登录
15.如图,在$6×6$的正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,请仅用无刻度的直尺按下列要求作图。(不写作法,保留作图痕迹)
(1)在图①中作钝角$△ ABC$,使点C在格点上,且$AC=AB$。
(2)在图②中的线段AB上作点P,使得$△ BDP$的面积为$\frac{5}{2}$。
(1)在图①中作钝角$△ ABC$,使点C在格点上,且$AC=AB$。
(2)在图②中的线段AB上作点P,使得$△ BDP$的面积为$\frac{5}{2}$。
答案
(1) 如图①,$△ABC$即为所求作的三角形。
(2)如图②,点$P$即为所求作的点。
(2)如图②,点$P$即为所求作的点。
解析
【分析】
(1) 先根据网格特征用勾股定理计算AB的长度：AB横向跨度4格，纵向跨度1格，因此$AB=\sqrt{4^2+1^2}=\sqrt{17}$。要作$AC=AB$的钝角$△ ABC$，只需找到格点C，使C到A的距离也为$\sqrt{17}$（即C与A的横、纵向距离为1和4的组合），再调整C的位置保证$△ ABC$为钝角即可。
(2) $△ BDP$和$△ ABD$以D到直线AB的垂线段为公共高，因此两个三角形的面积比等于底BP与AB的长度比。先通过割补法算出$△ ABD$的面积，再结合已知$△ BDP$的面积求出BP和AB的比例，最后利用网格的格点特征对AB按比例分割，即可得到符合要求的点P。
【解析】
(1) 计算得$AB=\sqrt{4^2+1^2}=\sqrt{17}$，在网格中选取格点C，满足$AC=\sqrt{17}$且$△ ABC$为钝角，连接AC、BC，即得到所求$△ ABC$。
(2) 先利用割补法求出$△ ABD$的面积，根据同高三角形面积比等于底边长的比，算出BP与AB的长度比，再结合网格构造平行线对AB按比例分割，得到的交点即为所求点P。
（作图保留网格作图痕迹即可，无需写作法）
【答案】
(1) 如图①，$△ ABC$即为所求作的三角形。
(2)如图②，点$P$即为所求作的点。
【知识点】
勾股定理，三角形面积计算，网格作图
【点评】
本题属于网格操作类题目，将勾股定理、三角形面积性质结合起来考查，需要学生灵活运用几何性质结合网格的特殊性分析作图条件，对学生的几何分析能力和动手操作能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
(1) 先根据网格特征用勾股定理计算AB的长度：AB横向跨度4格，纵向跨度1格，因此$AB=\sqrt{4^2+1^2}=\sqrt{17}$。要作$AC=AB$的钝角$△ ABC$，只需找到格点C，使C到A的距离也为$\sqrt{17}$（即C与A的横、纵向距离为1和4的组合），再调整C的位置保证$△ ABC$为钝角即可。
(2) $△ BDP$和$△ ABD$以D到直线AB的垂线段为公共高，因此两个三角形的面积比等于底BP与AB的长度比。先通过割补法算出$△ ABD$的面积，再结合已知$△ BDP$的面积求出BP和AB的比例，最后利用网格的格点特征对AB按比例分割，即可得到符合要求的点P。
【解析】
(1) 计算得$AB=\sqrt{4^2+1^2}=\sqrt{17}$，在网格中选取格点C，满足$AC=\sqrt{17}$且$△ ABC$为钝角，连接AC、BC，即得到所求$△ ABC$。
(2) 先利用割补法求出$△ ABD$的面积，根据同高三角形面积比等于底边长的比，算出BP与AB的长度比，再结合网格构造平行线对AB按比例分割，得到的交点即为所求点P。
（作图保留网格作图痕迹即可，无需写作法）
【答案】
(1) 如图①，$△ ABC$即为所求作的三角形。
(2)如图②，点$P$即为所求作的点。
【知识点】
勾股定理，三角形面积计算，网格作图
【点评】
本题属于网格操作类题目，将勾股定理、三角形面积性质结合起来考查，需要学生灵活运用几何性质结合网格的特殊性分析作图条件，对学生的几何分析能力和动手操作能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
16.在第19届亚运会上，中国队在射击、游泳项目上共获得44枚金牌，且游泳项目获得的金牌数比射击项目获得的金牌数的2倍少4枚，求游泳项目与射击项目各获得多少枚金牌。
答案
解:设游泳项目获得$x$枚金牌,射击项目获得$y$枚金牌。
根据题意,得$\begin{cases}x+y=44,\\ x=2y-4。\end{cases}$解得$\begin{cases}x=28,\\ y=16。\end{cases}$
答:游泳项目获得28枚金牌,射击项目获得16枚金牌。
根据题意,得$\begin{cases}x+y=44,\\ x=2y-4。\end{cases}$解得$\begin{cases}x=28,\\ y=16。\end{cases}$
答:游泳项目获得28枚金牌,射击项目获得16枚金牌。
解析
【分析】
这是一道典型的和差倍分类应用题，解题时首先从题干提取两个核心等量关系：①射击项目金牌数+游泳项目金牌数=44枚；②游泳项目金牌数=射击项目金牌数×2-4枚。我们可以通过设两个未知数，将等量关系转化为二元一次方程组，再用代入消元法求解方程组，最后验证结果符合题意即可。
【解析】
解：设游泳项目获得$x$枚金牌，射击项目获得$y$枚金牌。
根据题意可列方程组：
$\begin{cases}x + y = 44 \quad \mathrm{(1)} \\x = 2y - 4 \quad \mathrm{(2)}\end{cases}$
将式(2)代入式(1)，得：$2y - 4 + y = 44$
合并同类项得$3y=48$，解得$y=16$
把$y=16$代入式(2)，得$x=2×16 -4=28$
经检验，$\begin{cases}x=28 \\ y=16 \end{cases}$符合题意。
【答案】
游泳项目获得28枚金牌，射击项目获得16枚金牌。
【知识点】
二元一次方程组的应用；代入消元法解二元一次方程组
【点评】
本题属于基础的方程类应用题，核心是准确读懂题意，梳理出对应的等量关系并列方程组求解，是对实际问题转化为数学模型能力的基础考察。
【难度系数】
0.85
这是一道典型的和差倍分类应用题，解题时首先从题干提取两个核心等量关系：①射击项目金牌数+游泳项目金牌数=44枚；②游泳项目金牌数=射击项目金牌数×2-4枚。我们可以通过设两个未知数，将等量关系转化为二元一次方程组，再用代入消元法求解方程组，最后验证结果符合题意即可。
【解析】
解：设游泳项目获得$x$枚金牌，射击项目获得$y$枚金牌。
根据题意可列方程组：
$\begin{cases}x + y = 44 \quad \mathrm{(1)} \\x = 2y - 4 \quad \mathrm{(2)}\end{cases}$
将式(2)代入式(1)，得：$2y - 4 + y = 44$
合并同类项得$3y=48$，解得$y=16$
把$y=16$代入式(2)，得$x=2×16 -4=28$
经检验，$\begin{cases}x=28 \\ y=16 \end{cases}$符合题意。
【答案】
游泳项目获得28枚金牌，射击项目获得16枚金牌。
【知识点】
二元一次方程组的应用；代入消元法解二元一次方程组
【点评】
本题属于基础的方程类应用题，核心是准确读懂题意，梳理出对应的等量关系并列方程组求解，是对实际问题转化为数学模型能力的基础考察。
【难度系数】
0.85
17.为了更好地开展古树名木的系统保护工作，某公园对园内的6棵百年古树都利用坐标确定了位置，并定期巡视。
（1）在如图所示的正方形网格中建立平面直角坐标系，使得古树A,B的位置分别表示为A(2,1),B(5,5)。
（2）①古树C的坐标为
②在图中标出古树D(3,3),E(4,−1),F(−1,−2)的位置。
（1）在如图所示的正方形网格中建立平面直角坐标系，使得古树A,B的位置分别表示为A(2,1),B(5,5)。
（2）①古树C的坐标为
$(-2,2)$
；②在图中标出古树D(3,3),E(4,−1),F(−1,−2)的位置。
答案
(2)①$(-2,2)$
②古树$D$,$E$,$F$的位置如图所示。
②古树$D$,$E$,$F$的位置如图所示。
解析
【分析】
解题的核心是先根据已知的A、B两点坐标建立正确的平面直角坐标系：已知A(2,1)，说明A点在原点右侧2个单位、上方1个单位的位置，因此将A点向左平移2个单位、向下平移1个单位即可找到坐标原点，再规定水平向右为x轴正方向、竖直向上为y轴正方向，每个小方格边长为1个单位长度，就能完成坐标系的建立。后续求C点坐标只需根据坐标系读取对应横、纵坐标即可，标注D、E、F点则根据坐标的正负和数值找到对应网格位置即可。
【解析】
步骤1：建立平面直角坐标系
将点A(2,1)向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到坐标原点(0,0)，规定水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，每个小方格边长为1个单位长度。
①求古树C的坐标
观察C点位置：C在原点左侧2个单位，横坐标为-2；在原点上方2个单位，纵坐标为2，因此C点坐标为(-2,2)。
②标注古树D、E、F的位置
点D(3,3)：从原点出发，沿x轴正方向走3个单位，再沿y轴正方向走3个单位，交点即为D；
点E(4,-1)：从原点出发，沿x轴正方向走4个单位，再沿y轴负方向走1个单位，交点即为E；
点F(-1,-2)：从原点出发，沿x轴负方向走1个单位，再沿y轴负方向走2个单位，交点即为F。
【答案】
(2)①$\boldsymbol{(-2,2)}$；②按照上述方法在图中标出D、E、F的位置即可。
【知识点】
平面直角坐标系，点的坐标，坐标定位
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础应用类题型，解题关键是先通过已知点坐标确定坐标系的基准（原点、坐标轴方向、单位长度），再完成坐标读取和点位标注，能很好地考查学生对坐标与位置对应关系的掌握情况。
【难度系数】
0.8
解题的核心是先根据已知的A、B两点坐标建立正确的平面直角坐标系：已知A(2,1)，说明A点在原点右侧2个单位、上方1个单位的位置，因此将A点向左平移2个单位、向下平移1个单位即可找到坐标原点，再规定水平向右为x轴正方向、竖直向上为y轴正方向，每个小方格边长为1个单位长度，就能完成坐标系的建立。后续求C点坐标只需根据坐标系读取对应横、纵坐标即可，标注D、E、F点则根据坐标的正负和数值找到对应网格位置即可。
【解析】
步骤1：建立平面直角坐标系
将点A(2,1)向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到坐标原点(0,0)，规定水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，每个小方格边长为1个单位长度。
①求古树C的坐标
观察C点位置：C在原点左侧2个单位，横坐标为-2；在原点上方2个单位，纵坐标为2，因此C点坐标为(-2,2)。
②标注古树D、E、F的位置
点D(3,3)：从原点出发，沿x轴正方向走3个单位，再沿y轴正方向走3个单位，交点即为D；
点E(4,-1)：从原点出发，沿x轴正方向走4个单位，再沿y轴负方向走1个单位，交点即为E；
点F(-1,-2)：从原点出发，沿x轴负方向走1个单位，再沿y轴负方向走2个单位，交点即为F。
【答案】
(2)①$\boldsymbol{(-2,2)}$；②按照上述方法在图中标出D、E、F的位置即可。
【知识点】
平面直角坐标系，点的坐标，坐标定位
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础应用类题型，解题关键是先通过已知点坐标确定坐标系的基准（原点、坐标轴方向、单位长度），再完成坐标读取和点位标注，能很好地考查学生对坐标与位置对应关系的掌握情况。
【难度系数】
0.8
18.如图,在$△ ABC$中,点 D,E 分别在AB,AC 上,点 G,F 在 CB 上,连接ED,EF,GD。已知$∠ 1+∠ 2=180°$,$∠ B=∠ 3$。
(1)求证:$DE// BC$。
(2)若$∠ C=76°,∠ AED=2∠ 3$,求$∠ CEF$的度数。
19.为加强学校安全教育,某校开展了安全知识网络竞赛活动,竞赛满分为100分。为了解八、九年级学生此次竞赛成绩的情况,统计员分别从两个年级各随机抽取了20名参赛学生的成绩(单位:分)。已知抽取得到的八年级的数据如下:80,95,60,80,75,60,95,65,75,70,80,75,85,65,90,70,75,80,85,80。(分数高于80分为优秀)
为了便于分析数据,统计员对八年级的数据进行了整理,得到了下表和频数直方图。
八、九年级成绩的平均数、中位数、优秀率如下:
(1)表中的$a=\_\_\_\_\_\_,b=\_\_\_\_\_\_,c=\_\_\_\_\_\_$;补全八年级的频数直方图。
(2)八年级小宇和九年级小乐的分数都为80分,请判断小宇、小乐在各自年级的排名谁更靠前?请简述你的理由。
(3)若九年级共有600名学生参赛,请估计九年级80分以上(不含80分)的人数。
20.提升题如图,在平面直角坐标系中,一次函数$y=-\frac{1}{2}x+5$的图象与x轴、y轴分别交于点 A,B,F 是线段AB 上的一个动点(不与点 A,B 重合),连接 OF。设点 F 的横坐标为 x。
(1)点 A 的坐标为$\_\_\_\_\_\_$,点 B 的坐标为$\_\_\_\_\_\_,AB=\_\_\_\_\_\_$。
(2)当$S_{△ OAF}=\frac{1}{2}S_{△ OAB}$时,求点 F 的坐标;此时线段 OF 与 AB 之间有怎样的数量关系?请说明理由。
(3)在(2)的条件下,第一象限内存在一点 P,使$△ APF$是以 AF 为直角边的等腰直角三角形,求出点 P 的坐标。
(1)求证:$DE// BC$。
(2)若$∠ C=76°,∠ AED=2∠ 3$,求$∠ CEF$的度数。
19.为加强学校安全教育,某校开展了安全知识网络竞赛活动,竞赛满分为100分。为了解八、九年级学生此次竞赛成绩的情况,统计员分别从两个年级各随机抽取了20名参赛学生的成绩(单位:分)。已知抽取得到的八年级的数据如下:80,95,60,80,75,60,95,65,75,70,80,75,85,65,90,70,75,80,85,80。(分数高于80分为优秀)
为了便于分析数据,统计员对八年级的数据进行了整理,得到了下表和频数直方图。
八、九年级成绩的平均数、中位数、优秀率如下:
(1)表中的$a=\_\_\_\_\_\_,b=\_\_\_\_\_\_,c=\_\_\_\_\_\_$;补全八年级的频数直方图。
(2)八年级小宇和九年级小乐的分数都为80分,请判断小宇、小乐在各自年级的排名谁更靠前?请简述你的理由。
(3)若九年级共有600名学生参赛,请估计九年级80分以上(不含80分)的人数。
20.提升题如图,在平面直角坐标系中,一次函数$y=-\frac{1}{2}x+5$的图象与x轴、y轴分别交于点 A,B,F 是线段AB 上的一个动点(不与点 A,B 重合),连接 OF。设点 F 的横坐标为 x。
(1)点 A 的坐标为$\_\_\_\_\_\_$,点 B 的坐标为$\_\_\_\_\_\_,AB=\_\_\_\_\_\_$。
(2)当$S_{△ OAF}=\frac{1}{2}S_{△ OAB}$时,求点 F 的坐标;此时线段 OF 与 AB 之间有怎样的数量关系?请说明理由。
(3)在(2)的条件下,第一象限内存在一点 P,使$△ APF$是以 AF 为直角边的等腰直角三角形,求出点 P 的坐标。
答案
18. (1)证明:$\because ∠1+∠2=180°,∠2=∠4$,
$\therefore ∠1+∠4=180°$。
$\therefore AB// EF$。
$\therefore ∠B=∠EFC$。
$\because ∠B=∠3$,$\therefore ∠3=∠EFC$。
$\therefore DE// BC$。
(2)解:$\because DE// BC$,$∠C=76°$,
$\therefore ∠C+∠DEC=180°$,$∠AED=∠C=76°$。
$\therefore ∠DEC=180°-∠C=104°$。
$\because ∠AED=2∠3$,$\therefore ∠3=38°$。
$\therefore ∠CEF=∠DEC-∠3=104°-38°=66°$。
19. (1)$6$,$3$,$77.5$;补全八年级的频数直方图如图所示。
(2)小宇在八年级的排名更靠前。理由如下:
八年级的中位数为$77.5$分,而小宇的分数为80分,所以小宇的成绩在八年级为中上游;九年级的中位数为$82.5$分,而小乐的分数为80分,所以他的成绩在九年级为中下游,所以小宇在八年级的排名更靠前。
(3)估计九年级80分以上(不含80分)的学生有$600×50\% =300$(人)。
20. (1)$(10,0)$,$(0,5)$,$5\sqrt{5}$
(2)解:$\because F$是线段$AB$上的一个动点(不与点$A,B$重合),
设$△ OAF$的面积为$S$,过点$F$作$FE⊥x$轴,如答图①所示。
$\because$点$F$的横坐标为$x$,
$\therefore$点$F$的坐标为$(x,-\frac{1}{2}x+5)$。
$\because S_{△ OAF}=\frac{1}{2}S_{△ OAB}=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×10×5=\frac{25}{2}$,
$S_{△ OAF}=\frac{1}{2}OA·EF=\frac{1}{2}×10×(-\frac{1}{2}x+5)=-\frac{5}{2}x+25(0＜x＜10)$。
$\therefore -\frac{5}{2}x+25=\frac{25}{2}$。
解得$x=5$。
$\therefore$点$F$的坐标为$(5,\frac{5}{2})$。
$\therefore OF=\sqrt{5^2+(\frac{5}{2})^2}=\frac{5\sqrt{5}}{2}$。
$\because AB=5\sqrt{5}$,$\therefore OF=\frac{1}{2}AB$。
(3)如答图②,分两种情况:
情况一:当$∠PAF$为直角时,过点$F$作$FE⊥x$轴于点$E$,过点$P$作$PG⊥x$轴于点$G$。
$\because △ AFP$是等腰直角三角形,
$\therefore AF=PA$,$∠FEA=∠FAP=∠PGA=90°$。
$\therefore ∠AFE+∠FAE=∠FAE+∠PAG=90°$。
$\therefore ∠AFE=∠PAG$。
在$△ AFE$和$△ PAG$中,$\because ∠FEA=∠AGP$,$∠AFE=∠PAG$,$AF=PA$,
$\therefore △ AFE≌△ PAG(\mathrm{AAS})$。
$\therefore FE=AG=\frac{5}{2}$,$AE=PG=OA-OE=5$。
$\therefore$点$P$的坐标为$(\frac{25}{2},5)$。
情况二:当$∠P'FA$为直角时,过点$P'$作$P'H⊥EF$,交$EF$的延长线于点$H$。
$\because △ AFP'$是等腰直角三角形,
同理可证$△ P'HF≌△ FEA(\mathrm{AAS})$。
$\therefore FH=AE=5$,$HP'=FE=\frac{5}{2}$。
$\therefore$点$P'$的坐标为$(\frac{15}{2},\frac{15}{2})$。
综上所述,点$P$的坐标为$(\frac{25}{2},5)$或$(\frac{15}{2},\frac{15}{2})$。
＜/answer＞
$\therefore ∠1+∠4=180°$。
$\therefore AB// EF$。
$\therefore ∠B=∠EFC$。
$\because ∠B=∠3$,$\therefore ∠3=∠EFC$。
$\therefore DE// BC$。
(2)解:$\because DE// BC$,$∠C=76°$,
$\therefore ∠C+∠DEC=180°$,$∠AED=∠C=76°$。
$\therefore ∠DEC=180°-∠C=104°$。
$\because ∠AED=2∠3$,$\therefore ∠3=38°$。
$\therefore ∠CEF=∠DEC-∠3=104°-38°=66°$。
19. (1)$6$,$3$,$77.5$;补全八年级的频数直方图如图所示。
(2)小宇在八年级的排名更靠前。理由如下:
八年级的中位数为$77.5$分,而小宇的分数为80分,所以小宇的成绩在八年级为中上游;九年级的中位数为$82.5$分,而小乐的分数为80分,所以他的成绩在九年级为中下游,所以小宇在八年级的排名更靠前。
(3)估计九年级80分以上(不含80分)的学生有$600×50\% =300$(人)。
20. (1)$(10,0)$,$(0,5)$,$5\sqrt{5}$
(2)解:$\because F$是线段$AB$上的一个动点(不与点$A,B$重合),
设$△ OAF$的面积为$S$,过点$F$作$FE⊥x$轴,如答图①所示。
$\because$点$F$的横坐标为$x$,
$\therefore$点$F$的坐标为$(x,-\frac{1}{2}x+5)$。
$\because S_{△ OAF}=\frac{1}{2}S_{△ OAB}=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×10×5=\frac{25}{2}$,
$S_{△ OAF}=\frac{1}{2}OA·EF=\frac{1}{2}×10×(-\frac{1}{2}x+5)=-\frac{5}{2}x+25(0＜x＜10)$。
$\therefore -\frac{5}{2}x+25=\frac{25}{2}$。
解得$x=5$。
$\therefore$点$F$的坐标为$(5,\frac{5}{2})$。
$\therefore OF=\sqrt{5^2+(\frac{5}{2})^2}=\frac{5\sqrt{5}}{2}$。
$\because AB=5\sqrt{5}$,$\therefore OF=\frac{1}{2}AB$。
(3)如答图②,分两种情况:
情况一:当$∠PAF$为直角时,过点$F$作$FE⊥x$轴于点$E$,过点$P$作$PG⊥x$轴于点$G$。
$\because △ AFP$是等腰直角三角形,
$\therefore AF=PA$,$∠FEA=∠FAP=∠PGA=90°$。
$\therefore ∠AFE+∠FAE=∠FAE+∠PAG=90°$。
$\therefore ∠AFE=∠PAG$。
在$△ AFE$和$△ PAG$中,$\because ∠FEA=∠AGP$,$∠AFE=∠PAG$,$AF=PA$,
$\therefore △ AFE≌△ PAG(\mathrm{AAS})$。
$\therefore FE=AG=\frac{5}{2}$,$AE=PG=OA-OE=5$。
$\therefore$点$P$的坐标为$(\frac{25}{2},5)$。
情况二:当$∠P'FA$为直角时,过点$P'$作$P'H⊥EF$,交$EF$的延长线于点$H$。
$\because △ AFP'$是等腰直角三角形,
同理可证$△ P'HF≌△ FEA(\mathrm{AAS})$。
$\therefore FH=AE=5$,$HP'=FE=\frac{5}{2}$。
$\therefore$点$P'$的坐标为$(\frac{15}{2},\frac{15}{2})$。
综上所述,点$P$的坐标为$(\frac{25}{2},5)$或$(\frac{15}{2},\frac{15}{2})$。
＜/answer＞
解析
第18题
【分析】
(1) 要证明$DE//BC$，可通过证明内错角$∠ 3=∠ EFC$实现。首先利用对顶角相等，结合已知$∠ 1+∠ 2=180°$推出$AB//EF$，得到$∠ B=∠ EFC$，再结合已知$∠ B=∠ 3$即可得到角的等量关系，完成平行的证明。
(2) 先利用平行线的性质得到$∠ AED=∠ C$、$∠ C$与$∠ DEC$互补，结合已知$∠ AED=2∠ 3$算出$∠ 3$的度数，最后用$∠ DEC$减去$∠ 3$即可求出$∠ CEF$的度数。
【解析】
(1) 证明：$\because ∠1+∠2=180°,∠2=∠4$（对顶角相等），
$\therefore ∠1+∠4=180°$。
$\therefore AB// EF$（同旁内角互补，两直线平行）。
$\therefore ∠B=∠EFC$（两直线平行，同位角相等）。
$\because ∠B=∠3$，$\therefore ∠3=∠EFC$。
$\therefore DE// BC$（内错角相等，两直线平行）。
(2) 解：$\because DE// BC$，$∠C=76°$，
$\therefore ∠C+∠DEC=180°$（两直线平行，同旁内角互补），$∠AED=∠C=76°$（两直线平行，同位角相等）。
$\therefore ∠DEC=180°-∠C=104°$。
$\because ∠AED=2∠3$，$\therefore ∠3=76°÷2=38°$。
$\therefore ∠CEF=∠DEC-∠3=104°-38°=66°$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $66°$
【知识点】
平行线的判定与性质；角度计算
【点评】
本题是平行线判定与性质的基础综合题，解题关键是理清角之间的位置和数量关系，灵活运用平行线的判定和性质定理推导求解。
【难度系数】
0.7
---
第19题
【分析】
(1) 先将八年级20个成绩按从小到大排序，分别统计70~80分、90~100分的频数得到$a$、$b$的值；中位数是排序后第10、11个数据的平均数，计算即可得到$c$的值，再根据频数补全直方图。
(2) 比较两人成绩和各自年级中位数的大小：成绩高于中位数说明排名在前50%，低于中位数说明排名在后50%，即可判断谁的排名更靠前。
(3) 用九年级总人数乘以样本的优秀率，即可估计出九年级80分以上的总人数。
【解析】
(1) 将八年级成绩从小到大排序：60,60,65,65,70,70,75,75,75,75,80,80,80,80,80,85,85,90,95,95。
统计得70~80分的有6人，故$a=6$；90~100分的有3人，故$b=3$；
中位数是第10个和第11个数据的平均数，即$\frac{75+80}{2}=77.5$，故$c=77.5$。补全直方图略。
(2) 小宇在八年级的排名更靠前。理由：八年级的中位数为$77.5$分，小宇的80分高于中位数，说明成绩排在八年级前50%；九年级的中位数为$82.5$分，小乐的80分低于中位数，说明成绩排在九年级后50%，因此小宇排名更靠前。
(3) 九年级优秀率为50%，因此估计80分以上的人数为$600×50\% =300$（人）。
【答案】
(1) $6$，$3$，$77.5$，补全直方图略；(2) 小宇排名更靠前，理由见解析；(3) $300$人
【知识点】
数据统计整理；中位数；用样本估计总体
【点评】
本题考查统计基础应用，需要掌握频数统计、中位数的计算方法，理解中位数的统计意义，以及用样本特征估计总体特征的统计思想，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.75
---
第20题
【分析】
(1) 求一次函数与x轴交点令$y=0$求解$x$得到A点坐标，与y轴交点令$x=0$求解$y$得到B点坐标，再用勾股定理计算$AB$的长度。
(2) $△ OAF$和$△ OAB$同底为$OA$，面积比等于对应高的比，因此$△ OAF$面积是$△ OAB$一半时，F点的纵坐标是B点纵坐标的一半，代入一次函数解析式求出$x$即可得到F点坐标，再计算$OF$的长度即可得到$OF$和$AB$的数量关系。
(3) 分两种情况讨论：①直角顶点在A点；②直角顶点在F点，分别构造全等直角三角形，利用对应边相等计算P点的横纵坐标，注意P点在第一象限，排除不符合的坐标。
【解析】
(1) 对于$y=-\frac{1}{2}x+5$，令$y=0$，得$0=-\frac{1}{2}x+5$，解得$x=10$，故$A(10,0)$；令$x=0$，得$y=5$，故$B(0,5)$；由勾股定理得$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{10^2+5^2}=5\sqrt{5}$。
(2) 解：过点$F$作$FE⊥x$轴于$E$，
$\because$点F在AB上，横坐标为$x$，$\therefore F(x,-\frac{1}{2}x+5)$。
$S_{△OAB}=\frac{1}{2}×OA×OB=\frac{1}{2}×10×5=25$，故$S_{△OAF}=\frac{1}{2}S_{△OAB}=\frac{25}{2}$。
又$S_{△OAF}=\frac{1}{2}×OA×EF=\frac{1}{2}×10×(-\frac{1}{2}x+5)=-\frac{5}{2}x+25$，
$\therefore -\frac{5}{2}x+25=\frac{25}{2}$，解得$x=5$，代入解析式得$y=-\frac{1}{2}×5+5=\frac{5}{2}$，故$F(5,\frac{5}{2})$。
此时$OF=\sqrt{OE^2+EF^2}=\sqrt{5^2+(\frac{5}{2})^2}=\frac{5\sqrt{5}}{2}$，$\because AB=5\sqrt{5}$，$\therefore OF=\frac{1}{2}AB$。
(3) 分两种情况：
①当$∠PAF=90°$时，过F作$FE⊥x$轴于E，过P作$PG⊥x$轴于G，
$\because △AFP$是等腰直角三角形，$\therefore AF=PA$，$∠FAE+∠PAG=90°$，
又$∠FAE+∠AFE=90°$，$\therefore ∠AFE=∠PAG$，
又$∠FEA=∠AGP=90°$，$\therefore △AFE≌△PAG(AAS)$，
$\therefore AG=FE=\frac{5}{2}$，$PG=AE=OA-OE=10-5=5$，
$\therefore OG=OA+AG=10+\frac{5}{2}=\frac{25}{2}$，故$P(\frac{25}{2},5)$，在第一象限，符合要求。
②当$∠PFA=90°$时，过F作$FE⊥x$轴于E，过$P'$作$P'H⊥EF$交EF延长线于H，
同理可证$△P'HF≌△FEA(AAS)$，
$\therefore FH=AE=5$，$HP'=FE=\frac{5}{2}$，
$\therefore P'$的横坐标为$OE+HP'=5+\frac{5}{2}=\frac{15}{2}$，纵坐标为$EF+FH=\frac{5}{2}+5=\frac{15}{2}$，故$P'(\frac{15}{2},\frac{15}{2})$，在第一象限，符合要求。
综上，P点坐标为$(\frac{25}{2},5)$或$(\frac{15}{2},\frac{15}{2})$。
【答案】
(1) $(10,0)$，$(0,5)$，$5\sqrt{5}$；(2) $F(5,\frac{5}{2})$，$OF=\frac{1}{2}AB$，理由见解析；(3) $(\frac{25}{2},5)$或$(\frac{15}{2},\frac{15}{2})$
【知识点】
一次函数的性质；等腰直角三角形的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是一次函数与几何的综合题，涉及一次函数与坐标轴交点、面积计算、等腰直角三角形的性质和分类讨论思想，第三问需要分两种直角顶点的情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.4
【分析】
(1) 要证明$DE//BC$，可通过证明内错角$∠ 3=∠ EFC$实现。首先利用对顶角相等，结合已知$∠ 1+∠ 2=180°$推出$AB//EF$，得到$∠ B=∠ EFC$，再结合已知$∠ B=∠ 3$即可得到角的等量关系，完成平行的证明。
(2) 先利用平行线的性质得到$∠ AED=∠ C$、$∠ C$与$∠ DEC$互补，结合已知$∠ AED=2∠ 3$算出$∠ 3$的度数，最后用$∠ DEC$减去$∠ 3$即可求出$∠ CEF$的度数。
【解析】
(1) 证明：$\because ∠1+∠2=180°,∠2=∠4$（对顶角相等），
$\therefore ∠1+∠4=180°$。
$\therefore AB// EF$（同旁内角互补，两直线平行）。
$\therefore ∠B=∠EFC$（两直线平行，同位角相等）。
$\because ∠B=∠3$，$\therefore ∠3=∠EFC$。
$\therefore DE// BC$（内错角相等，两直线平行）。
(2) 解：$\because DE// BC$，$∠C=76°$，
$\therefore ∠C+∠DEC=180°$（两直线平行，同旁内角互补），$∠AED=∠C=76°$（两直线平行，同位角相等）。
$\therefore ∠DEC=180°-∠C=104°$。
$\because ∠AED=2∠3$，$\therefore ∠3=76°÷2=38°$。
$\therefore ∠CEF=∠DEC-∠3=104°-38°=66°$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $66°$
【知识点】
平行线的判定与性质；角度计算
【点评】
本题是平行线判定与性质的基础综合题，解题关键是理清角之间的位置和数量关系，灵活运用平行线的判定和性质定理推导求解。
【难度系数】
0.7
---
第19题
【分析】
(1) 先将八年级20个成绩按从小到大排序，分别统计70~80分、90~100分的频数得到$a$、$b$的值；中位数是排序后第10、11个数据的平均数，计算即可得到$c$的值，再根据频数补全直方图。
(2) 比较两人成绩和各自年级中位数的大小：成绩高于中位数说明排名在前50%，低于中位数说明排名在后50%，即可判断谁的排名更靠前。
(3) 用九年级总人数乘以样本的优秀率，即可估计出九年级80分以上的总人数。
【解析】
(1) 将八年级成绩从小到大排序：60,60,65,65,70,70,75,75,75,75,80,80,80,80,80,85,85,90,95,95。
统计得70~80分的有6人，故$a=6$；90~100分的有3人，故$b=3$；
中位数是第10个和第11个数据的平均数，即$\frac{75+80}{2}=77.5$，故$c=77.5$。补全直方图略。
(2) 小宇在八年级的排名更靠前。理由：八年级的中位数为$77.5$分，小宇的80分高于中位数，说明成绩排在八年级前50%；九年级的中位数为$82.5$分，小乐的80分低于中位数，说明成绩排在九年级后50%，因此小宇排名更靠前。
(3) 九年级优秀率为50%，因此估计80分以上的人数为$600×50\% =300$（人）。
【答案】
(1) $6$，$3$，$77.5$，补全直方图略；(2) 小宇排名更靠前，理由见解析；(3) $300$人
【知识点】
数据统计整理；中位数；用样本估计总体
【点评】
本题考查统计基础应用，需要掌握频数统计、中位数的计算方法，理解中位数的统计意义，以及用样本特征估计总体特征的统计思想，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.75
---
第20题
【分析】
(1) 求一次函数与x轴交点令$y=0$求解$x$得到A点坐标，与y轴交点令$x=0$求解$y$得到B点坐标，再用勾股定理计算$AB$的长度。
(2) $△ OAF$和$△ OAB$同底为$OA$，面积比等于对应高的比，因此$△ OAF$面积是$△ OAB$一半时，F点的纵坐标是B点纵坐标的一半，代入一次函数解析式求出$x$即可得到F点坐标，再计算$OF$的长度即可得到$OF$和$AB$的数量关系。
(3) 分两种情况讨论：①直角顶点在A点；②直角顶点在F点，分别构造全等直角三角形，利用对应边相等计算P点的横纵坐标，注意P点在第一象限，排除不符合的坐标。
【解析】
(1) 对于$y=-\frac{1}{2}x+5$，令$y=0$，得$0=-\frac{1}{2}x+5$，解得$x=10$，故$A(10,0)$；令$x=0$，得$y=5$，故$B(0,5)$；由勾股定理得$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{10^2+5^2}=5\sqrt{5}$。
(2) 解：过点$F$作$FE⊥x$轴于$E$，
$\because$点F在AB上，横坐标为$x$，$\therefore F(x,-\frac{1}{2}x+5)$。
$S_{△OAB}=\frac{1}{2}×OA×OB=\frac{1}{2}×10×5=25$，故$S_{△OAF}=\frac{1}{2}S_{△OAB}=\frac{25}{2}$。
又$S_{△OAF}=\frac{1}{2}×OA×EF=\frac{1}{2}×10×(-\frac{1}{2}x+5)=-\frac{5}{2}x+25$，
$\therefore -\frac{5}{2}x+25=\frac{25}{2}$，解得$x=5$，代入解析式得$y=-\frac{1}{2}×5+5=\frac{5}{2}$，故$F(5,\frac{5}{2})$。
此时$OF=\sqrt{OE^2+EF^2}=\sqrt{5^2+(\frac{5}{2})^2}=\frac{5\sqrt{5}}{2}$，$\because AB=5\sqrt{5}$，$\therefore OF=\frac{1}{2}AB$。
(3) 分两种情况：
①当$∠PAF=90°$时，过F作$FE⊥x$轴于E，过P作$PG⊥x$轴于G，
$\because △AFP$是等腰直角三角形，$\therefore AF=PA$，$∠FAE+∠PAG=90°$，
又$∠FAE+∠AFE=90°$，$\therefore ∠AFE=∠PAG$，
又$∠FEA=∠AGP=90°$，$\therefore △AFE≌△PAG(AAS)$，
$\therefore AG=FE=\frac{5}{2}$，$PG=AE=OA-OE=10-5=5$，
$\therefore OG=OA+AG=10+\frac{5}{2}=\frac{25}{2}$，故$P(\frac{25}{2},5)$，在第一象限，符合要求。
②当$∠PFA=90°$时，过F作$FE⊥x$轴于E，过$P'$作$P'H⊥EF$交EF延长线于H，
同理可证$△P'HF≌△FEA(AAS)$，
$\therefore FH=AE=5$，$HP'=FE=\frac{5}{2}$，
$\therefore P'$的横坐标为$OE+HP'=5+\frac{5}{2}=\frac{15}{2}$，纵坐标为$EF+FH=\frac{5}{2}+5=\frac{15}{2}$，故$P'(\frac{15}{2},\frac{15}{2})$，在第一象限，符合要求。
综上，P点坐标为$(\frac{25}{2},5)$或$(\frac{15}{2},\frac{15}{2})$。
【答案】
(1) $(10,0)$，$(0,5)$，$5\sqrt{5}$；(2) $F(5,\frac{5}{2})$，$OF=\frac{1}{2}AB$，理由见解析；(3) $(\frac{25}{2},5)$或$(\frac{15}{2},\frac{15}{2})$
【知识点】
一次函数的性质；等腰直角三角形的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是一次函数与几何的综合题，涉及一次函数与坐标轴交点、面积计算、等腰直角三角形的性质和分类讨论思想，第三问需要分两种直角顶点的情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.4
