23. (10分)如图1,E是正方形ABCD内部的一点,DE=DA。连结AE,CE,过点C作AE的垂线交AE的延长线于点F。
(1)猜测∠CEF的度数,并说明理由。
(2)若AE=2EF=4,求正方形ABCD的边长。
(3)如图2,过点E作AF的垂线交CD于点H。当AF恰好经过BC的中点G时,设正方形ABCD的边长为a,用含a的代数式表示EH。

(1)$∠ CEF=45°$。理由如下:在正方形$ABCD$中,$DA=DC,∠ ADC=90°$,设$∠ ADE=α$,则$∠ EDC=90°-α$。因为$DE=DA$,所以$∠ DEA=\dfrac{180°-α}{2}=90°-\dfrac{1}{2}α$。因为$DA=DC$,所以$DE=DC$。所以$∠ DEC=\dfrac{180°-(90°-α)}{2}=45°+\dfrac{1}{2}α$。所以$∠ CEF=180°-(90°-\dfrac{1}{2}α)-(45°+\dfrac{1}{2}α)=45°$。
(2)因为$AE=2EF=4$,所以$EF=2$。由(1)知,$∠ CEF=45°$,因为$CF⊥ AF$,所以$△ EFC$是等腰直角三角形。所以$CF=EF=2$。如图1,连结$AC$。因为$AF=AE+EF=6$,所以$AC=\sqrt{AF^2+CF^2}=\sqrt{6^2+2^2}=2\sqrt{10}$。所以正方形的边长为$\dfrac{2\sqrt{10}}{\sqrt{2}}=2\sqrt{5}$。
(3)如图2,连结$AH,GH$,过点$C$作$CM⊥ EH$于点$M$。因为$EH⊥ AF$,$∠ CEF=45°$,所以$∠ MEC=∠ FEC=45°$。因为$CF⊥ AF$,$CM⊥ EH$,所以$CM=CF$,$∠ CMH=∠ EMC=∠ F=90°$。所以$∠ MCF=90°$。因为$∠ DCB=∠ MCF=90°$,所以$∠ GCF=∠ MCH$。所以$△ MHC≌△ FGC(\mathrm{ASA})$。所以$CG=CH$。因为$G$是$BC$的中点,所以$BG=GC=CH=DH=\dfrac{1}{2}a$。因为$AD=AB=a$,所以$AG=\dfrac{\sqrt{5}}{2}a$。因为$S_{△ AHG}=S_{\mathrm{正方形}ABCD}-S_{△ ABG}-S_{△ ADH}-S_{△ GCH}=a^2-\dfrac{1}{2}·\dfrac{1}{2}a· a·2-\dfrac{1}{2}·\dfrac{1}{2}a·\dfrac{1}{2}a=\dfrac{3}{8}a^2$,所以$EH=\dfrac{\dfrac{3}{8}a^2·2}{\dfrac{\sqrt{5}}{2}a}=\dfrac{3\sqrt{5}}{10}a$。