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1. 二次函数$y=x^2 -2x +3$的图象与x轴的公共点的个数是 （
A.0
B.1
C.2
D.不能确定
A
）A.0
B.1
C.2
D.不能确定
答案
1.A
解析
【分析】
要判断二次函数图象与x轴的公共点个数，首先要明确：二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴的公共点的横坐标，就是令$y=0$时得到的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的实数根，因此公共点个数和对应一元二次方程的实数根个数一致。而一元二次方程的根的个数可通过根的判别式$\Delta=b^2-4ac$的符号判断：$\Delta＞0$时有2个公共点，$\Delta=0$时有1个公共点，$\Delta＜0$时没有公共点。因此我们只需要提取二次函数的系数$a、b、c$，计算判别式的符号即可得到结果。
【解析】
解：令$y=0$，可得对应的一元二次方程：$x^2 - 2x + 3 = 0$
其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-2$，常数项$c=3$
代入根的判别式公式计算：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4×1×3 = 4 - 12 = -8 ＜ 0$
由于$\Delta＜0$，说明该一元二次方程没有实数根，因此二次函数$y=x^2 -2x +3$的图象与x轴没有公共点，公共点个数为0。
故选：A
【答案】
A
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的联系
2. 根的判别式的应用
【点评】
本题是二次函数相关的基础常考题，解题核心是掌握二次函数图象与x轴交点个数和对应一元二次方程根的判别式的对应关系，牢记判别式不同符号对应的交点个数即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要判断二次函数图象与x轴的公共点个数，首先要明确：二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴的公共点的横坐标，就是令$y=0$时得到的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的实数根，因此公共点个数和对应一元二次方程的实数根个数一致。而一元二次方程的根的个数可通过根的判别式$\Delta=b^2-4ac$的符号判断：$\Delta＞0$时有2个公共点，$\Delta=0$时有1个公共点，$\Delta＜0$时没有公共点。因此我们只需要提取二次函数的系数$a、b、c$，计算判别式的符号即可得到结果。
【解析】
解：令$y=0$，可得对应的一元二次方程：$x^2 - 2x + 3 = 0$
其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-2$，常数项$c=3$
代入根的判别式公式计算：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4×1×3 = 4 - 12 = -8 ＜ 0$
由于$\Delta＜0$，说明该一元二次方程没有实数根，因此二次函数$y=x^2 -2x +3$的图象与x轴没有公共点，公共点个数为0。
故选：A
【答案】
A
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的联系
2. 根的判别式的应用
【点评】
本题是二次函数相关的基础常考题，解题核心是掌握二次函数图象与x轴交点个数和对应一元二次方程根的判别式的对应关系，牢记判别式不同符号对应的交点个数即可快速解题。
【难度系数】
0.8
【典型例题 2】用一个物体发射器从地面竖直向上抛出一个小球,小球的高度$h$(单位:m)与小球的运动时间$t$(单位:s)的关系近似为$h=-5t^2+30t$.
(1)小球的高度能否达到 50 m? 请说明理由.
(2)小球的高度有两次与某建筑物的高度相同. 小明说:“这两次间隔的时间为3 s.”已知该建筑物的高度为 25 m,请判断他的说法是否正确,并说明理由.
【解】(1)小球的高度不能达到 50 m.
理由:当$h=50$时,由函数关系$h=-5t^2+30t$,列得方程$-5t^2+30t=50$,即$t^2-6t+10=0$.
$\because \Delta=36-40=-4＜0$,
$\therefore$该方程无解.
$\therefore$小球的高度不能达到 50 m.
(2)小明的说法不正确.
理由:当$h=25$时,由函数关系$h=-5t^2+30t$,列得方程$-5t^2+30t=25$,即$t^2-6t+5=0$.
解方程,得$t_1=1,t_2=5$.
$\therefore$间隔的时间为$5-1=4$(s).
$\therefore$小明的说法不正确.
规律方法 该类题往往考查二次函数、一元二次方程、几何图形等知识的综合应用,熟练掌握好相关基础知识是解决问题的关键.
(1)小球的高度能否达到 50 m? 请说明理由.
(2)小球的高度有两次与某建筑物的高度相同. 小明说:“这两次间隔的时间为3 s.”已知该建筑物的高度为 25 m,请判断他的说法是否正确,并说明理由.
【解】(1)小球的高度不能达到 50 m.
理由:当$h=50$时,由函数关系$h=-5t^2+30t$,列得方程$-5t^2+30t=50$,即$t^2-6t+10=0$.
$\because \Delta=36-40=-4＜0$,
$\therefore$该方程无解.
$\therefore$小球的高度不能达到 50 m.
(2)小明的说法不正确.
理由:当$h=25$时,由函数关系$h=-5t^2+30t$,列得方程$-5t^2+30t=25$,即$t^2-6t+5=0$.
解方程,得$t_1=1,t_2=5$.
$\therefore$间隔的时间为$5-1=4$(s).
$\therefore$小明的说法不正确.
规律方法 该类题往往考查二次函数、一元二次方程、几何图形等知识的综合应用,熟练掌握好相关基础知识是解决问题的关键.
答案
解：
(1) 小球的高度不能达到50 m，理由如下：
当$h=50$时，将其代入函数关系式$h=-5t^2+30t$，得
$-5t^2+30t=50$，
整理得$t^2-6t+10=0$。
该一元二次方程的根的判别式$\Delta=(-6)^2-4×1×10=36-40=-4＜0$，
$\therefore$该方程无实数根，不存在对应的运动时间$t$使小球高度为50 m，
$\therefore$小球的高度不能达到50 m。
(2) 小明的说法不正确，理由如下：
当$h=25$时，将其代入函数关系式$h=-5t^2+30t$，得
$-5t^2+30t=25$，
整理得$t^2-6t+5=0$，
解得$t_1=1$，$t_2=5$。
两次小球高度为25 m的时间间隔为$5-1=4\ \mathrm{s}$，不等于3 s，
$\therefore$小明的说法不正确。
(1) 小球的高度不能达到50 m，理由如下：
当$h=50$时，将其代入函数关系式$h=-5t^2+30t$，得
$-5t^2+30t=50$，
整理得$t^2-6t+10=0$。
该一元二次方程的根的判别式$\Delta=(-6)^2-4×1×10=36-40=-4＜0$，
$\therefore$该方程无实数根，不存在对应的运动时间$t$使小球高度为50 m，
$\therefore$小球的高度不能达到50 m。
(2) 小明的说法不正确，理由如下：
当$h=25$时，将其代入函数关系式$h=-5t^2+30t$，得
$-5t^2+30t=25$，
整理得$t^2-6t+5=0$，
解得$t_1=1$，$t_2=5$。
两次小球高度为25 m的时间间隔为$5-1=4\ \mathrm{s}$，不等于3 s，
$\therefore$小明的说法不正确。
解析
【分析】
本题是二次函数在实际运动问题中的应用，解题思路清晰明确：(1)要判断小球高度能否达到50m，只需将h=50代入给出的高度与时间的函数关系式，转化为关于t的一元二次方程，通过根的判别式判断方程是否有实数根即可：有实根说明存在对应时间，能达到该高度；无实根则无法达到。(2)要判断小明的说法是否正确，将建筑物高度h=25代入函数关系式，解出对应的两个时间值，计算两个时间的差值，和3s对比即可得出结论。
【解析】
(1) 小球的高度不能达到50 m，理由如下：
当$h=50$时，将其代入函数关系式$h=-5t^2+30t$，得
$-5t^2+30t=50$，
整理得$t^2-6t+10=0$。
该一元二次方程的根的判别式$\Delta=(-6)^2-4×1×10=36-40=-4＜0$，
$\therefore$该方程无实数根，不存在对应的运动时间$t$使小球高度为50 m，
$\therefore$小球的高度不能达到50 m。
(2) 小明的说法不正确，理由如下：
当$h=25$时，将其代入函数关系式$h=-5t^2+30t$，得
$-5t^2+30t=25$，
整理得$t^2-6t+5=0$，
解得$t_1=1$，$t_2=5$。
两次小球高度为25 m的时间间隔为$5-1=4\ \mathrm{s}$，不等于3 s，
$\therefore$小明的说法不正确。
【答案】
(1) 小球的高度不能达到50 m；
(2) 小明的说法不正确，两次高度等于建筑物高度的间隔时间为4s。
【知识点】
二次函数与一元二次方程、根的判别式、解一元二次方程
【点评】
本题结合竖直上抛小球的生活情境，考查二次函数与一元二次方程的综合应用，解题核心是将函数值问题转化为一元二次方程的根的问题求解，能够锻炼学生将实际问题转化为数学问题的应用能力。
【难度系数】
0.7
本题是二次函数在实际运动问题中的应用，解题思路清晰明确：(1)要判断小球高度能否达到50m，只需将h=50代入给出的高度与时间的函数关系式，转化为关于t的一元二次方程，通过根的判别式判断方程是否有实数根即可：有实根说明存在对应时间，能达到该高度；无实根则无法达到。(2)要判断小明的说法是否正确，将建筑物高度h=25代入函数关系式，解出对应的两个时间值，计算两个时间的差值，和3s对比即可得出结论。
【解析】
(1) 小球的高度不能达到50 m，理由如下：
当$h=50$时，将其代入函数关系式$h=-5t^2+30t$，得
$-5t^2+30t=50$，
整理得$t^2-6t+10=0$。
该一元二次方程的根的判别式$\Delta=(-6)^2-4×1×10=36-40=-4＜0$，
$\therefore$该方程无实数根，不存在对应的运动时间$t$使小球高度为50 m，
$\therefore$小球的高度不能达到50 m。
(2) 小明的说法不正确，理由如下：
当$h=25$时，将其代入函数关系式$h=-5t^2+30t$，得
$-5t^2+30t=25$，
整理得$t^2-6t+5=0$，
解得$t_1=1$，$t_2=5$。
两次小球高度为25 m的时间间隔为$5-1=4\ \mathrm{s}$，不等于3 s，
$\therefore$小明的说法不正确。
【答案】
(1) 小球的高度不能达到50 m；
(2) 小明的说法不正确，两次高度等于建筑物高度的间隔时间为4s。
【知识点】
二次函数与一元二次方程、根的判别式、解一元二次方程
【点评】
本题结合竖直上抛小球的生活情境，考查二次函数与一元二次方程的综合应用，解题核心是将函数值问题转化为一元二次方程的根的问题求解，能够锻炼学生将实际问题转化为数学问题的应用能力。
【难度系数】
0.7
2. 某圆形喷水池的中心有一座雕塑OA，该喷水池从A点向四周喷水，其截面示意图如图所示，以水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，点O为原点建立平面直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落地点，第一象限内的水柱是抛物线$y=-\frac{1}{5}(x-4)^2+5$的一部分，第二象限内的水柱与第一象限内的水柱关于y轴对称，则CD的长为
18
m.答案
2.18
解析
【分析】
解题思路如下：首先要计算CD的长度，需要先确定C、D两点的坐标。D是第一象限水柱与x轴的交点，令第一象限抛物线解析式中y=0，求解得到符合x＞0的解即为D的横坐标；再根据第二象限水柱与第一象限水柱关于y轴对称的性质，可知C点和D点关于y轴对称，即可得到C点的横坐标；最后计算两点横坐标的差就能得到CD的长度。
【解析】
1. 求点D的坐标：
已知第一象限内水柱对应的抛物线解析式为$\displaystyle y=-\frac{1}{5}(x-4)^2+5$，落地点D在x轴上，即y=0，代入解析式得：
$\displaystyle 0=-\frac{1}{5}(x-4)^2+5$
移项得：$\displaystyle \frac{1}{5}(x-4)^2=5$
两边同乘5得：$(x-4)^2=25$
开平方得：$x-4=\pm5$
解得：$x_1=9$，$x_2=-1$
由于D在x轴正半轴，x＞0，故舍去$x=-1$，得D点坐标为$(9,0)$，即$OD=9\ \mathrm{m}$。
2. 求点C的坐标：
因为第二象限内的水柱与第一象限内的水柱关于y轴对称，因此落地点C与D关于y轴对称，所以C点坐标为$(-9,0)$，即$OC=9\ \mathrm{m}$。
3. 计算CD的长度：
$\displaystyle CD=OC+OD=9+9=18\ \mathrm{m}$
【答案】
18
【知识点】
二次函数交点求解；轴对称坐标性质；二次函数实际应用
【点评】
本题结合生活中的喷泉水柱场景考查二次函数的相关应用，解题时需要注意结合实际情境对一元二次方程的解进行取舍，再利用对称性质快速得到另一侧交点坐标，侧重对基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先要计算CD的长度，需要先确定C、D两点的坐标。D是第一象限水柱与x轴的交点，令第一象限抛物线解析式中y=0，求解得到符合x＞0的解即为D的横坐标；再根据第二象限水柱与第一象限水柱关于y轴对称的性质，可知C点和D点关于y轴对称，即可得到C点的横坐标；最后计算两点横坐标的差就能得到CD的长度。
【解析】
1. 求点D的坐标：
已知第一象限内水柱对应的抛物线解析式为$\displaystyle y=-\frac{1}{5}(x-4)^2+5$，落地点D在x轴上，即y=0，代入解析式得：
$\displaystyle 0=-\frac{1}{5}(x-4)^2+5$
移项得：$\displaystyle \frac{1}{5}(x-4)^2=5$
两边同乘5得：$(x-4)^2=25$
开平方得：$x-4=\pm5$
解得：$x_1=9$，$x_2=-1$
由于D在x轴正半轴，x＞0，故舍去$x=-1$，得D点坐标为$(9,0)$，即$OD=9\ \mathrm{m}$。
2. 求点C的坐标：
因为第二象限内的水柱与第一象限内的水柱关于y轴对称，因此落地点C与D关于y轴对称，所以C点坐标为$(-9,0)$，即$OC=9\ \mathrm{m}$。
3. 计算CD的长度：
$\displaystyle CD=OC+OD=9+9=18\ \mathrm{m}$
【答案】
18
【知识点】
二次函数交点求解；轴对称坐标性质；二次函数实际应用
【点评】
本题结合生活中的喷泉水柱场景考查二次函数的相关应用，解题时需要注意结合实际情境对一元二次方程的解进行取舍，再利用对称性质快速得到另一侧交点坐标，侧重对基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
【典型例题3】二次函数$y=ax^2+bx+c(a＞0)$的自变量与对应的函数值如下表所示，则关于$x$的方程$ax^2+bx+c=0$的一个根的取值范围为（）
A.$2.01＜x＜2.02$
B.$2.02＜x＜2.03$
C.$2.03＜x＜2.04$
D.$x＞2.04$
【答案】B
A.$2.01＜x＜2.02$
B.$2.02＜x＜2.03$
C.$2.03＜x＜2.04$
D.$x＞2.04$
【答案】B
答案
B
解析
【分析】
要解决本题，首先需明确：一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根，就是对应二次函数$y=ax^2+bx+c$的函数值$y=0$时自变量$x$的取值。由于二次函数的图象是连续的曲线，当相邻两个自变量对应的函数值一负一正时，这两个自变量之间一定存在某个$x$使得$y=0$，即方程的一个根落在这个区间内，因此只需找到表格中$y$值由负变正对应的$x$区间即可。
【解析】
解：一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根对应二次函数$y=ax^2+bx+c$中$y=0$时的$x$值。
观察表格数据可知：
当$x=2.02$时，$y=-0.01＜0$；
当$x=2.03$时，$y=0.02＞0$。
因为二次函数图象是连续的曲线，所以$y=0$时对应的$x$必然在2.02和2.03之间，即方程$ax^2+bx+c=0$的一个根的取值范围是$2.02＜x＜2.03$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数与一元二次方程的联系；一元二次方程近似根的估算
【点评】
本题核心考查二次函数与一元二次方程的对应关系，解题关键是理解方程的根与函数值为0的点的对应性，借助函数连续性通过函数值的正负变化判断根的范围，难度较低，熟练掌握二者的关联即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要解决本题，首先需明确：一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根，就是对应二次函数$y=ax^2+bx+c$的函数值$y=0$时自变量$x$的取值。由于二次函数的图象是连续的曲线，当相邻两个自变量对应的函数值一负一正时，这两个自变量之间一定存在某个$x$使得$y=0$，即方程的一个根落在这个区间内，因此只需找到表格中$y$值由负变正对应的$x$区间即可。
【解析】
解：一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根对应二次函数$y=ax^2+bx+c$中$y=0$时的$x$值。
观察表格数据可知：
当$x=2.02$时，$y=-0.01＜0$；
当$x=2.03$时，$y=0.02＞0$。
因为二次函数图象是连续的曲线，所以$y=0$时对应的$x$必然在2.02和2.03之间，即方程$ax^2+bx+c=0$的一个根的取值范围是$2.02＜x＜2.03$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数与一元二次方程的联系；一元二次方程近似根的估算
【点评】
本题核心考查二次函数与一元二次方程的对应关系，解题关键是理解方程的根与函数值为0的点的对应性，借助函数连续性通过函数值的正负变化判断根的范围，难度较低，熟练掌握二者的关联即可快速解题。
【难度系数】
0.8
