1. (2025·徐州期末)(1)如图①,已知线段AB,分别以A,B为圆心,大于$\frac {1}{2}AB$的长为半径画弧,两弧交于点C,D,过C,D两点作直线l.在l上取点P,作射线AP,连接BP.判断$∠1与∠2$的大小关系,并说明理由.
(2)如图②,点A,B在直线MN的同侧,请用无刻度的直尺和圆规,在直线MN上作点P,使得$∠APM= ∠BPN$.(保留作图痕迹,不写作法)

(1)∠1=∠2.理由如下:如图①

由作图可知，直线l是线段AB的垂直平分线，∴PA=PB,l⊥AB,∴∠2=∠3.∵∠1=∠3,∴∠1=∠2.
(2)如图②,P点即为所作

2. 红梅公园是常州市最大的国家级重点公园,因园内著名古建筑——红梅阁而得名,园中天宁宝塔与文笔塔遥相呼应,园内八景吸引无数游客前往.如图是公园北侧小东门路、西侧红梅路、天宁宝塔与文笔塔的大致位置.已知红梅阁到这两条路的距离近似相等,且到这两座塔的距离也近似相等.请在图中用直尺和圆规找到红梅阁的位置,标注为点P.(保留作图痕迹,不要求写作法)

如图,点P即为所求.

3. (2025·南京期中)已知P为直线l外一点,利用直尺和圆规在l上作点A,B,分别满足下列条件.(保留作图痕迹,不写作法)
(1)在图①中,$PA= PB,∠APB= 90^{\circ };$
(2)在图②中,$PA= PB,∠APB= 60^{\circ }.$

(1)如图①,点A,B即为所作

(2)如图②,点A,B即为所作

4. (2024·南京校级模拟)已知$∠β$和线段l,线段h.使用直尺和圆规作出满足下列条件的三角形(写出作法,保留作图痕迹).
(1)求作$△ABC$,使得$∠B= ∠β$,周长等于线段l;
(2)求作$△ABC$,使得$∠B= ∠β,∠B$一边上的高等于线段h,周长等于线段l.

(1)作∠MBN=∠β,在射线BM上取点A,在线段l(DF)上截取DE=BA,在射线BN上截取BG=EF,连接AG,作AG的垂直平分线HP交线段BG于C,连接AC,如图①,△ABC即为所求.


理由:由作图可知,DE=BA,BG=EF,∵HP是AG的垂直平分线，∴AC=CG,∴BC+AC=BC+CG=BG,∴BC+AC+BA=BG+BA=EF+DE=DF,∴△ABC的周长等于线段l,∵∠B=∠β,∴△ABC满足条件
(2)作∠MBN=∠β,过B作RS⊥BN,在BR上截取BT=h,过T作TW⊥RS交射线BM于A,在线段l(DF)上截取DE=BA,在射线BN上截取BG=EF,连接AG,作AG的垂直平分线HP交线段BG于C,连接AC,如图②,△ABC即为所求

理由:由作图可知,TW//BN,∴点A到BN的距离等于BT=h,同(1)可知△ABC的周长等于线段l,∠B=∠β,∴△ABC满足条件