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1. (2025·江苏镇江二模)已知在菱形 $ABCD$ 中,$AB=4$,对角线 $AC,BD$ 相交于点 $O$,且 $AC=6$,以点 $O$ 为圆心,3 为半径作 $\odot O$,则 $A,B,C,D$ 四个点中,在 $\odot O$ 上的有 （
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
B
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
1. B
2. (教材习题变式)已知点 P 与$\odot O$上的点之间的最小距离是 4 cm,最大距离是 9 cm,则$\odot O$的半径是
6.5或2.5
cm.答案
2. 6.5 或 2.5
解析:分类讨论如下:① 当点 P 在$\odot O$内时,$\odot O$的直径是$4+9=13(\mathrm{cm})$,则$\odot O$的半径是$\frac{1}{2}×13=6.5(\mathrm{cm})$;② 当点 P 在$\odot O$外时,$\odot O$的直径是$9-4=5(\mathrm{cm})$,则$\odot O$的半径是$\frac{1}{2}×5=2.5(\mathrm{cm})$.综上所述,$\odot O$的半径是 6.5 cm 或 2.5 cm.
易错警示
要注意分类讨论点 P 与$\odot O$的位置关系.
解析:分类讨论如下:① 当点 P 在$\odot O$内时,$\odot O$的直径是$4+9=13(\mathrm{cm})$,则$\odot O$的半径是$\frac{1}{2}×13=6.5(\mathrm{cm})$;② 当点 P 在$\odot O$外时,$\odot O$的直径是$9-4=5(\mathrm{cm})$,则$\odot O$的半径是$\frac{1}{2}×5=2.5(\mathrm{cm})$.综上所述,$\odot O$的半径是 6.5 cm 或 2.5 cm.
易错警示
要注意分类讨论点 P 与$\odot O$的位置关系.
3. 如图，$\odot O$ 和直线 $l$ 相交于 $A,B$ 两点，半径$r=10\ \mathrm{cm},OC ⊥ l$ 于点 $C$，且 $OC=6\ \mathrm{cm}$，点 $P$在直线 $l$ 上. 请根据下列条件分别说明点 $P$与$\odot O$ 的位置关系：
(1) $PC=4\ \mathrm{cm}$；
(2) $PC=8\ \mathrm{cm}$；
(3) $PC=10\ \mathrm{cm}$.
(1) $PC=4\ \mathrm{cm}$；
(2) $PC=8\ \mathrm{cm}$；
(3) $PC=10\ \mathrm{cm}$.
答案
3. 连接 OP. 由题意,得 $OP=\sqrt{OC^2+PC^2},r=10\ \mathrm{cm}$,
$OC=6\ \mathrm{cm}$.
(1) 若 $PC=4\ \mathrm{cm}$,则 $OP=2\sqrt{13}\ \mathrm{cm}＜r$,所以点 P 在$\odot O$内.
(2) 若 $PC=8\ \mathrm{cm}$,则 $OP=10\ \mathrm{cm}=r$,所以点 P 在$\odot O$上.
(3) 若 $PC=10\ \mathrm{cm}$,则 $OP=2\sqrt{34}\ \mathrm{cm}＞r$,所以点 P 在$\odot O$外.
$OC=6\ \mathrm{cm}$.
(1) 若 $PC=4\ \mathrm{cm}$,则 $OP=2\sqrt{13}\ \mathrm{cm}＜r$,所以点 P 在$\odot O$内.
(2) 若 $PC=8\ \mathrm{cm}$,则 $OP=10\ \mathrm{cm}=r$,所以点 P 在$\odot O$上.
(3) 若 $PC=10\ \mathrm{cm}$,则 $OP=2\sqrt{34}\ \mathrm{cm}＞r$,所以点 P 在$\odot O$外.
4. 如图,在矩形$ABCD$中,$A B=2, B C=3$, 以点$A$为圆心, 1 为半径画$\odot A$,$E$是$\odot A$上一动点,$P$是$BC$上一动点, 连接$PD, PE$, 则$P D+P E$的最小值为（
A.2
B.3
C.4
D.$2 \sqrt{3}$
C
）A.2
B.3
C.4
D.$2 \sqrt{3}$
答案
4. C
解析:如图,以 BC 所在直线为轴作矩形 ABCD 的对称图形$A'BCD'$以及$\odot A$的对称圆$\odot A'$,连接$A'D$交 BC 于点 P,交$\odot A'$于点$E'$,则$DE'$的长就是$PD+PE$的最小值. 因为$AB=2,BC=3$,$\odot A$的半径为 1,所以$A'D'=BC=3,DD'=2DC=2AB=4,A'E'=1$.因为$∠ D'=90°$,所以$A'D=\sqrt{A'D'^2+DD'^2}=5$,所以$DE'=A'D-A'E'=4$,即$PD+PE$的最小值为 4.
5. 在平面直角坐标系中,O 为原点,点 M 的坐标为$(2,0),\odot M$的半径为 4,则点$P(-1,3)$与$\odot M$的位置关系是点 P 在$\odot M$
外
.（填“上”“外”或“内”）答案
5. 外
解析: 因为 $M(2,0),P(-1,3)$, 所以 $PM=\sqrt{(-1-2)^2+(3-0)^2}=3\sqrt{2}$. 因为$\odot M$的半径为 4,且$3\sqrt{2}＞4$,所以点 P 在$\odot M$外.
解析: 因为 $M(2,0),P(-1,3)$, 所以 $PM=\sqrt{(-1-2)^2+(3-0)^2}=3\sqrt{2}$. 因为$\odot M$的半径为 4,且$3\sqrt{2}＞4$,所以点 P 在$\odot M$外.
6. 如图,矩形 $ABCD$ 的边 $AB=3\ \mathrm{cm},AD=4\ \mathrm{cm}.$
(1) 若以点 $A$ 为圆心画$\odot A$,使 $B,C,D$ 三点中至少有一点在圆内,且至少有一点在圆外,则 $\odot A$ 的半径 $r$ 的取值范围是
(2) 若以点 $A$ 为圆心,$4\ \mathrm{cm}$ 为半径画$\odot A$,则点 $B,C,D$ 与 $\odot A$ 分别有怎样的位置关系?
(1) 若以点 $A$ 为圆心画$\odot A$,使 $B,C,D$ 三点中至少有一点在圆内,且至少有一点在圆外,则 $\odot A$ 的半径 $r$ 的取值范围是
$3\ \mathrm{cm}＜r＜5\ \mathrm{cm}$
;(2) 若以点 $A$ 为圆心,$4\ \mathrm{cm}$ 为半径画$\odot A$,则点 $B,C,D$ 与 $\odot A$ 分别有怎样的位置关系?
答案
6. (1) $3\ \mathrm{cm}＜r＜5\ \mathrm{cm}$
(2) 连接 AC. 因为四边形 ABCD 是矩形,所以 $BC=AD=4\ \mathrm{cm},∠ B=90°$. 因为 $AB=3\ \mathrm{cm}$,所以 $AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=5\ \mathrm{cm}$. 因为$\odot A$的半径$r=4\ \mathrm{cm}$,所以$AB＜r,AC＞r,AD=r$,所以点 B 在$\odot A$内,点 C 在$\odot A$外,点 D 在$\odot A$上.
(2) 连接 AC. 因为四边形 ABCD 是矩形,所以 $BC=AD=4\ \mathrm{cm},∠ B=90°$. 因为 $AB=3\ \mathrm{cm}$,所以 $AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=5\ \mathrm{cm}$. 因为$\odot A$的半径$r=4\ \mathrm{cm}$,所以$AB＜r,AC＞r,AD=r$,所以点 B 在$\odot A$内,点 C 在$\odot A$外,点 D 在$\odot A$上.
7. 新趋势 情境素材 台风登陆某国,A市接到台风警报时,台风中心位于A市正南方向125 km 的点 B 处,正以 15 km/h 的速度沿BC 方向移动. 已知 A 市到直线 BC 的距离
$AD = 35\ \mathrm{km}.$
(1) 台风中心从点 B 移动到点 D 经过多长时间?
(2) 如果在距台风中心 40 km 的圆形区域内都将受到台风影响,那么 A 市受到台风影响的时间是多长?
$AD = 35\ \mathrm{km}.$
(1) 台风中心从点 B 移动到点 D 经过多长时间?
(2) 如果在距台风中心 40 km 的圆形区域内都将受到台风影响,那么 A 市受到台风影响的时间是多长?
答案
7. (1) 由题意可画出示意图,如图所示. 因为 $AD⊥ BC$,所以$∠ ADB=90°$. 因为 $AD=35\ \mathrm{km},AB=125\ \mathrm{km}$,所以 $BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=120\ \mathrm{km}$,所以 $120÷15=8(\mathrm{h})$. 故台风中心从点 B 移动到点 D 经过 8 h.
(2) 如图,在 BC 上分别取点 E,F,使得 $AE=AF=40\ \mathrm{km}$,则当台风中心在线段 EF 上移动时,A 市将受到台风影响. 因为 $AD⊥ BC$,所以 $DE=\frac{1}{2}EF$. 因为$∠ ADE=90°,AD=35\ \mathrm{km}$,所以 $DE=\sqrt{AE^2-AD^2}=5\sqrt{15}\ \mathrm{km}$,所以 $EF=2DE=10\sqrt{15}\ \mathrm{km}$,所以 $10\sqrt{15}÷15=\frac{2\sqrt{15}}{3}(\mathrm{h})$. 故 A 市受到台风影响的时间是$\frac{2\sqrt{15}}{3}\ \mathrm{h}$.
