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7.【推理能力】一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：$a-b,x-1,3,x^2-1,a,x+1$分别对应我，数，爱，国，祖，学，六个字。现将代数式$3a(x^2 - 1) - 3b(x^2 - 1)$分解因式，结果呈现的密码信息可能是（
A.爱数学
B.我爱数学
C.我爱国
D.我爱祖国
B
）A.爱数学
B.我爱数学
C.我爱国
D.我爱祖国
答案
7.B
解析
【分析】
解题时首先要对给出的代数式进行因式分解，先观察式子特征提取公因式，再判断剩余因式是否可以用公式继续分解，分解完成后将每个因式和题干给出的对应汉字匹配，最后组合汉字得到密码信息，对应选项选出答案即可。
【解析】
对代数式$3a(x^2 - 1) - 3b(x^2 - 1)$进行因式分解：
1. 提取公因式：观察到式子两项均含有公因式$3(x^2-1)$，提取后得：
原式$=3(x^2-1)(a-b)$
2. 用平方差公式继续分解：$x^2-1$符合平方差公式$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$的形式，分解得$x^2-1=(x+1)(x-1)$，代入上式得：
原式$=3(a-b)(x+1)(x-1)$
根据题干对应关系：$3$对应“爱”，$a-b$对应“我”，$x+1$对应“学”，$x-1$对应“数”，组合后得到密码信息为“我爱数学”。
【答案】
B
【知识点】
提公因式法，平方差公式，因式分解应用
【点评】
本题结合趣味密码情境考查因式分解的综合运用，解题核心是熟练掌握提公因式法与公式法分解因式的步骤，准确匹配因式和对应汉字即可得到正确结果。
【难度系数】
0.7
解题时首先要对给出的代数式进行因式分解，先观察式子特征提取公因式，再判断剩余因式是否可以用公式继续分解，分解完成后将每个因式和题干给出的对应汉字匹配，最后组合汉字得到密码信息，对应选项选出答案即可。
【解析】
对代数式$3a(x^2 - 1) - 3b(x^2 - 1)$进行因式分解：
1. 提取公因式：观察到式子两项均含有公因式$3(x^2-1)$，提取后得：
原式$=3(x^2-1)(a-b)$
2. 用平方差公式继续分解：$x^2-1$符合平方差公式$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$的形式，分解得$x^2-1=(x+1)(x-1)$，代入上式得：
原式$=3(a-b)(x+1)(x-1)$
根据题干对应关系：$3$对应“爱”，$a-b$对应“我”，$x+1$对应“学”，$x-1$对应“数”，组合后得到密码信息为“我爱数学”。
【答案】
B
【知识点】
提公因式法，平方差公式，因式分解应用
【点评】
本题结合趣味密码情境考查因式分解的综合运用，解题核心是熟练掌握提公因式法与公式法分解因式的步骤，准确匹配因式和对应汉字即可得到正确结果。
【难度系数】
0.7
8.(1)若$x+y=0,xy=-3$,则$x^3y - xy^3=$
(2)已知$xy=2,x-3y=3$,则$2x^3y -12x^2y^2 +18xy^3=$
0
.(2)已知$xy=2,x-3y=3$,则$2x^3y -12x^2y^2 +18xy^3=$
36
.答案
8.(1)0
(2)36
(2)36
解析
【分析】
这两道题均考查因式分解结合整体代入法求代数式的值，解题思路如下：(1) 先对所求代数式提取公因式，再利用平方差公式分解，观察分解结果中含有已知条件$x+y=0$，整体代入即可直接得出结果；(2) 先对所求代数式提取公因式，再利用完全平方公式分解，将已知的$xy=2$和$x-3y=3$整体代入分解后的式子计算即可。
【解析】
(1) 对$x^3y - xy^3$因式分解：
$\begin{aligned}x^3y - xy^3&=xy(x^2 - y^2)\\&=xy(x+y)(x-y)\end{aligned}$
将$x+y=0$代入上式，可得原式$=xy×0×(x-y)=0$。
(2) 对$2x^3y -12x^2y^2 +18xy^3$因式分解：
$\begin{aligned}2x^3y -12x^2y^2 +18xy^3&=2xy(x^2 - 6xy + 9y^2)\\&=2xy(x-3y)^2\end{aligned}$
将$xy=2$，$x-3y=3$代入上式，可得：
原式$=2×2×3^2=4×9=36$。
【答案】
(1)0；(2)36
【知识点】
1. 提公因式法因式分解 2. 公式法因式分解 3. 整体代入求值
【点评】
本题是因式分解在代数式求值中的典型应用，通过先分解再代入的方式，可以避免求解单个未知数的繁琐运算，熟练掌握因式分解的两种常用方法是解题的关键。
【难度系数】
0.7
这两道题均考查因式分解结合整体代入法求代数式的值，解题思路如下：(1) 先对所求代数式提取公因式，再利用平方差公式分解，观察分解结果中含有已知条件$x+y=0$，整体代入即可直接得出结果；(2) 先对所求代数式提取公因式，再利用完全平方公式分解，将已知的$xy=2$和$x-3y=3$整体代入分解后的式子计算即可。
【解析】
(1) 对$x^3y - xy^3$因式分解：
$\begin{aligned}x^3y - xy^3&=xy(x^2 - y^2)\\&=xy(x+y)(x-y)\end{aligned}$
将$x+y=0$代入上式，可得原式$=xy×0×(x-y)=0$。
(2) 对$2x^3y -12x^2y^2 +18xy^3$因式分解：
$\begin{aligned}2x^3y -12x^2y^2 +18xy^3&=2xy(x^2 - 6xy + 9y^2)\\&=2xy(x-3y)^2\end{aligned}$
将$xy=2$，$x-3y=3$代入上式，可得：
原式$=2×2×3^2=4×9=36$。
【答案】
(1)0；(2)36
【知识点】
1. 提公因式法因式分解 2. 公式法因式分解 3. 整体代入求值
【点评】
本题是因式分解在代数式求值中的典型应用，通过先分解再代入的方式，可以避免求解单个未知数的繁琐运算，熟练掌握因式分解的两种常用方法是解题的关键。
【难度系数】
0.7
9.将下列各式分解因式：
(1)$a^2(x - y) + 16(y - x)$；
(2)$(a - 1)(a + 4) - 3a$；
(3)$(x^2 + 4y^2)^2 - 16x^2y^2$；
(4)$x^2(y^2 - 1) + 4x(y^2 - 1) + 4(y^2 - 1)$。
(1)$a^2(x - y) + 16(y - x)$；
(2)$(a - 1)(a + 4) - 3a$；
(3)$(x^2 + 4y^2)^2 - 16x^2y^2$；
(4)$x^2(y^2 - 1) + 4x(y^2 - 1) + 4(y^2 - 1)$。
答案
9.(1)$(x-y)(a+4)(a-4)$
(2)$(a+2)(a-2)$
(3)$(x+2y)^2(x-2y)^2$
(4)$(y+1)(y-1)(x+2)^2$
(2)$(a+2)(a-2)$
(3)$(x+2y)^2(x-2y)^2$
(4)$(y+1)(y-1)(x+2)^2$
解析
【分析】
因式分解遵循“一提、二套、三查”的通用步骤：①先观察多项式是否有公因式，有公因式优先提取公因式；②提取公因式后（或无公因式时），观察剩余多项式是否符合平方差公式或完全平方公式的结构，对应套用公式分解；③最后检查每一个因式是否还能继续分解，需分解到不能再分解为止。
各小题解题思路：
(1) 先将(y-x)变形为-(x-y)，即可找到公因式(x-y)，提取后剩余的a²-16符合平方差公式特征，继续分解即可；
(2) 原式为乘积减单项式的形式，无公因式，先展开乘积、合并同类项，得到的多项式符合平方差公式特征，再分解；
(3) 原式整体符合平方差公式的结构，先套用平方差公式分解，得到的两个因式均为完全平方式，再用完全平方公式继续分解；
(4) 先提取公因式(y²-1)，剩余的三项式符合完全平方公式特征，再分别对y²-1套用平方差公式、对三项式套用完全平方公式分解即可。
【解析】
(1) 先统一因式形式，再提取公因式，最后套用平方差公式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=a^2(x-y)-16(x-y)\\&=(x-y)(a^2-16)\\&=(x-y)(a+4)(a-4)\end{aligned}$
(2) 先展开合并同类项，再套用平方差公式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=a^2+4a-a-4-3a\\&=a^2-4\\&=(a+2)(a-2)\end{aligned}$
(3) 先整体套用平方差公式，再套用完全平方公式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(x^2+4y^2)^2-(4xy)^2\\&=(x^2+4y^2+4xy)(x^2+4y^2-4xy)\\&=(x+2y)^2(x-2y)^2\end{aligned}$
(4) 先提取公因式，再分别套用完全平方公式和平方差公式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(y^2-1)(x^2+4x+4)\\&=(y^2-1)(x+2)^2\\&=(y+1)(y-1)(x+2)^2\end{aligned}$
【答案】
(1)$(x-y)(a+4)(a-4)$
(2)$(a+2)(a-2)$
(3)$(x+2y)^2(x-2y)^2$
(4)$(y+1)(y-1)(x+2)^2$
【知识点】
提公因式法因式分解；平方差公式因式分解；完全平方公式因式分解
【点评】
本题考查因式分解的综合运用，解题时要严格按照“一提二套三查”的步骤操作，注意变形时的符号问题，同时要避免出现分解不彻底的错误。
【难度系数】
0.75
因式分解遵循“一提、二套、三查”的通用步骤：①先观察多项式是否有公因式，有公因式优先提取公因式；②提取公因式后（或无公因式时），观察剩余多项式是否符合平方差公式或完全平方公式的结构，对应套用公式分解；③最后检查每一个因式是否还能继续分解，需分解到不能再分解为止。
各小题解题思路：
(1) 先将(y-x)变形为-(x-y)，即可找到公因式(x-y)，提取后剩余的a²-16符合平方差公式特征，继续分解即可；
(2) 原式为乘积减单项式的形式，无公因式，先展开乘积、合并同类项，得到的多项式符合平方差公式特征，再分解；
(3) 原式整体符合平方差公式的结构，先套用平方差公式分解，得到的两个因式均为完全平方式，再用完全平方公式继续分解；
(4) 先提取公因式(y²-1)，剩余的三项式符合完全平方公式特征，再分别对y²-1套用平方差公式、对三项式套用完全平方公式分解即可。
【解析】
(1) 先统一因式形式，再提取公因式，最后套用平方差公式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=a^2(x-y)-16(x-y)\\&=(x-y)(a^2-16)\\&=(x-y)(a+4)(a-4)\end{aligned}$
(2) 先展开合并同类项，再套用平方差公式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=a^2+4a-a-4-3a\\&=a^2-4\\&=(a+2)(a-2)\end{aligned}$
(3) 先整体套用平方差公式，再套用完全平方公式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(x^2+4y^2)^2-(4xy)^2\\&=(x^2+4y^2+4xy)(x^2+4y^2-4xy)\\&=(x+2y)^2(x-2y)^2\end{aligned}$
(4) 先提取公因式，再分别套用完全平方公式和平方差公式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(y^2-1)(x^2+4x+4)\\&=(y^2-1)(x+2)^2\\&=(y+1)(y-1)(x+2)^2\end{aligned}$
【答案】
(1)$(x-y)(a+4)(a-4)$
(2)$(a+2)(a-2)$
(3)$(x+2y)^2(x-2y)^2$
(4)$(y+1)(y-1)(x+2)^2$
【知识点】
提公因式法因式分解；平方差公式因式分解；完全平方公式因式分解
【点评】
本题考查因式分解的综合运用，解题时要严格按照“一提二套三查”的步骤操作，注意变形时的符号问题，同时要避免出现分解不彻底的错误。
【难度系数】
0.75
10.【新考法·新定义】阅读下列材料：
常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法等，但有的多项式只用其中一种方法无法分解因式，如$x^2 - 4y^2 + 2x - 4y$，细心观察这个式子会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，分解因式的过程如下：
$\begin{array}{l}x^2 - 4y^2 + 2x - 4y \\=(x^2 - 4y^2)+(2x - 4y) \ ······························ \mathrm{分组} \\=(x - 2y)(x + 2y)+2(x - 2y) \ ··· \mathrm{组内分解因式} \\=(x - 2y)(x + 2y + 2). \ ······ \mathrm{整体思想提公因式}\end{array}$
这种分解因式的方法叫作分组分解法，利用这种方法解决下列问题：
(1)分解因式：$9x^2 - y^2 - 9x + 3y$；
(2)已知$△ ABC$的三边长$a,b,c$满足$a^2 - b^2 - ac + bc = 0$，判断$△ ABC$的形状并说明理由。
常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法等，但有的多项式只用其中一种方法无法分解因式，如$x^2 - 4y^2 + 2x - 4y$，细心观察这个式子会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，分解因式的过程如下：
$\begin{array}{l}x^2 - 4y^2 + 2x - 4y \\=(x^2 - 4y^2)+(2x - 4y) \ ······························ \mathrm{分组} \\=(x - 2y)(x + 2y)+2(x - 2y) \ ··· \mathrm{组内分解因式} \\=(x - 2y)(x + 2y + 2). \ ······ \mathrm{整体思想提公因式}\end{array}$
这种分解因式的方法叫作分组分解法，利用这种方法解决下列问题：
(1)分解因式：$9x^2 - y^2 - 9x + 3y$；
(2)已知$△ ABC$的三边长$a,b,c$满足$a^2 - b^2 - ac + bc = 0$，判断$△ ABC$的形状并说明理由。
答案
10.(1)$(3x-y)(3x+y-3)$
(2)$△ ABC$为等腰三角形.理由略
(2)$△ ABC$为等腰三角形.理由略
解析
【分析】
(1) 分解因式$9x^2 - y^2 - 9x + 3y$时，先观察式子结构：前两项$9x^2-y^2$符合平方差公式特征，后两项$-9x+3y$可提取公因式，因此先分组再分别分解，两组分解后会出现公因式，最后整体提取公因式即可完成分解。
(2) 判断三角形形状时，先对等式$a^2 - b^2 - ac + bc = 0$左边用分组分解法因式分解：前两项用平方差公式分解，后两项提取公因式，再整体提取公因式，结合三角形三边均为正数、两边之和大于第三边的性质，即可得到边的数量关系，进而判断三角形形状。
【解析】
(1) $\begin{aligned}&9x^2 - y^2 - 9x + 3y\\=&(9x^2 - y^2)+(-9x + 3y)\\=&(3x-y)(3x+y)-3(3x-y)\\=&(3x-y)(3x+y-3)\end{aligned}$
(2) $△ ABC$是等腰三角形，理由如下：
对$a^2 - b^2 - ac + bc = 0$左边因式分解：
$\begin{aligned}&a^2 - b^2 - ac + bc\\=&(a^2 - b^2)+(-ac + bc)\\=&(a-b)(a+b)-c(a-b)\\=&(a-b)(a+b - c)\end{aligned}$
因此原等式可化为$(a-b)(a+b - c)=0$。
根据三角形三边的性质：三角形任意两边之和大于第三边，可得$a+b＞c$，即$a+b - c＞0$。
因此只有$a-b=0$，即$a=b$，所以$△ ABC$为等腰三角形。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(3x-y)(3x+y-3)}$
(2) $\boldsymbol{△ ABC为等腰三角形}$
【知识点】
分组分解法、因式分解、等腰三角形判定
【点评】
本题是新定义类题型，核心考查分组分解法的灵活运用，需要先观察多项式的结构特征进行合理分组，再结合已学的因式分解方法求解，第二问将代数因式分解和几何图形性质结合，考查知识的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 分解因式$9x^2 - y^2 - 9x + 3y$时，先观察式子结构：前两项$9x^2-y^2$符合平方差公式特征，后两项$-9x+3y$可提取公因式，因此先分组再分别分解，两组分解后会出现公因式，最后整体提取公因式即可完成分解。
(2) 判断三角形形状时，先对等式$a^2 - b^2 - ac + bc = 0$左边用分组分解法因式分解：前两项用平方差公式分解，后两项提取公因式，再整体提取公因式，结合三角形三边均为正数、两边之和大于第三边的性质，即可得到边的数量关系，进而判断三角形形状。
【解析】
(1) $\begin{aligned}&9x^2 - y^2 - 9x + 3y\\=&(9x^2 - y^2)+(-9x + 3y)\\=&(3x-y)(3x+y)-3(3x-y)\\=&(3x-y)(3x+y-3)\end{aligned}$
(2) $△ ABC$是等腰三角形，理由如下：
对$a^2 - b^2 - ac + bc = 0$左边因式分解：
$\begin{aligned}&a^2 - b^2 - ac + bc\\=&(a^2 - b^2)+(-ac + bc)\\=&(a-b)(a+b)-c(a-b)\\=&(a-b)(a+b - c)\end{aligned}$
因此原等式可化为$(a-b)(a+b - c)=0$。
根据三角形三边的性质：三角形任意两边之和大于第三边，可得$a+b＞c$，即$a+b - c＞0$。
因此只有$a-b=0$，即$a=b$，所以$△ ABC$为等腰三角形。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(3x-y)(3x+y-3)}$
(2) $\boldsymbol{△ ABC为等腰三角形}$
【知识点】
分组分解法、因式分解、等腰三角形判定
【点评】
本题是新定义类题型，核心考查分组分解法的灵活运用，需要先观察多项式的结构特征进行合理分组，再结合已学的因式分解方法求解，第二问将代数因式分解和几何图形性质结合，考查知识的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
