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10. 提升题 已知三个实数$a,b,c$在数轴上对应的点如图所示。
（1）比较大小：
①$a - b$
③$c + b$
（2）根据（1）中的结果化简$|a - b| + |c - a| - |c + b| - |a + b|$。
（1）比较大小：
①$a - b$
＜
$0$；②$c - a$ ＞
$0$；③$c + b$
＞
$0$；④$a + b$ ＜
$0$。（2）根据（1）中的结果化简$|a - b| + |c - a| - |c + b| - |a + b|$。
答案
(1) ①＜；②＞；③＞；④＜
(2) 解:$|a - b| + |c - a| - |c + b| - |a + b|$
$=-(a-b)+(c-a)-(c+b)-[-(a+b)]$
$=-a+b+c-a-c-b+a+b$
$=-a+b$。
(2) 解:$|a - b| + |c - a| - |c + b| - |a + b|$
$=-(a-b)+(c-a)-(c+b)-[-(a+b)]$
$=-a+b+c-a-c-b+a+b$
$=-a+b$。
解析
【分析】
首先观察数轴获取核心信息：数轴上右侧的数总大于左侧的数，可得$a＜c＜0＜b$，且点距离原点越远对应数的绝对值越大，因此$|a|＞|b|＞|c|$。
（1）比较大小的思路：①判断$a-b$的符号：负数减正数，结果为负，故小于0；②判断$c-a$的符号：较大的数减较小的数，结果为正，故大于0；③判断$c+b$的符号：异号两数相加，取绝对值更大的数的符号，$b$的绝对值大于$c$的绝对值，故和为正，大于0；④判断$a+b$的符号：异号两数相加，$a$的绝对值大于$b$的绝对值，故和为负，小于0。
（2）化简的思路：根据绝对值的性质“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数”，结合（1）中得到的每个绝对值内式子的符号，先去掉绝对值符号，再通过去括号、合并同类项即可得到化简结果。
【解析】
解：由数轴可知：$a＜c＜0＜b$，且$|a|＞|b|＞|c|$。
（1）①$\because a＜0,b＞0$，$\therefore a-b＜0$；
②$\because c＞a$，$\therefore c-a＞0$；
③$\because |b|＞|c|$，$b＞0,c＜0$，$\therefore c+b＞0$；
④$\because |a|＞|b|$，$a＜0,b＞0$，$\therefore a+b＜0$。
（2）根据（1）的结论，结合绝对值的性质化简：
$\begin{aligned}|a - b| + |c - a| - |c + b| - |a + b|&=-(a-b)+(c-a)-(c+b)-[-(a+b)]\\&=-a+b+c-a-c-b+a+b\\&=-a+b\end{aligned}$
【答案】
(1) ①$＜$；②$＞$；③$＞$；④$＜$
(2) $-a+b$
【知识点】
数轴的应用，绝对值的性质，整式化简
【点评】
本题结合数轴考查有理数大小判断、绝对值化简及整式运算，解题核心是先通过数轴明确各数的符号和绝对值大小关系，再准确运用绝对值性质去符号，是代数部分的经典常考题型，熟练掌握相关性质能快速求解。
【难度系数】
0.65
首先观察数轴获取核心信息：数轴上右侧的数总大于左侧的数，可得$a＜c＜0＜b$，且点距离原点越远对应数的绝对值越大，因此$|a|＞|b|＞|c|$。
（1）比较大小的思路：①判断$a-b$的符号：负数减正数，结果为负，故小于0；②判断$c-a$的符号：较大的数减较小的数，结果为正，故大于0；③判断$c+b$的符号：异号两数相加，取绝对值更大的数的符号，$b$的绝对值大于$c$的绝对值，故和为正，大于0；④判断$a+b$的符号：异号两数相加，$a$的绝对值大于$b$的绝对值，故和为负，小于0。
（2）化简的思路：根据绝对值的性质“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数”，结合（1）中得到的每个绝对值内式子的符号，先去掉绝对值符号，再通过去括号、合并同类项即可得到化简结果。
【解析】
解：由数轴可知：$a＜c＜0＜b$，且$|a|＞|b|＞|c|$。
（1）①$\because a＜0,b＞0$，$\therefore a-b＜0$；
②$\because c＞a$，$\therefore c-a＞0$；
③$\because |b|＞|c|$，$b＞0,c＜0$，$\therefore c+b＞0$；
④$\because |a|＞|b|$，$a＜0,b＞0$，$\therefore a+b＜0$。
（2）根据（1）的结论，结合绝对值的性质化简：
$\begin{aligned}|a - b| + |c - a| - |c + b| - |a + b|&=-(a-b)+(c-a)-(c+b)-[-(a+b)]\\&=-a+b+c-a-c-b+a+b\\&=-a+b\end{aligned}$
【答案】
(1) ①$＜$；②$＞$；③$＞$；④$＜$
(2) $-a+b$
【知识点】
数轴的应用，绝对值的性质，整式化简
【点评】
本题结合数轴考查有理数大小判断、绝对值化简及整式运算，解题核心是先通过数轴明确各数的符号和绝对值大小关系，再准确运用绝对值性质去符号，是代数部分的经典常考题型，熟练掌握相关性质能快速求解。
【难度系数】
0.65
11.提升题 小明在学习二次根式时，遇到这样一道题:若代数式$\sqrt{(m-1)^2}+\sqrt{(m-2)^2}$的值是1，求$m$的取值范围。他运用分类讨论的方法解题如下。
解:原式$=|m-1|+|m-2|$。
当$m＜1$时，原式$=(1-m)+(2-m)=3-2m=1$，解得$m=1$(不符合条件，舍去)；
当$1≤m≤2$时，原式$=(m-1)+(2-m)=1$，符合条件；
当$m＞2$时，原式$=(m-1)+(m-2)=2m-3=1$，解得$m=2$(不符合条件，舍去)。
所以，$m$的取值范围是$1≤m≤2$。
请你根据小明的解法，解答下列问题。
(1)当$3≤m≤5$时，化简$\sqrt{(m-3)^2}+\sqrt{(m-5)^2}$。
(2)若代数式$\sqrt{(2-m)^2}-\sqrt{(m-6)^2}$的值是4，求$m$的取值范围。
解:原式$=|m-1|+|m-2|$。
当$m＜1$时，原式$=(1-m)+(2-m)=3-2m=1$，解得$m=1$(不符合条件，舍去)；
当$1≤m≤2$时，原式$=(m-1)+(2-m)=1$，符合条件；
当$m＞2$时，原式$=(m-1)+(m-2)=2m-3=1$，解得$m=2$(不符合条件，舍去)。
所以，$m$的取值范围是$1≤m≤2$。
请你根据小明的解法，解答下列问题。
(1)当$3≤m≤5$时，化简$\sqrt{(m-3)^2}+\sqrt{(m-5)^2}$。
(2)若代数式$\sqrt{(2-m)^2}-\sqrt{(m-6)^2}$的值是4，求$m$的取值范围。
答案
(1) 因为$3≤ m≤5$，
所以$\sqrt{(m-3)^2}+\sqrt{(m-5)^2}$
$=|m-3|+|m-5|$
$=m-3-(m-5)$
$=m-3-m+5$
$=2$。
(2) 原式$=|2-m|-|m-6|$。
当$m＜2$时，原式$=(2-m)-(6-m)=-4$(不符合条件，舍去)；
当$2≤ m≤6$时，原式$=(m-2)-(6-m)=2m-8=4$，解得$m=6$，符合条件；
当$m＞6$时，原式$=(m-2)-(m-6)=4$，符合条件。
所以$m$的取值范围是$m≥6$。
所以$\sqrt{(m-3)^2}+\sqrt{(m-5)^2}$
$=|m-3|+|m-5|$
$=m-3-(m-5)$
$=m-3-m+5$
$=2$。
(2) 原式$=|2-m|-|m-6|$。
当$m＜2$时，原式$=(2-m)-(6-m)=-4$(不符合条件，舍去)；
当$2≤ m≤6$时，原式$=(m-2)-(6-m)=2m-8=4$，解得$m=6$，符合条件；
当$m＞6$时，原式$=(m-2)-(m-6)=4$，符合条件。
所以$m$的取值范围是$m≥6$。
解析
【分析】
本题考查二次根式的性质与绝对值的化简，解题思路如下：
1. 首先利用二次根式的核心性质$\sqrt{a^2}=|a|$，将所有二次根式转化为绝对值形式，这是解题的基础步骤。
2. 第(1)问已经给出$3≤m≤5$的取值范围，只需判断绝对值内$m-3$、$m-5$的正负性，再根据绝对值的代数意义去绝对值，合并同类项即可得出结果。
3. 第(2)问先转化为$|2-m|-|m-6|$的形式，找到绝对值的零点$m=2$和$m=6$，将实数分为$m＜2$、$2≤m≤6$、$m＞6$三段分类讨论，每一段去绝对值后计算原式的值，筛选出结果等于4的情况，汇总对应$m$的范围即可。
【解析】
(1) 已知$3≤ m≤5$，因此：
$\sqrt{(m-3)^2}+\sqrt{(m-5)^2}$
$=|m-3|+|m-5|$
由$3≤m≤5$可得$m-3≥0$，$m-5≤0$，因此：
原式$=m-3-(m-5)$
$=m-3-m+5$
$=2$。
(2) 先将原式转化为绝对值形式：
原式$=|2-m|-|m-6|$，分三类讨论：
①当$m＜2$时，$2-m＞0$，$m-6＜0$，
原式$=(2-m)-(6-m)=2-m-6+m=-4$，不符合结果为4的条件，舍去；
②当$2≤ m≤6$时，$2-m≤0$，$m-6≤0$，
原式$=(m-2)-(6-m)=m-2-6+m=2m-8$，
令$2m-8=4$，解得$m=6$，符合$2≤m≤6$的取值范围；
③当$m＞6$时，$2-m＜0$，$m-6＞0$，
原式$=(m-2)-(m-6)=m-2-m+6=4$，符合条件。
综上可得$m$的取值范围。
【答案】
(1) $\boxed{2}$；(2) $\boxed{m≥6}$
【知识点】
二次根式的性质，绝对值化简，分类讨论思想
【点评】
本题是二次根式的典型应用题型，核心突破口是将二次根式运算转化为绝对值运算，再分区间讨论去绝对值，解题时要注意去绝对值后的符号变化，避免因符号错误导致计算失误。
【难度系数】
0.6
本题考查二次根式的性质与绝对值的化简，解题思路如下：
1. 首先利用二次根式的核心性质$\sqrt{a^2}=|a|$，将所有二次根式转化为绝对值形式，这是解题的基础步骤。
2. 第(1)问已经给出$3≤m≤5$的取值范围，只需判断绝对值内$m-3$、$m-5$的正负性，再根据绝对值的代数意义去绝对值，合并同类项即可得出结果。
3. 第(2)问先转化为$|2-m|-|m-6|$的形式，找到绝对值的零点$m=2$和$m=6$，将实数分为$m＜2$、$2≤m≤6$、$m＞6$三段分类讨论，每一段去绝对值后计算原式的值，筛选出结果等于4的情况，汇总对应$m$的范围即可。
【解析】
(1) 已知$3≤ m≤5$，因此：
$\sqrt{(m-3)^2}+\sqrt{(m-5)^2}$
$=|m-3|+|m-5|$
由$3≤m≤5$可得$m-3≥0$，$m-5≤0$，因此：
原式$=m-3-(m-5)$
$=m-3-m+5$
$=2$。
(2) 先将原式转化为绝对值形式：
原式$=|2-m|-|m-6|$，分三类讨论：
①当$m＜2$时，$2-m＞0$，$m-6＜0$，
原式$=(2-m)-(6-m)=2-m-6+m=-4$，不符合结果为4的条件，舍去；
②当$2≤ m≤6$时，$2-m≤0$，$m-6≤0$，
原式$=(m-2)-(6-m)=m-2-6+m=2m-8$，
令$2m-8=4$，解得$m=6$，符合$2≤m≤6$的取值范围；
③当$m＞6$时，$2-m＜0$，$m-6＞0$，
原式$=(m-2)-(m-6)=m-2-m+6=4$，符合条件。
综上可得$m$的取值范围。
【答案】
(1) $\boxed{2}$；(2) $\boxed{m≥6}$
【知识点】
二次根式的性质，绝对值化简，分类讨论思想
【点评】
本题是二次根式的典型应用题型，核心突破口是将二次根式运算转化为绝对值运算，再分区间讨论去绝对值，解题时要注意去绝对值后的符号变化，避免因符号错误导致计算失误。
【难度系数】
0.6
