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10. (南京中考)若方程 $(x-5)^2=19$ 的两根为 $a$ 和 $b$,且 $a＞b$,则下列结论中正确的是（
A.$a$ 是 19 的算术平方根
B.$b$ 是 19 的平方根
C.$a-5$ 是 19 的算术平方根
D.$b+5$ 是 19 的平方根
C
）A.$a$ 是 19 的算术平方根
B.$b$ 是 19 的平方根
C.$a-5$ 是 19 的算术平方根
D.$b+5$ 是 19 的平方根
答案
C 解析:$\because$ 方程$(x-5)^2=19$的两根为$a$和$b$,$\therefore (a-5)^2=19$且$(b-5)^2=19$.$\because a＞b$,$\therefore a-5$是 19 的正平方根,即算术平方根.故选 C.
11. 若$a$是$(-5)^{2}$的平方根，$b$的绝对值是7，且$a＞b$，则$a+b$的值是
$-2$或$-12$
.答案
$-2$或$-12$ 解析:$\because a$是$(-5)^2$的平方根,$\therefore a=\pm5$.$\because b$的绝对值是 7,且$a＞b$,$\therefore a=5$,$b=-7$或$a=-5$,$b=-7$.则$a+b$的值是$-2$或$-12$.
12. 已知正数 $x$ 的两个平方根是 $m$ 和 $m+b$, 且
$m^{2}x+(m+b)^{2}x=4$, 则 $x=$
$m^{2}x+(m+b)^{2}x=4$, 则 $x=$
$\sqrt{2}$
.答案
$\sqrt{2}$ 解析:$\because$ 正数$x$的两个平方根是$m$和$m+b$,$\therefore (m+b)^2=x$,$m^2=x$.$\because m^2x+(m+b)^2x=4$,$\therefore x^2+x^2=4$,$\therefore x^2=2$.$\because x＞0$,$\therefore x=\sqrt{2}$.
13. (1) 若 $(a^{2}+b^{2}-1)^{2}=16$, 则 $a^{2}+b^{2}$ 的值为
(2) 已知 $(x+y+3)(x+y-3)=72$, 则 $x+y$ 的值为
5
.(2) 已知 $(x+y+3)(x+y-3)=72$, 则 $x+y$ 的值为
$\pm9$
.答案
(1)5 解析:开方,得$a^2+b^2-1=4$或$a^2+b^2-1=-4$,故$a^2+b^2=5$或$a^2+b^2=-3$(舍去).
(2)$\pm9$ 解析:$\because (x+y+3)(x+y-3)=72$,$\therefore (x+y)^2-9=72$,即$(x+y)^2=81$,$\therefore x+y=\pm9$.
(2)$\pm9$ 解析:$\because (x+y+3)(x+y-3)=72$,$\therefore (x+y)^2-9=72$,即$(x+y)^2=81$,$\therefore x+y=\pm9$.
14. 改编题 (1)设一个正数的两个平方根是 $a-1$和 $a+3$,则这个正数为
(2)已知一个正数的两个平方根之差为 $a$($a＞0$),试用含 $a$ 的式子表示这个正数；
(3)已知 $4-n$ 与 $2n+1$ 是一个正数的平方根,求这个正数.
4
；(2)已知一个正数的两个平方根之差为 $a$($a＞0$),试用含 $a$ 的式子表示这个正数；
(3)已知 $4-n$ 与 $2n+1$ 是一个正数的平方根,求这个正数.
答案
(1)4 解析:$\because$ 一个正数的两个平方根是$a-1$和$a+3$,$\therefore a-1+a+3=0$,解得$a=-1$,$\therefore a-1=-2$.$\because (-2)^2=4$,$\therefore$ 这个正数为 4.
(2)设这个正数的两个平方根分别为$x$,$y$,$x＞0$,由题意得$\begin{cases}x+y=0,\\x-y=a,\end{cases}$解得$x=\dfrac{a}{2}$,$\therefore$ 这个正数是$\dfrac{a^2}{4}$.
(3)分两种情况:
①当这两个平方根相等时,可得$4-n=2n+1$,解得$n=1$,则所求的正数为$(4-1)^2=9$;
②当这两个平方根互为相反数时,可得$(4-n)+(2n+1)=0$,解得$n=-5$,则所求的正数为$[4-(-5)]^2=81$.
综上所述,这个正数为 9 或 81.
(2)设这个正数的两个平方根分别为$x$,$y$,$x＞0$,由题意得$\begin{cases}x+y=0,\\x-y=a,\end{cases}$解得$x=\dfrac{a}{2}$,$\therefore$ 这个正数是$\dfrac{a^2}{4}$.
(3)分两种情况:
①当这两个平方根相等时,可得$4-n=2n+1$,解得$n=1$,则所求的正数为$(4-1)^2=9$;
②当这两个平方根互为相反数时,可得$(4-n)+(2n+1)=0$,解得$n=-5$,则所求的正数为$[4-(-5)]^2=81$.
综上所述,这个正数为 9 或 81.
15. (1) 已知$|x+y-5|+(xy-6)^2=0$,试求$x^2+y^2$的平方根；
(2) 已知$2m+2$的平方根是$\pm4$,$3m+n+1$的平方根是$\pm5$,求$m+3n$的平方根.
(2) 已知$2m+2$的平方根是$\pm4$,$3m+n+1$的平方根是$\pm5$,求$m+3n$的平方根.
答案
(1)由题意可知$x+y=5$,$xy=6$,$\therefore x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=25-12=13$,$\therefore x^2+y^2$的平方根为$\pm\sqrt{13}$.
(2)依题意,得$2m+2=16$且$3m+n+1=25$,$\therefore m=7$,$n=3$,$\therefore m+3n=7+3×3=16$,$\therefore m+3n$的平方根为$\pm4$.
(2)依题意,得$2m+2=16$且$3m+n+1=25$,$\therefore m=7$,$n=3$,$\therefore m+3n=7+3×3=16$,$\therefore m+3n$的平方根为$\pm4$.
16. (1) (2025·宿州校级月考) $x^{2}+2026$的平方根分别是$a,b$,则$a+$$b-\dfrac{b}{a}$的值为
(2) 若$a$的两个平方根是方程$3x+2y=2$的一组解,则$a$的平方根为
1
.(2) 若$a$的两个平方根是方程$3x+2y=2$的一组解,则$a$的平方根为
$\pm2$
.答案
(1)1 解析:$\because x^2+2026≥2026＞0$,$x^2+2026$的平方根分别是$a$,$b$,$\therefore a$,$b$互为相反数且都不为 0,$\therefore a+b=0$,$\dfrac{b}{a}=-1$,$\therefore a+b-\dfrac{b}{a}=0-(-1)=1$.
(2)$\pm2$ 解析:$\because a$的两个平方根是方程$3x+2y=2$的一组解,$\therefore$ 设$a$的平方根为$a_1$,$a_2$,$\therefore 3a_1+2a_2=2$,$a_1+a_2=0$,解得$a_1=2$,$a_2=-2$,$\therefore a$的平方根为$\pm2$.
(2)$\pm2$ 解析:$\because a$的两个平方根是方程$3x+2y=2$的一组解,$\therefore$ 设$a$的平方根为$a_1$,$a_2$,$\therefore 3a_1+2a_2=2$,$a_1+a_2=0$,解得$a_1=2$,$a_2=-2$,$\therefore a$的平方根为$\pm2$.
17. 小明是一位善于思考、勇于创新的同学.在学习了有关平方根的知识后,小明知道了负数没有平方根.比如:因为没有一个数的平方等于-1,所以-1 没有平方根.有一天,小明想:如果存在一个数 i,使 $\mathrm{i}^2 = -1$, 那么 $(-\mathrm{i})^2 =$-1,因此-1 就有两个平方根了.进一步,小明想:因为 $(\pm 2\mathrm{i})^2 = -4$, 所以 $-4$ 的平方根就是$\pm 2\mathrm{i}$;因为 $(\pm 3\mathrm{i})^2 = -9$, 所以 $-9$ 的平方根就是$\pm 3\mathrm{i}$.请你根据上面的信息解答下列问题:
(1)求-16,-25 的平方根.
(2)计算:$\mathrm{i}+\mathrm{i}^2+\mathrm{i}^3+···+\mathrm{i}^{2026} = $
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(1)求-16,-25 的平方根.
(2)计算:$\mathrm{i}+\mathrm{i}^2+\mathrm{i}^3+···+\mathrm{i}^{2026} = $
$-1+i$
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答案
(1)$\because (\pm4i)^2=-16$,$\therefore -16$的平方根是$\pm4i$.
$\because (\pm5i)^2=-25$,$\therefore -25$的平方根是$\pm5i$.
(2)$-1+i$ 解析:$i^3=i^2· i=-i$,$i^4=(i^2)^2=(-1)^2=1$,$i^5=i^4· i=i$,$i^6=i^5· i=i^2=-1$,$i^7=i^6· i=-i$,$i^8=i^7· i=1$.规律:$i$的每四次方一个循环,即$i$,$-1$,$-i$,$1$循环.$\because 2026÷4=506······2$,$i+(-1)+(-i)+1=0$,$\therefore i+i^2+i^3+···+i^{2026}=-1+i$.
$\because (\pm5i)^2=-25$,$\therefore -25$的平方根是$\pm5i$.
(2)$-1+i$ 解析:$i^3=i^2· i=-i$,$i^4=(i^2)^2=(-1)^2=1$,$i^5=i^4· i=i$,$i^6=i^5· i=i^2=-1$,$i^7=i^6· i=-i$,$i^8=i^7· i=1$.规律:$i$的每四次方一个循环,即$i$,$-1$,$-i$,$1$循环.$\because 2026÷4=506······2$,$i+(-1)+(-i)+1=0$,$\therefore i+i^2+i^3+···+i^{2026}=-1+i$.
