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基础知识·预习
问题1 什么样的函数叫作二次函数？举出几个二次函数的例子，分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项。
问题2 举一个实例，使其中变量之间的关系可以用一个二次函数来表示。
问题1 什么样的函数叫作二次函数？举出几个二次函数的例子，分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项。
问题2 举一个实例，使其中变量之间的关系可以用一个二次函数来表示。
答案
1. 一般地，形如y=ax²+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）的函数，叫做二次函数。
举例：例如y=2x²+3x-1，它的二次项系数是2，一次项系数是3，常数项是-1；再比如y=x²，它的二次项系数是1，一次项系数是0，常数项是0。
2. 实例：已知正方形的边长为x，对应的面积为y，那么面积和边长满足关系y=x²，变量y和x之间就是二次函数关系。
举例：例如y=2x²+3x-1，它的二次项系数是2，一次项系数是3，常数项是-1；再比如y=x²，它的二次项系数是1，一次项系数是0，常数项是0。
2. 实例：已知正方形的边长为x，对应的面积为y，那么面积和边长满足关系y=x²，变量y和x之间就是二次函数关系。
解析
【分析】
解决问题1时，首先要抓住二次函数定义的两个核心：一是解析式形式为y=ax²+bx+c，二是常数a不能为0（若a=0，x²项消失，函数就不属于二次函数）。举例子可以选择不同形式的二次函数，比如包含完整三项的、缺少一次项或常数项的，识别系数时要连同符号一起判断，缺失的项对应系数为0。解决问题2时，结合生活中和“平方运算”相关的数量关系即可，比如图形面积类的场景，表述更简单直观。
【解析】
问题1解答
第一步：明确二次函数定义：一般地，形如$y=ax^2+bx+c$（a、b、c是常数，且$a≠0$）的函数，叫做二次函数。
第二步：举例识别系数：
例1：$y=2x^2+3x-1$，x²对应的系数为二次项系数，即2；x对应的系数为一次项系数，即3；不含未知数的项为常数项，即-1。
例2：$y=x^2$，可改写为$y=1x^2+0x+0$，因此二次项系数为1，一次项系数为0，常数项为0。
问题2解答
选择正方形面积场景：设正方形边长为x，面积为y，根据正方形面积公式可得$y=x^2$，变量y与x之间满足二次函数关系。
【答案】
1. 一般地，形如y=ax²+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）的函数，叫做二次函数。
举例：例如y=2x²+3x-1，它的二次项系数是2，一次项系数是3，常数项是-1；再比如y=x²，它的二次项系数是1，一次项系数是0，常数项是0。
2. 实例：已知正方形的边长为x，对应的面积为y，那么面积和边长满足关系y=x²，变量y和x之间就是二次函数关系。
【知识点】
二次函数的定义；二次函数的项与系数；二次函数实际应用
【点评】
本题考查二次函数的基础概念，需要准确把握定义的限制条件（a≠0），能正确识别各项系数，同时学会从实际场景中抽象出二次函数关系，是学习二次函数后续内容的基础。
【难度系数】
0.9
解决问题1时，首先要抓住二次函数定义的两个核心：一是解析式形式为y=ax²+bx+c，二是常数a不能为0（若a=0，x²项消失，函数就不属于二次函数）。举例子可以选择不同形式的二次函数，比如包含完整三项的、缺少一次项或常数项的，识别系数时要连同符号一起判断，缺失的项对应系数为0。解决问题2时，结合生活中和“平方运算”相关的数量关系即可，比如图形面积类的场景，表述更简单直观。
【解析】
问题1解答
第一步：明确二次函数定义：一般地，形如$y=ax^2+bx+c$（a、b、c是常数，且$a≠0$）的函数，叫做二次函数。
第二步：举例识别系数：
例1：$y=2x^2+3x-1$，x²对应的系数为二次项系数，即2；x对应的系数为一次项系数，即3；不含未知数的项为常数项，即-1。
例2：$y=x^2$，可改写为$y=1x^2+0x+0$，因此二次项系数为1，一次项系数为0，常数项为0。
问题2解答
选择正方形面积场景：设正方形边长为x，面积为y，根据正方形面积公式可得$y=x^2$，变量y与x之间满足二次函数关系。
【答案】
1. 一般地，形如y=ax²+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）的函数，叫做二次函数。
举例：例如y=2x²+3x-1，它的二次项系数是2，一次项系数是3，常数项是-1；再比如y=x²，它的二次项系数是1，一次项系数是0，常数项是0。
2. 实例：已知正方形的边长为x，对应的面积为y，那么面积和边长满足关系y=x²，变量y和x之间就是二次函数关系。
【知识点】
二次函数的定义；二次函数的项与系数；二次函数实际应用
【点评】
本题考查二次函数的基础概念，需要准确把握定义的限制条件（a≠0），能正确识别各项系数，同时学会从实际场景中抽象出二次函数关系，是学习二次函数后续内容的基础。
【难度系数】
0.9
【典型例题 1】已知 $ y=-(m+1)x^{m^2 - m} +5x $ 是关于 $ x $ 的二次函数.
(1) 求 $ m $ 的值及该二次函数的解析式.
(2) 写出该二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项.
【解】(1) 根据题意, 得 $ m^2 - m = 2 $, 且 $ -(m+1) ≠ 0 $. 解得 $ m=2 $. 进而 $ y=-3x^2 +5x $. 故 $ m $ 的值为 2, 该二次函数的解析式为 $ y=-3x^2 +5x $.
(2) 二次项系数是 $ -3 $, 一次项系数是 5, 常数项是 0.
规律方法 判断一个函数是不是二次函数,应根据二次函数的三个特征作出判断,缺一不可.
二次函数的三个特征:
(1)函数解析式等号两边必须都是整式.
(2)化简后自变量的最高次数必须是2.
(3)二次项系数必须不为0.
(1) 求 $ m $ 的值及该二次函数的解析式.
(2) 写出该二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项.
【解】(1) 根据题意, 得 $ m^2 - m = 2 $, 且 $ -(m+1) ≠ 0 $. 解得 $ m=2 $. 进而 $ y=-3x^2 +5x $. 故 $ m $ 的值为 2, 该二次函数的解析式为 $ y=-3x^2 +5x $.
(2) 二次项系数是 $ -3 $, 一次项系数是 5, 常数项是 0.
规律方法 判断一个函数是不是二次函数,应根据二次函数的三个特征作出判断,缺一不可.
二次函数的三个特征:
(1)函数解析式等号两边必须都是整式.
(2)化简后自变量的最高次数必须是2.
(3)二次项系数必须不为0.
答案
(1) 根据题意, 得 $ m^2 - m = 2 $, 且 $ -(m+1) ≠ 0 $. 解得 $ m=2 $. 进而 $ y=-3x^2 +5x $. 故 $ m $ 的值为 2, 该二次函数的解析式为 $ y=-3x^2 +5x $.
(2) 二次项系数是 $ -3 $, 一次项系数是 5, 常数项是 0.
规律方法 判断一个函数是不是二次函数,应根据二次函数的三个特征作出判断,缺一不可.
二次函数的三个特征:
(1)函数解析式等号两边必须都是整式.
(2)化简后自变量的最高次数必须是2.
(3)二次项系数必须不为0.
(2) 二次项系数是 $ -3 $, 一次项系数是 5, 常数项是 0.
规律方法 判断一个函数是不是二次函数,应根据二次函数的三个特征作出判断,缺一不可.
二次函数的三个特征:
(1)函数解析式等号两边必须都是整式.
(2)化简后自变量的最高次数必须是2.
(3)二次项系数必须不为0.
解析
【分析】
要解决这道题，首先需紧扣二次函数的定义特征：一是自变量x的最高次数为2，二是二次项的系数不能为0。对于第(1)问，我们可以根据这两个特征列出关于m的方程和不等式，求解得到m的值，再代入原式即可得到二次函数的解析式。对于第(2)问，将得到的二次函数解析式整理为标准形式$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），对应找到各项系数即可，注意无常数项时常数项为0。
【解析】
(1) 已知$ y=-(m+1)x^{m^2 - m} +5x $是关于x的二次函数，根据二次函数的定义可得：
自变量最高次数为2，即$m^2 - m = 2$，
同时二次项系数不为0，即$-(m+1) ≠ 0$。
解方程$m^2 - m = 2$，整理得$m^2 - m - 2 = 0$，因式分解为$(m-2)(m+1)=0$，解得$m=2$或$m=-1$。
结合不等式$-(m+1)≠0$，即$m≠-1$，因此舍去$m=-1$，得$m=2$。
将$m=2$代入原式，得$y=-(2+1)x^2 +5x = -3x^2 +5x$。
(2) 二次函数的标准形式为$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。
该二次函数解析式可写为$y=-3x^2+5x+0$，因此二次项系数是$-3$，一次项系数是$5$，常数项是$0$。
【答案】
(1) $m$的值为$2$，二次函数的解析式为$y=-3x^2 +5x$；
(2) 二次项系数为$-3$，一次项系数为$5$，常数项为$0$。
【知识点】
二次函数的定义；二次函数的项与系数
【点评】
本题是二次函数定义的基础应用题，解题核心是准确把握二次函数的两个关键限制条件：自变量最高次数为2、二次项系数不为0，二者缺一不可，求解参数时要注意对结果进行验证，避免因忽略系数限制导致错解，确定各项系数时要注意对应符号，无常数项时常数项为0。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需紧扣二次函数的定义特征：一是自变量x的最高次数为2，二是二次项的系数不能为0。对于第(1)问，我们可以根据这两个特征列出关于m的方程和不等式，求解得到m的值，再代入原式即可得到二次函数的解析式。对于第(2)问，将得到的二次函数解析式整理为标准形式$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），对应找到各项系数即可，注意无常数项时常数项为0。
【解析】
(1) 已知$ y=-(m+1)x^{m^2 - m} +5x $是关于x的二次函数，根据二次函数的定义可得：
自变量最高次数为2，即$m^2 - m = 2$，
同时二次项系数不为0，即$-(m+1) ≠ 0$。
解方程$m^2 - m = 2$，整理得$m^2 - m - 2 = 0$，因式分解为$(m-2)(m+1)=0$，解得$m=2$或$m=-1$。
结合不等式$-(m+1)≠0$，即$m≠-1$，因此舍去$m=-1$，得$m=2$。
将$m=2$代入原式，得$y=-(2+1)x^2 +5x = -3x^2 +5x$。
(2) 二次函数的标准形式为$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。
该二次函数解析式可写为$y=-3x^2+5x+0$，因此二次项系数是$-3$，一次项系数是$5$，常数项是$0$。
【答案】
(1) $m$的值为$2$，二次函数的解析式为$y=-3x^2 +5x$；
(2) 二次项系数为$-3$，一次项系数为$5$，常数项为$0$。
【知识点】
二次函数的定义；二次函数的项与系数
【点评】
本题是二次函数定义的基础应用题，解题核心是准确把握二次函数的两个关键限制条件：自变量最高次数为2、二次项系数不为0，二者缺一不可，求解参数时要注意对结果进行验证，避免因忽略系数限制导致错解，确定各项系数时要注意对应符号，无常数项时常数项为0。
【难度系数】
0.8
1.若$y=(m+1)x^{|m|+1}-(m-1)x+1$是关于$x$的二次函数，则$m$的值是（
A.$-1$
B.$1$
C.$\pm1$
D.$0$
B
）A.$-1$
B.$1$
C.$\pm1$
D.$0$
答案
1. B
解析
【分析】
要确定m的值，需依据二次函数的定义梳理需满足的条件：二次函数要求自变量的最高次数为2，且二次项的系数不能为0，我们只需根据这两个条件分别列方程和不等式求解，再取公共解即可得到m的取值。
【解析】
根据二次函数的定义，需同时满足以下两个条件：
1. 自变量x的最高次数为2：
$|m| + 1 = 2$
解得$|m|=1$，即$m=1$或$m=-1$。
2. 二次项系数不为0：
$m + 1 ≠ 0$
解得$m ≠ -1$。
结合两个条件，只有$m=1$符合要求。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数的定义
2. 绝对值方程求解
【点评】
本题是二次函数定义的基础应用题型，解题的核心是牢记二次函数需同时满足最高次项次数为2、二次项系数不为0两个要求，易错点是忽略二次项系数不为0的限制，误选C选项。
【难度系数】
0.7
要确定m的值，需依据二次函数的定义梳理需满足的条件：二次函数要求自变量的最高次数为2，且二次项的系数不能为0，我们只需根据这两个条件分别列方程和不等式求解，再取公共解即可得到m的取值。
【解析】
根据二次函数的定义，需同时满足以下两个条件：
1. 自变量x的最高次数为2：
$|m| + 1 = 2$
解得$|m|=1$，即$m=1$或$m=-1$。
2. 二次项系数不为0：
$m + 1 ≠ 0$
解得$m ≠ -1$。
结合两个条件，只有$m=1$符合要求。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数的定义
2. 绝对值方程求解
【点评】
本题是二次函数定义的基础应用题型，解题的核心是牢记二次函数需同时满足最高次项次数为2、二次项系数不为0两个要求，易错点是忽略二次项系数不为0的限制，误选C选项。
【难度系数】
0.7
