7.如图 3-2-46 的正方形习字格中书写的汉字“善”端庄稳重、舒展美观.已知一条分割线的端点 A,B 分别在习字格的边 MP,NQ 上,且 AB // MN,“善”字的笔画“、”的位置在 AB 的黄金分割点 C 处,且$\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.若 MN=6 cm,则 BC 的长为 cm.(结果保留根号)

7. $-3+3\sqrt{5}$

8.如图3-2-47，四边形ABCD是一个长、宽之比为3：2的矩形，其面积为120 cm².
(1)求矩形ABCD的周长；
(2)黄金分割比是公认的最美比例，广泛用于建筑、艺术设计等领域，其比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，宽与长之比为黄金分割比的矩形称为黄金矩形.若将图中矩形的长增加14 cm，为了使图中的矩形变为黄金矩形，宽应增加多少？

8. 解:(1)设矩形 ABCD 的长为 3x cm,
则宽为 2x cm,
根据题意得 $3x · 2x=120$,
解得 $x=2\sqrt{5}$(负值舍去),
∴矩形 ABCD 的长为 $6\sqrt{5}$ cm,宽为
$4\sqrt{5}$ cm.
∴矩形 ABCD 的周长为 $2×(6\sqrt{5}+$
$4\sqrt{5})=20\sqrt{5}$(cm).
(2)设宽应增加 y cm,
此时矩形 ABCD 的长为 $(6\sqrt{5}+$
14)cm,则宽为$(4\sqrt{5}+y)$cm.
∵宽与长之比为黄金分割比的矩形称
为黄金矩形,
$\therefore \frac{4\sqrt{5}+y}{6\sqrt{5}+14}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,
解得 $y=8$,
即宽应增加 8 cm.

9.宽与长的比是$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$的矩形叫“黄金矩形”，这样的矩形令人赏心悦目，给我们以协调、匀称的美感.现将小波同学在数学活动课中作黄金矩形的方法归纳如下(如图3-2-48).
第一步:作一个正方形ABCD；
第二步:分别取AD,BC的中点M,N,连接MN；
第三步:以点N为圆心,ND的长为半径画弧,交BC的延长线于点E；
第四步:过点E作EF⊥AD,交AD的延长线于点F.
请你根据以上作图方法,证明矩形DCEF为黄金矩形.

图3-2-48

9. 证明:在正方形ABCD中,取AB=2a.
∵N为BC的中点,
∴NC=$\frac{1}{2}$BC=a.
在Rt△DNC中,ND=$\sqrt{NC^2+CD^2}$
=$\sqrt{a^2+(2a)^2}=\sqrt{5}a$.
又
∵NE=ND,
∴CE=NE-NC=($\sqrt{5}-1$)a.
∴$\frac{CE}{CD}=\frac{(\sqrt{5}-1)a}{2a}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.
故矩形DCEF为黄金矩形.