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1. (内蒙古中考)“坐位体前屈”是学生体质健康测试项目之一。图甲是某女生测试示意图。图乙是学习小组设计的测试仪电路原理图,电源电压恒为4.5V,电压表量程为0~3V,定值电阻$R_{0}= 10Ω$,滑动变阻器$R_{1}$由长为30cm、粗细均匀的电阻棒改装而成,规格为1Ω/cm,允许通过的最大电流为0.3A。为保护电路安全,滑片P的起始位置A点设定在离电阻棒最左端O点5cm处。测试时,通过推动塑料挡板带动滑片P从起始位置A向右移动,并通过电压表的示数反映学生的测试结果。下表是初三女生测试等级与滑片P移动距离L的关系。
(1)滑片P在起始位置A点时,闭合开关S,通过$R_{0}$的电流为0.3A,请计算此时$R_{0}$两端电压大小。
(2)请推导出电压表示数$U_{测}$与滑片移动距离L之间的关系式;为保护电路安全,说明滑片移动的范围。
(3)该测试仪不能测出表中所有的等级,在保证电路各元件安全的情况下,通过替换$R_{0}$来实现最大程度增加测试范围,请计算替换电阻$R_{2}$的最小值。
(1)滑片P在起始位置A点时,闭合开关S,通过$R_{0}$的电流为0.3A,请计算此时$R_{0}$两端电压大小。
(2)请推导出电压表示数$U_{测}$与滑片移动距离L之间的关系式;为保护电路安全,说明滑片移动的范围。
(3)该测试仪不能测出表中所有的等级,在保证电路各元件安全的情况下,通过替换$R_{0}$来实现最大程度增加测试范围,请计算替换电阻$R_{2}$的最小值。
答案
解: (1) $ U_{0} = I_{0}R_{0} = 0.3\ \text{A} \times 10\ \Omega = 3\ \text{V} $;
(2) $ R_{1}' = (5 + L)\ \text{cm} \times 1\ \Omega/\text{cm} = (5 + L)\ \Omega $,
$ U_{0} = U - U_{\text{测}} = 4.5\ \text{V} - U_{\text{测}} $,
$ \frac{U_{\text{测}}}{U_{0}} = \frac{R_{1}'}{R_{0}} $, 即 $ \frac{U_{\text{测}}}{4.5\ \text{V} - U_{\text{测}}} = \frac{(5 + L)\ \Omega}{10\ \Omega} $,
解得: $ U_{\text{测}} = \frac{(5 + L) \times 4.5\ \text{V}}{15 + L} $,
为保护电路安全, $ U_{\text{测}} $ 最大为 $ 3\ \text{V} $,
$ 3\ \text{V} = \frac{(5 + L) \times 4.5\ \text{V}}{15 + L} $, 解得: $ L_{\text{max}} = 15\ \text{cm} $,
所以滑片移动的范围为 $ 0 \sim 15\ \text{cm} $;
(3) $ U_{1}' = 3\ \text{V} $, $ R_{1\ \text{max}} = 30\ \text{cm} \times 1\ \Omega/\text{cm} = 30\ \Omega $,
$ I_{1}' = \frac{U_{1}'}{R_{1\ \text{max}}} = \frac{3\ \text{V}}{30\ \Omega} = 0.1\ \text{A} $,
$ R_{2} = \frac{U_{2}}{I_{2}} = \frac{U - U_{1}'}{I_{1}'} = \frac{4.5\ \text{V} - 3\ \text{V}}{0.1\ \text{A}} = 15\ \Omega $。
(2) $ R_{1}' = (5 + L)\ \text{cm} \times 1\ \Omega/\text{cm} = (5 + L)\ \Omega $,
$ U_{0} = U - U_{\text{测}} = 4.5\ \text{V} - U_{\text{测}} $,
$ \frac{U_{\text{测}}}{U_{0}} = \frac{R_{1}'}{R_{0}} $, 即 $ \frac{U_{\text{测}}}{4.5\ \text{V} - U_{\text{测}}} = \frac{(5 + L)\ \Omega}{10\ \Omega} $,
解得: $ U_{\text{测}} = \frac{(5 + L) \times 4.5\ \text{V}}{15 + L} $,
为保护电路安全, $ U_{\text{测}} $ 最大为 $ 3\ \text{V} $,
$ 3\ \text{V} = \frac{(5 + L) \times 4.5\ \text{V}}{15 + L} $, 解得: $ L_{\text{max}} = 15\ \text{cm} $,
所以滑片移动的范围为 $ 0 \sim 15\ \text{cm} $;
(3) $ U_{1}' = 3\ \text{V} $, $ R_{1\ \text{max}} = 30\ \text{cm} \times 1\ \Omega/\text{cm} = 30\ \Omega $,
$ I_{1}' = \frac{U_{1}'}{R_{1\ \text{max}}} = \frac{3\ \text{V}}{30\ \Omega} = 0.1\ \text{A} $,
$ R_{2} = \frac{U_{2}}{I_{2}} = \frac{U - U_{1}'}{I_{1}'} = \frac{4.5\ \text{V} - 3\ \text{V}}{0.1\ \text{A}} = 15\ \Omega $。
2. (济宁中考)长征二号F遥十三运载火箭于2021年10月16日0时23分按预定时间精准点火发射,搭载的神舟十三号载人飞船被成功送入太空。发射前,检验飞船船体的气密性至关重要。某兴趣小组用封闭容器代替飞船船体置于真空室中,设计了如图所示的电路,模拟检验飞船船体的气密性。若密闭容器不漏气,则密闭容器与真空室中的气压不发生变化;若密闭容器漏气,则密闭容器中的气压减小,真空室中的气压增大。密闭容器中的正常环境气压为$1.0×10^{5}Pa$,电源电压$U= 12V$,定值电阻$R_{0}= 18Ω;R_{1}和R_{2}$是两个相同的压敏电阻,其阻值随环境气压的变化如表中所示。按要求回答下列问题:
(1)当开关S接a时,若电压表的示数为10.8V,请通过计算判断密闭容器是否漏气;
(2)若密闭容器漏气,开关S接b时,电流表的示数为0.3A,求此时真空室中的环境气压。
(1)当开关S接a时,若电压表的示数为10.8V,请通过计算判断密闭容器是否漏气;
(2)若密闭容器漏气,开关S接b时,电流表的示数为0.3A,求此时真空室中的环境气压。
答案
解: (1) $ I = I_{0} = \frac{U_{0}}{R_{0}} = \frac{10.8\ \text{V}}{18\ \Omega} = 0.6\ \text{A} $,
$ R = \frac{U}{I} = \frac{12\ \text{V}}{0.6\ \text{A}} = 20\ \Omega $,
$ R_{2} = R - R_{0} = 20\ \Omega - 18\ \Omega = 2\ \Omega $,
由表中数据可知, 此时密闭容器中的环境气压为 $ 1.0 \times 10^{5}\ \text{Pa} $, 故密闭容器不漏气;
(2) $ R' = \frac{U}{I'} = \frac{12\ \text{V}}{0.3\ \text{A}} = 40\ \Omega $,
$ R_{1} = R' - R_{0} = 40\ \Omega - 18\ \Omega = 22\ \Omega $,
由表中数据可知, 此时真空室中的环境气压为 $ 0.2 \times 10^{5}\ \text{Pa} $。
$ R = \frac{U}{I} = \frac{12\ \text{V}}{0.6\ \text{A}} = 20\ \Omega $,
$ R_{2} = R - R_{0} = 20\ \Omega - 18\ \Omega = 2\ \Omega $,
由表中数据可知, 此时密闭容器中的环境气压为 $ 1.0 \times 10^{5}\ \text{Pa} $, 故密闭容器不漏气;
(2) $ R' = \frac{U}{I'} = \frac{12\ \text{V}}{0.3\ \text{A}} = 40\ \Omega $,
$ R_{1} = R' - R_{0} = 40\ \Omega - 18\ \Omega = 22\ \Omega $,
由表中数据可知, 此时真空室中的环境气压为 $ 0.2 \times 10^{5}\ \text{Pa} $。
