8. 油纸伞是中国的传统工艺品之一，它的制作工艺十分巧妙.如图是油纸伞撑开时它的截面示意图，滑套点D沿着中棒AP滑动时，总有伞骨$AB = AC$，$BD = CD$，因此始终有$△ ABD ≌ △ ACD$，其判定依据是（）.


A.“SSS”
B.“ASA”
C.“SAS”
D.“AAS”

A

【分析】
本题考查全等三角形的判定，解题思路如下：首先梳理题目给出的已知边相等的条件：$AB=AC$，$BD=CD$；其次识别两个三角形的隐含公共边，$AD$是$△ ABD$和$△ ACD$共有的边，因此$AD=AD$；最后对照全等三角形的判定定理，三组对应边分别相等的判定依据为“SSS”，即可选出正确答案。
【解析】
在$△ ABD$和$△ ACD$中：
$\begin{cases}AB=AC（已知）,\\BD=CD（已知）,\\AD=AD（公共边相等）,\end{cases}$
$\therefore △ ABD ≌ △ ACD(\mathrm{SSS})$，即判定依据为“SSS”。
【答案】
A
【知识点】
全等三角形的判定、SSS判定定理
【点评】
本题结合生活中的油纸伞场景出题，属于基础题，核心考查全等三角形SSS判定定理的应用，只要能准确找到对应相等的边，识别出公共边这一隐含条件即可正确解答。
【难度系数】
0.9

9.(易错题)如图是$5×5$的正方形网格图,以格点D,E为两个顶点作位置不同的格点三角形,使所作的格点三角形与$△ ABC$全等,这样的格点三角形最多可以作出().

A.2个
B.4个
C.6个
D.8个

B

【分析】
要解决这个问题，我们可以按以下思路思考：首先设每个小正方形的边长为1，利用勾股定理算出△ABC三边的长度；再结合全等三角形“SSS”的判定条件，已知DE的长度和AC相等，我们只需在DE的上下两侧分别寻找第三个格点，使该点到D、E的距离分别等于△ABC另外两边的长度，最后统计所有符合条件的格点数量即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，先计算△ABC的三边长：
$AC=3$，$AB=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$BC=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，
观察可得$DE=3$，与AC长度相等，要使所作格点三角形与△ABC全等，分两种情况找第三个顶点：
1. 第三个顶点在DE的上方：
① 满足到D的距离为$\sqrt{5}$、到E的距离为$2\sqrt{2}$的格点有1个；
② 满足到D的距离为$2\sqrt{2}$、到E的距离为$\sqrt{5}$的格点有1个；
2. 第三个顶点在DE的下方：
① 满足到D的距离为$\sqrt{5}$、到E的距离为$2\sqrt{2}$的格点有1个；
② 满足到D的距离为$2\sqrt{2}$、到E的距离为$\sqrt{5}$的格点有1个；
综上，符合条件的格点共有4个，即可作出4个全等的格点三角形。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形的SSS判定，勾股定理，网格作图
【点评】
本题属于易错题，解题时容易遗漏DE某一侧的符合条件的格点，需要注意分类讨论，分别在DE上下两侧结合边长要求寻找格点，避免漏数。
【难度系数】
0.6

10. 如图,在$△ ABC$中,$AC=BC$,D是AB上的一点(不与点A,B重合),$AE ⊥ CD$于点E,$BF ⊥ CD$交CD的延长线于点F.若$CE=BF$,$AE=EF+BF$,试判断直线AC与BC的位置关系,并说明理由.

解：$AC ⊥ BC$，理由如下：
$\because AE = EF + BF$，$CE = BF$，
$\therefore AE = EF + CE$，即 $AE = CF$。
在$△ ACE$和$△ CBF$中，
$\begin{cases}AC = CB \\CE = BF \\AE = CF\end{cases}$
$\therefore △ ACE ≌ △ CBF \ (\mathrm{SSS})$。
$\therefore ∠ CAE = ∠ BCF$。
$\because AE ⊥ CD$，
$\therefore ∠ AEC = 90°$，
$\therefore ∠ CAE + ∠ ACE = 90°$，
$\therefore ∠ BCF + ∠ ACE = 90°$，即 $∠ ACB = 90°$，
$\therefore AC ⊥ BC$。

【分析】
要判断AC与BC的位置关系，可尝试证明∠ACB=90°。首先从已知的边的等量关系入手：已知AE=EF+BF，CE=BF，可先通过等量代换推导出AE=CF；此时观察△ACE和△CBF，已知AC=CB、CE=BF，结合刚推出的AE=CF，满足SSS判定三角形全等的条件，可证两个三角形全等；再利用全等三角形对应角相等的性质，得到∠CAE=∠BCF；结合AE⊥CD可知△ACE是直角三角形，两锐角互余，通过角的等量代换即可得到∠ACE+∠BCF=90°，即∠ACB=90°，最终得出AC与BC的位置关系。
【解析】
$AC ⊥ BC$，理由如下：
$\because AE = EF + BF$，$CE = BF$，
$\therefore AE = EF + CE$，即 $AE = CF$。
在$△ ACE$和$△ CBF$中，
$\begin{cases}AC = CB \\CE = BF \\AE = CF\end{cases}$
$\therefore △ ACE ≌ △ CBF \ (\mathrm{SSS})$。
$\therefore ∠ CAE = ∠ BCF$。
$\because AE ⊥ CD$，
$\therefore ∠ AEC = 90°$，
$\therefore ∠ CAE + ∠ ACE = 90°$，
$\therefore ∠ BCF + ∠ ACE = 90°$，即 $∠ ACB = 90°$，
$\therefore AC ⊥ BC$。
【答案】
$AC ⊥ BC$
【知识点】
SSS判定全等；全等三角形的性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是全等三角形相关知识的综合应用题型，解题的关键是先通过边的等量代换得到全等判定所需的边相等条件，再借助角的等量代换推导得到直角，考查学生的逻辑推理能力和对全等、直角相关性质的应用能力。
【难度系数】
0.7

11.(推理能力)已知$AD=CB$,$E,F$是$AC$上两动点,且$DE=BF$.

(1)若点$E,F$运动至如图(1)的位置,且有$AF=CE$,求证:$△ ADE ≌ △ CBF$；
(2)若点$E,F$运动至如图(2)的位置,仍有$AF=CE$,则$△ ADE ≌ △ CBF$还成立吗?为什么?

(1) 证明：
∵ $AF = CE$，
∴ $AF + EF = CE + EF$，
即 $AE = CF$。
在$△ ADE$和$△ CBF$中，
$\begin{cases}AD = CB, \\DE = BF, \\AE = CF,\end{cases}$
∴ $△ ADE ≌ △ CBF$（SSS）。
---
(2) 解：$△ ADE ≌ △ CBF$仍然成立，理由如下：
∵ $AF = CE$，
∴ $AF - EF = CE - EF$，
即 $AE = CF$。
在$△ ADE$和$△ CBF$中，
$\begin{cases}AD = CB, \\DE = BF, \\AE = CF,\end{cases}$
∴ $△ ADE ≌ △ CBF$（SSS）。

【分析】
要证明两个三角形全等，首先回忆全等三角形的判定定理，题目中已经给出两组对应边相等：$AD=CB$，$DE=BF$，因此只需要证明第三组对应边$AE=CF$即可。对于(1)，观察图形可知$AF$和$CE$包含公共线段$EF$，利用等式性质给$AF$和$CE$同时加$EF$就能得到$AE=CF$；对于(2)，图形中$AF$和$CE$仍包含公共线段$EF$，利用等式性质给$AF$和$CE$同时减$EF$即可得到$AE=CF$，进而用SSS定理证明全等。
【解析】
(1) 证明：
∵ $AF = CE$，
∴ $AF + EF = CE + EF$，
即 $AE = CF$。
在$△ ADE$和$△ CBF$中，
$\begin{cases}AD = CB, \\DE = BF, \\AE = CF,\end{cases}$
∴ $△ ADE ≌ △ CBF$（SSS）。
(2) 解：$△ ADE ≌ △ CBF$仍然成立，理由如下：
∵ $AF = CE$，
∴ $AF - EF = CE - EF$，
即 $AE = CF$。
在$△ ADE$和$△ CBF$中，
$\begin{cases}AD = CB, \\DE = BF, \\AE = CF,\end{cases}$
∴ $△ ADE ≌ △ CBF$（SSS）。
【答案】
(1) $△ ADE ≌ △ CBF$，证明如上；(2) 成立，理由如上。
【知识点】
1. 全等三角形SSS判定
2. 线段和差计算
【点评】
本题是全等三角形判定的基础应用题，核心是结合图形的线段位置关系，利用等式的性质推导得到全等所需的对应等边，需要注意动点位置变化时公共线段的加减区别，能有效训练几何推理能力。
【难度系数】
0.7