFC_1=∠EFC_1-∠EFG=180°-2x$. 如图 3,由折叠可知,$∠GFC_2=∠GFC_1=180°-2x$,所以$∠EFC_2=∠GFC_2-∠EFG=180°-3x$. 如图 4,由折叠可知,$∠EFC_3=∠EFC_2=180°-3x$,所以$∠BFC_3=∠EFC_3-∠EFG=180°-4x$. 由题意,得$∠BFC_3=∠EFG$,即$180°-4x=x$,解得$x=36°$,所以$∠FEG=36°$.
(3) 如图 5,由折叠可知,$∠EFG_1=∠G_1FC=\frac{1}{2}x°$. 如图 6,由折叠可知,$∠G_1FG_2=∠G_2FC=\frac{1}{2}∠G_1FC=\frac{1}{4}x°=\frac{1}{2^2}x°$,所以$∠EG_2F=∠G_2FC=\frac{1}{4}x°$. 同理可得$∠G_2FG_3=\frac{1}{2}×\frac{1}{4}x°=\frac{1}{8}x°=\frac{1}{2^3}x°$,按此规律,$∠G_4FG_5=\frac{1}{2^5}x°=\frac{1}{32}x°$,如图 7,所以$∠CFG_5=∠G_4FG_5=\frac{1}{32}x°$. 因为$AD// BC$,所以$∠AG_5F=∠CFG_5=\frac{1}{32}x°$,所以$∠FG_5D_5=∠AG_5F+∠AG_5D_5=\frac{1}{32}x°+175°$. 因为$FC_5// D_5G_5$,所以$∠G_4FG_5+∠FG_5D_5=180°$,即$\frac{1}{32}x°+\frac{1}{32}x°+175°=180°$,解得$x=80$.
解析
【分析】
这道题是长方形背景下的折叠综合题，解题核心要抓住两个关键性质：一是长方形对边平行，可利用平行线的内错角相等、同旁内角互补推导角的关系；二是折叠前后对应角完全相等，这是折纸问题的核心等量条件。
解题思路分步走：
1. 第(1)问：先由AD//BC得到内错角∠DEF=∠EFG，再结合折叠性质得到∠D'EF=∠DEF，利用平角为180°算出∠1，最后用平行线同旁内角互补算出∠2。
2. 第①小问：先由邻补角算出原∠EFC的度数，结合折叠得∠EFC'=∠EFC，减去已知的∠EFG即可得到∠GFC'。
3. 第②小问：设∠FEG为x，依次利用平行线性质和每一次折叠的等角关系，把每一步折叠后的相关角都用含x的代数式表示，最后根据FC与FE重叠的等量关系列方程求解即可。
4. 第(3)问：先观察每次折叠的规律，发现每一次折叠都是将前一次得到的角平分，推导出第5次操作后对应的小角的表达式，再结合平行线的性质建立方程，即可求出x的值。
【解析】
解：(1)
∵ 四边形ABCD是长方形，
∴ AD // BC，
∴ ∠DEF = ∠EFG = 68°。
由折叠的性质可知，∠D'EF = ∠DEF = 68°，
又
∵ ∠1 + ∠D'EF + ∠DEF = 180°，
∴ ∠1 = 180° - 68° - 68° = 44°。
∵ AD // BC，
∴ ∠2 + ∠1 = 180°，
∴ ∠2 = 180° - ∠1 = 136°。
①
∵ AD//BC，
∴ ∠EFC = 180° - ∠EFG = 180° - 68° = 112°，
由折叠的性质可知，∠EFC' = ∠EFC = 112°，
∴ ∠GFC' = ∠EFC' - ∠EFG = 112° - 68° = 44°。
② 设∠FEG = x，
由图2的折叠性质可知，∠DEF = ∠FEG = x，
∵ AD//BC，
∴ ∠EFG = ∠DEF = x。
∵ D₁E // C₁F，
∴ ∠EFC₁ = 180° - ∠FEG = 180° - x，
∴ ∠GFC₁ = ∠EFC₁ - ∠EFG = 180° - 2x。
由图3的折叠性质可知，∠GFC₂ = ∠GFC₁ = 180° - 2x，
∴ ∠EFC₂ = ∠GFC₂ - ∠EFG = 180° - 3x。
由图4的折叠性质可知，∠EFC₃ = ∠EFC₂ = 180° - 3x，
∴ ∠BFC₃ = ∠EFC₃ - ∠EFG = 180° - 4x。
根据题意，FC与FE重叠，即∠BFC₃ = ∠EFG，
得180° - 4x = x，
解得x = 36°，即∠FEG = 36°。
(3) 由折叠性质可知：
第1次折叠后，∠EFG₁ = ∠G₁FC = $\frac{1}{2}x°$，
第2次折叠后，∠G₁FG₂ = ∠G₂FC = $\frac{1}{2}∠G₁FC = \frac{1}{4}x° = \frac{1}{2^2}x°$，
同理可得，第n次折叠后，对应的平分角为$\frac{1}{2^n}x°$，
因此第5次操作后，∠G₄FG₅ = $\frac{1}{2^5}x° = \frac{1}{32}x°$，
即∠CFG₅ = ∠G₄FG₅ = $\frac{1}{32}x°$。
∵ AD//BC，
∴ ∠AG₅F = ∠CFG₅ = $\frac{1}{32}x°$，
又
∵ FC₅ // D₅G₅，
∴ ∠G₄FG₅ + ∠FG₅D₅ = 180°，
代入得：$\frac{1}{32}x° + (\frac{1}{32}x° + 175°) = 180°$，
解得x = 80。
【答案】
(1) ∠1=44°，∠2=136°；① ∠GFC'=44°；② ∠FEG=36°；(3) x=80
【知识点】
平行线的性质
折叠的性质
角的规律运算
【点评】
本题属于平行线与折叠结合的递进式综合题，从基础单折叠问题逐步过渡到多步折叠的规律探究，分层设问降低了整体的思考门槛，核心考点是让学生掌握折纸问题的通用解题思路：利用平行关系转化角，利用折叠性质得到等角关系。多步折叠的部分需要学生耐心梳理每一次操作后的角的等量关系，避免搞错角的平分次数，对学生的逻辑推导能力有一定的锻炼作用。
【难度系数】
0.25
这道题是长方形背景下的折叠综合题，解题核心要抓住两个关键性质：一是长方形对边平行，可利用平行线的内错角相等、同旁内角互补推导角的关系；二是折叠前后对应角完全相等，这是折纸问题的核心等量条件。
解题思路分步走：
1. 第(1)问：先由AD//BC得到内错角∠DEF=∠EFG，再结合折叠性质得到∠D'EF=∠DEF，利用平角为180°算出∠1，最后用平行线同旁内角互补算出∠2。
2. 第①小问：先由邻补角算出原∠EFC的度数，结合折叠得∠EFC'=∠EFC，减去已知的∠EFG即可得到∠GFC'。
3. 第②小问：设∠FEG为x，依次利用平行线性质和每一次折叠的等角关系，把每一步折叠后的相关角都用含x的代数式表示，最后根据FC与FE重叠的等量关系列方程求解即可。
4. 第(3)问：先观察每次折叠的规律，发现每一次折叠都是将前一次得到的角平分，推导出第5次操作后对应的小角的表达式，再结合平行线的性质建立方程，即可求出x的值。
【解析】
解：(1)
∵ 四边形ABCD是长方形，
∴ AD // BC，
∴ ∠DEF = ∠EFG = 68°。
由折叠的性质可知，∠D'EF = ∠DEF = 68°，
又
∵ ∠1 + ∠D'EF + ∠DEF = 180°，
∴ ∠1 = 180° - 68° - 68° = 44°。
∵ AD // BC，
∴ ∠2 + ∠1 = 180°，
∴ ∠2 = 180° - ∠1 = 136°。
①
∵ AD//BC，
∴ ∠EFC = 180° - ∠EFG = 180° - 68° = 112°，
由折叠的性质可知，∠EFC' = ∠EFC = 112°，
∴ ∠GFC' = ∠EFC' - ∠EFG = 112° - 68° = 44°。
② 设∠FEG = x，
由图2的折叠性质可知，∠DEF = ∠FEG = x，
∵ AD//BC，
∴ ∠EFG = ∠DEF = x。
∵ D₁E // C₁F，
∴ ∠EFC₁ = 180° - ∠FEG = 180° - x，
∴ ∠GFC₁ = ∠EFC₁ - ∠EFG = 180° - 2x。
由图3的折叠性质可知，∠GFC₂ = ∠GFC₁ = 180° - 2x，
∴ ∠EFC₂ = ∠GFC₂ - ∠EFG = 180° - 3x。
由图4的折叠性质可知，∠EFC₃ = ∠EFC₂ = 180° - 3x，
∴ ∠BFC₃ = ∠EFC₃ - ∠EFG = 180° - 4x。
根据题意，FC与FE重叠，即∠BFC₃ = ∠EFG，
得180° - 4x = x，
解得x = 36°，即∠FEG = 36°。
(3) 由折叠性质可知：
第1次折叠后，∠EFG₁ = ∠G₁FC = $\frac{1}{2}x°$，
第2次折叠后，∠G₁FG₂ = ∠G₂FC = $\frac{1}{2}∠G₁FC = \frac{1}{4}x° = \frac{1}{2^2}x°$，
同理可得，第n次折叠后，对应的平分角为$\frac{1}{2^n}x°$，
因此第5次操作后，∠G₄FG₅ = $\frac{1}{2^5}x° = \frac{1}{32}x°$，
即∠CFG₅ = ∠G₄FG₅ = $\frac{1}{32}x°$。
∵ AD//BC，
∴ ∠AG₅F = ∠CFG₅ = $\frac{1}{32}x°$，
又
∵ FC₅ // D₅G₅，
∴ ∠G₄FG₅ + ∠FG₅D₅ = 180°，
代入得：$\frac{1}{32}x° + (\frac{1}{32}x° + 175°) = 180°$，
解得x = 80。
【答案】
(1) ∠1=44°，∠2=136°；① ∠GFC'=44°；② ∠FEG=36°；(3) x=80
【知识点】
平行线的性质
折叠的性质
角的规律运算
【点评】
本题属于平行线与折叠结合的递进式综合题，从基础单折叠问题逐步过渡到多步折叠的规律探究，分层设问降低了整体的思考门槛，核心考点是让学生掌握折纸问题的通用解题思路：利用平行关系转化角，利用折叠性质得到等角关系。多步折叠的部分需要学生耐心梳理每一次操作后的角的等量关系，避免搞错角的平分次数，对学生的逻辑推导能力有一定的锻炼作用。
【难度系数】
0.25
