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2. 如图1,已知正方形ABCD的边长为$3\sqrt{5}$,点E是正方形内一动点,且$CE=CB$,连结AE、BE、DE,并延长DE交AB于F。
(1)求证:$∠ BEF=45°$;
(2)若$AE⊥ BE$时,
①如图2,求AF的长度;
②如图3,延长DF至点G,使得$AG=AD$,连结BG。求$△ AGF$与四边形BCEF的面积比。
(1)求证:$∠ BEF=45°$;
(2)若$AE⊥ BE$时,
①如图2,求AF的长度;
②如图3,延长DF至点G,使得$AG=AD$,连结BG。求$△ AGF$与四边形BCEF的面积比。
答案
2. (1)证明：由正方形性质可知$CB=DC$，又$CE=CB$，则$CB=DC=CE$，设$∠ ECB=α$，所以$∠ ECD=90°-α$。所以$∠ EBC=∠ BEC=\frac{180°-α}{2}=90°-\frac{1}{2}α$，$∠ EDC=∠ DEC=\frac{180°-(90°-α)}{2}=45°+\frac{1}{2}α$，所以$∠ BEF=180°-∠ EBC-∠ DEC=180°-(90°-\frac{1}{2}α)-(45°+\frac{1}{2}α)=45°$；
(2)①作$CH⊥ BE$于点H，如图4，则根据$CB=CE$及三线合一性质可得$∠ BHC=90°$，$BH=EH$。因为$AE⊥ BE$，所以$∠ BAE + ∠ ABE = 90°$。又因为$∠ ABE+∠ HBC=90°$，所以$∠ BAE=∠ HBC$。在$△ ABE$和$△ BCH$中，$\begin{cases} ∠ BAE=∠ HBC, \\ ∠ BHC=∠ AEB=90°, \\ AB=BC, \end{cases}$所以$△ ABE ≌ △ BCH(\mathrm{AAS})$，所以$AE=BH=HE$，所以$\frac{AE}{BE}=\frac{1}{2}$。因为$AB=3\sqrt{5}$，所以$AE=3$，$BE=6$。作$FJ⊥ AE$，$FI⊥ BE$，因为$∠ FEB=45°$，$∠ AEB=90°$，所以$∠ AEF=∠ FEB=45°$，所以$FJ=FI$。又因为$∠ JFE=∠ JEF=45°$，所以$FJ=EJ$，从而可证得四边形FIEJ为正方形。设$FJ=FI=x$，由等面积法可得$S_{△ ABE}=S_{△ AEF}+S_{△ BEF}$，即$3×6=3x+6x$，解得$x=2$，故$AJ=AE-JE=3-2=1$，$FJ=FI=2$，从而$AF=\sqrt{AJ^2+FJ^2}=\sqrt{5}$；
②因为$AG=AD$，所以设$∠ AGD=∠ ADG=β$，$∠ GAD=180°-2β$。因为$∠ BAD=90°$，所以$∠ GAB=90°-2β$。因为$AB=AG$，所以$∠ ABG=∠ AGB=45°+β$。因为$∠ AGD=β$，所以$∠ EGB=45°=∠ GEB$，故$△ BGE$为等腰直角三角形。在$△ ABG$和$△ CBE$中，$\begin{cases} AB=CB, \\ ∠ ABC=∠ GBE=90°, \\ BG=BE, \end{cases}$所以$△ ABG≌△ CBE(\mathrm{SAS})$。因为$∠ AEG=∠ EGB=45°$，所以$AE// GB$。所以$S_{△ AGF}=S_{△ BEF}$。因为$\frac{AE}{BE}=\frac{1}{2}$，所以$\frac{AF}{BF}=\frac{1}{2}$，$\frac{S_{△ AGF}}{S_{△ AGB}}=\frac{1}{3}$，所以$\frac{S_{△ AGF}}{S_{四边形BCEF}}=\frac{1}{1+3}=\frac{1}{4}$。
解析
【分析】
要解决这道正方形相关的几何综合题，需分步骤突破：
1. 第(1)问：利用正方形四边相等的性质，结合CE=CB=CD，设∠ECB=α，通过等腰三角形内角和表示出∠EBC、∠EDC，再利用平角为180°，计算∠BEF的度数，证明其为45°；
2. 第(2)①问：AE⊥BE时，先作CH⊥BE，通过角的关系证明△ABE≌△BCH，得到AE与BE的比例；再利用∠BEF=45°构造正方形，结合等面积法求出相关线段长度，最后用勾股定理计算AF；
3. 第(2)②问：AG=AD=AB，通过角度关系证明△ABG≌△CBE，再证AE//BG，结合面积比例关系，推导△AGF与四边形BCEF的面积比。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴CB=DC，∠BCD=90°。又
∵CE=CB，
∴CB=DC=CE。设∠ECB=α，则∠ECD=90°−α。
在△CEB中，CE=CB，
∴∠EBC=∠BEC=(180°−α)/2=90°−(1/2)α；
在△CED中，CE=CD，
∴∠EDC=∠DEC=(180°−(90°−α))/2=45°+(1/2)α；
∵∠BEF + ∠BEC + ∠DEC = 180°，
∴∠BEF=180°−(90°−(1/2)α)−(45°+(1/2)α)=45°。
(2) ① 解：作CH⊥BE于点H，
∵CB=CE，
∴由三线合一得BH=EH，∠BHC=90°。
∵AE⊥BE，
∴∠AEB=90°，
∴∠BAE + ∠ABE=90°。又
∵∠ABE + ∠HBC=90°，
∴∠BAE=∠HBC。
在△ABE和△BCH中：
$\begin{cases} ∠BAE=∠HBC, \\ ∠AEB=∠BHC=90°, \\ AB=BC, \end{cases}$
∴△ABE≌△BCH(AAS)，
∴AE=BH=HE，即BE=2AE。
∵AB=3√5，在Rt△ABE中，AE² + BE²=AB²，代入BE=2AE得AE² + (2AE)²=(3√5)²，解得AE=3，BE=6。
∵∠BEF=45°，∠AEB=90°，
∴∠AEF=45°，作FJ⊥AE于J，FI⊥BE于I，则FJ=FI，且四边形FIEJ为正方形。
设FJ=FI=x，由$S_{△ABE}=S_{△AEF}+S_{△BEF}$，得$\frac{1}{2}×3×6=\frac{1}{2}×3x+\frac{1}{2}×6x$，解得x=2。
∴AJ=AE−JE=3−2=1，在Rt△AJF中，$AF=\sqrt{AJ^2 + FJ^2}=\sqrt{1^2 + 2^2}=\sqrt{5}$。
② 解：
∵AG=AD，AD=AB，
∴AG=AB，设∠AGD=∠ADG=β，则∠GAD=180°−2β，
∴∠GAB=90°−2β，
∴∠ABG=(180°−(90°−2β))/2=45°+β。
通过角度关系可证△ABG≌△CBE(SAS)，得BG=BE，∠ABG=∠CBE，
∴∠GBE=∠ABC=90°，即△BGE为等腰直角三角形，∠GEB=45°，故∠GEB=∠BEF，得AE//BG。
由AE//BG，得$S_{△AGF}=S_{△BEF}$，结合BE=2AE，AF/BF=1/2，推导得$\frac{S_{△AGF}}{S_{四边形BCEF}}=\frac{1}{4}$。
【答案】
2. (1)证明见解析；(2)①AF=√5；②面积比为$\frac{1}{4}$
【知识点】
正方形性质、全等三角形判定、等腰三角形性质
【点评】
本题是正方形背景下的几何综合题，综合考查等腰三角形、全等三角形、勾股定理及面积计算，需灵活运用角度转化和辅助线构造，对几何推理能力要求较高，属于中档几何题。
【难度系数】
0.4
要解决这道正方形相关的几何综合题，需分步骤突破：
1. 第(1)问：利用正方形四边相等的性质，结合CE=CB=CD，设∠ECB=α，通过等腰三角形内角和表示出∠EBC、∠EDC，再利用平角为180°，计算∠BEF的度数，证明其为45°；
2. 第(2)①问：AE⊥BE时，先作CH⊥BE，通过角的关系证明△ABE≌△BCH，得到AE与BE的比例；再利用∠BEF=45°构造正方形，结合等面积法求出相关线段长度，最后用勾股定理计算AF；
3. 第(2)②问：AG=AD=AB，通过角度关系证明△ABG≌△CBE，再证AE//BG，结合面积比例关系，推导△AGF与四边形BCEF的面积比。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴CB=DC，∠BCD=90°。又
∵CE=CB，
∴CB=DC=CE。设∠ECB=α，则∠ECD=90°−α。
在△CEB中，CE=CB，
∴∠EBC=∠BEC=(180°−α)/2=90°−(1/2)α；
在△CED中，CE=CD，
∴∠EDC=∠DEC=(180°−(90°−α))/2=45°+(1/2)α；
∵∠BEF + ∠BEC + ∠DEC = 180°，
∴∠BEF=180°−(90°−(1/2)α)−(45°+(1/2)α)=45°。
(2) ① 解：作CH⊥BE于点H，
∵CB=CE，
∴由三线合一得BH=EH，∠BHC=90°。
∵AE⊥BE，
∴∠AEB=90°，
∴∠BAE + ∠ABE=90°。又
∵∠ABE + ∠HBC=90°，
∴∠BAE=∠HBC。
在△ABE和△BCH中：
$\begin{cases} ∠BAE=∠HBC, \\ ∠AEB=∠BHC=90°, \\ AB=BC, \end{cases}$
∴△ABE≌△BCH(AAS)，
∴AE=BH=HE，即BE=2AE。
∵AB=3√5，在Rt△ABE中，AE² + BE²=AB²，代入BE=2AE得AE² + (2AE)²=(3√5)²，解得AE=3，BE=6。
∵∠BEF=45°，∠AEB=90°，
∴∠AEF=45°，作FJ⊥AE于J，FI⊥BE于I，则FJ=FI，且四边形FIEJ为正方形。
设FJ=FI=x，由$S_{△ABE}=S_{△AEF}+S_{△BEF}$，得$\frac{1}{2}×3×6=\frac{1}{2}×3x+\frac{1}{2}×6x$，解得x=2。
∴AJ=AE−JE=3−2=1，在Rt△AJF中，$AF=\sqrt{AJ^2 + FJ^2}=\sqrt{1^2 + 2^2}=\sqrt{5}$。
② 解：
∵AG=AD，AD=AB，
∴AG=AB，设∠AGD=∠ADG=β，则∠GAD=180°−2β，
∴∠GAB=90°−2β，
∴∠ABG=(180°−(90°−2β))/2=45°+β。
通过角度关系可证△ABG≌△CBE(SAS)，得BG=BE，∠ABG=∠CBE，
∴∠GBE=∠ABC=90°，即△BGE为等腰直角三角形，∠GEB=45°，故∠GEB=∠BEF，得AE//BG。
由AE//BG，得$S_{△AGF}=S_{△BEF}$，结合BE=2AE，AF/BF=1/2，推导得$\frac{S_{△AGF}}{S_{四边形BCEF}}=\frac{1}{4}$。
【答案】
2. (1)证明见解析；(2)①AF=√5；②面积比为$\frac{1}{4}$
【知识点】
正方形性质、全等三角形判定、等腰三角形性质
【点评】
本题是正方形背景下的几何综合题，综合考查等腰三角形、全等三角形、勾股定理及面积计算，需灵活运用角度转化和辅助线构造，对几何推理能力要求较高，属于中档几何题。
【难度系数】
0.4
