2. 二次函数 $y=ax^2+bx+c$ 的图象和性质
典例2 已知二次函数 $y=-2x^2-5x+7$.
(1)求出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标.
(2)当 $x$ 取何值时, $y$ 有最大值? 最大值是多少?
(3)当 $x$ 取何值时, $y$ 随 $x$ 的增大而增大? 当 $x$ 取何值时, $y$ 随 $x$ 的增大而减小?

解：
(1) 对于二次函数$y=-2x^2-5x+7$，其中$a=-2$，$b=-5$，$c=7$。
由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入得：
$x=-\frac{-5}{2×(-2)}=-\frac{5}{4}$
顶点纵坐标为$\frac{4ac-b^2}{4a}$，代入得：
$\frac{4×(-2)×7 - (-5)^2}{4×(-2)}=\frac{-81}{-8}=\frac{81}{8}$
因此该二次函数图象的对称轴是直线$x=-\frac{5}{4}$，顶点坐标为$(-\frac{5}{4},\frac{81}{8})$。
(2) 因为$a=-2＜0$，抛物线开口向下，函数在顶点处取得最大值。
当$x=-\frac{5}{4}$时，$y$有最大值，最大值为$\frac{81}{8}$。
(3) 抛物线开口向下，对称轴为直线$x=-\frac{5}{4}$，
因此当$x＜-\frac{5}{4}$时，$y$随$x$的增大而增大；
当$x＞-\frac{5}{4}$时，$y$随$x$的增大而减小。

举一反三 已知二次函数 $y = x^2 + bx + c$ 的图象经过点$(1,-8),(5,0)$。
(1)求$b,c$的值；
(2)求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴。

(1) $\because$ 二次函数 $y=x^2+bx+c$ 的图象经过点$(1,-8),(5,0)$，
$\therefore \begin{cases}1+b+c=-8,\\25+5b+c=0,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}b=-4,\\c=-5.\end{cases}$
(2) 由(1)可知,该二次函数的解析式为 $y=x^2-4x-5=(x-2)^2-9$，
$\therefore$ 该二次函数图象的顶点坐标为$(2,-9)$，对称轴为直线 $x=2$。

典例3 已知抛物线 $ y = ax^2 + bx + c $ 如图所示，则下列结论正确的有( )。
①$ abc＞0 $;②$ a - b + c ＜ 0 $;③$ 2a - b ＞ 0 $;④$ a + c ＜ 1 $。

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

C

1. 判断①：抛物线开口向上，得$a＞0$；对称轴在y轴左侧，由“左同右异”得$b＞0$；抛物线与y轴交于负半轴，得$c＜0$，因此$abc＜0$，①错误。
2. 判断②：当$x=-1$时，对应抛物线上的点在x轴下方，即$y=a-b+c＜0$，②正确。
3. 判断③：由图可知对称轴$x=-\frac{b}{2a} ＞ -1$，$a＞0$，不等式两边同乘$2a$得$-b ＞ -2a$，移项得$2a - b ＞ 0$，③正确。
4. 判断④：当$x=1$时，$y=a+b+c=2$，即$b=2-a-c$，代入$a-b+c＜0$，得$a-(2-a-c)+c＜0$，化简得$2(a+c)＜2$，即$a+c＜1$，④正确。
综上，正确的结论共3个。

举一反三 二次函数
$y=ax^2+bx+c$ 的图象如图所示，对于下列说法：
①$ac＞0$；②$2a+b＞0$；
③$a+b+c＜0$；④当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小.其中正确的是().

A.①②③
B.②③
C.②③④
D.③④

答案 B
解析 ①由图象可知,$a＞0,c＜0,\therefore ac＜0$,故①错误；
②由图象可知,$-\frac{b}{2a}＜1$，$\therefore 2a+b＞0$,故②正确；
③由图象可知,当 $x=1$ 时,$y=a+b+c＜0$,故③正确；
④由图象可知,当 $x＞-\frac{b}{2a}$ 时,$y$ 随 $x$ 的增大而增大,故④错误.
故选 B.